《数据、模型与决策》 课件 朱顺泉 第2章 线性规划的灵敏度分析

《MBA数据、模型与决策》

Data,ModelsandDecision-making第2章线性规划模型的图解法什么是

图解法?例2.1广州电器厂生产优化问题广州电器厂生产A、B两种电器产品。产品A与产品B在生产过程中均使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的数量分别为6与2。同时，产品B还需使用原材料2，每件产品的消耗量为1。此外，每生产一件产品A与一件产品B所需的劳动时间分别为2与4。该厂提供的原材料和劳动时间的数量是有限的。在第一个月初，该厂可提供的原材料1的数量是1800，原材料2的数量是350，可提供的2.1一个简单的最大化问题总劳动时间为1600。该两种原材料的保存时间是一个月，也就是说，第一个月用不完的原材料只能丢弃。经财务部门分析计算，产品A与B每件利润分别为3元与8元，而且根据市场调查得到的该两种产品的市场需求状况可以确定，按当前的定价可确保所有产品均能销售出去。问第一个月内产品A与产品B各应生产多少，可使总利润最大？项目1件产品A1件产品B总量原材料1621800原材料201350劳动时间241600利润38表2.1广州电器厂月生产安排分析：在上述问题中，目标是总利润的最大化，所要决策的变量是产品的产量，而产品的产量则受到可提供的原材料与劳动时间的约束，因此，该问题可以用目标、决策变量和约束条件三个因素加以描述。实际上，所有的线性规划问题都包括这三个因素。①目标函数是指系统所追求的目标的数学描述。例如最大利润、最小成本等。②决策变量是指系统中有待确定的未知因素。例如决定企业经营目标的各产品的产量等。③约束条件是指实现系统目标的限制因素，它们限制了目标值所能达到的程度。例如原材料供应量、市场需求等。

解：此问题可用表2.1表示项目1件产品A1件产品B总量原材料1621800原材料201350劳动时间241600利润38表2.1广州电器厂月生产安排①决策变量此问题的决策变量是第一个月产品A与产品B的产量。可设：X为第一个月产品A的产量（件）；Y为第一个月产品B的产量（件）。X、Y即为本问题的决策变量。②目标函数此问题的目标函数是总利润最大。由于产品A与产品B每件利润分别为3元与8元，而其产量分别为X与Y,所以总利润可计算如下：总利润=3X+8Y③约束条件此问题共有四个约束条件。第一个约束是原材料1的约束。每件产品A与产品B对原材料1的消耗量分别为6与2，而两种产品的产量分别为X与Y，所以该两种产品在第一个月对原材料1的总消耗量为6X+2Y。由题意，原材料1的可提供量为1800。由此，可得第一个约束如下：

6X+2Y≤1800第二个约束是原材料2的约束。由于只有产品B需消耗原材料2，而且单位产品B对原材料2的消耗量为1，产品B的产量为Y。由题意，原材料2的可提供量为350。由此可得第二个约束如下：

Y≤350第三个约束是劳动时间的约束。由于每单位产品A与产品B对劳动时间的需要量分别为2与4，而两种产品的产量分别为X与Y，所以两种产品在第一个月所需的总劳动时间为2X+4Y。由题意，劳动时间的可提供量为1600。由此可得第三个约束如下：

2X+4Y≤1600第四个约束是决策变量的非负约束。由于产量不可能为负值，所以有：

X≥0，,Y≥0

由上述分析可建立本问题的线性规划模型如下：o.b.max3X+8Ys.t.6X+2Y≤1800Y≤3502X+4Y≤1600X，,Y≥0所谓的线性规划就是：

(1)每一个问题都用一组决策变量（x1,x2,…xn）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个方案。一般，这些变量取值是非负的。（2）存在一定的约束条件，这些约束条件是一组关于决策变量的线性等式或线性不等式。（3）都有一个要求达到的目标，目标函数是关于决策变量的线性函数。所谓的线性规划就是：

(1)每一个问题都用一组决策变量（x1,x2,…xn）表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个方案。一般，这些变量取值是非负的。（2）存在一定的约束条件，这些约束条件是一组关于决策变量的线性等式或线性不等式。（3）都有一个要求达到的目标，目标函数是关于决策变量的线性函数。满足以上三个条件的数学模型称为线性规划的数学模型。它的一般形式为：目标函数

max(min)z=c1x1+c2x2+…+cnxn满足约束条件:

a11x1+a12x2+…+a1nxn≤(＝,≥)b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn≤(＝,≥)b2

………….……….am1x1+am2x2+…+amnxn≤(＝,≥)bmx1,x2,…,xn≥0由此可知，线性规划模型有各种不同的形式，目标函数有的求max，有的求min，约束条件可以是“≤”，也可以是“≥”不等式，还可以是等式，决策变量一般是非负约束，在实际问题中有一定的意义,但也允许在（－∞，∞）范围内取值。线性规划问题的解可能出现下列情况：1.有惟一解这里，线性规划问题有惟一解是指该规划问题有且仅有一个既在可行域内，又使目标值达到最优的解，即只有一个最优解。2.2线性规划问题的图解法例如，例2.1广州电器厂生产优化问题，它的线性规划模型为：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X，，,Y≥0（非负约束）1.有惟一解线性问题的图解法2004006008001002003004005006007008009006X+2Y=18002X+4Y=16000ODCBAY=350XY3X+8Y=Z线性问题的图解法步骤在坐标图上作出代表各约束条件的直线；确定满足所有约束条件的可行域；作出任意一条等利润直线；朝着使目标函数最优化的方向，平行移动该等利润直线，直到再继续移动就会离开可行域为止。线性规划问题的解的讨论唯一解无穷多解目标函数为：MaxZ=2X+4Y时线性规划问题无可行域的情况：线性规划问题可行域无界的情况：

6X+2Y=18002X+4Y=1600Y=350X=400max3X+8Ys.t.X+Y=350X，Y≥0本问题是利润最大化，所以应在可行域内选择使利润达到最大值的解。不妨考虑一下哪些解可以使利润达到3X+8Y=1200，可作出等利润线3X+8Y=2400；可得出：3X+8Y=k，k取不同的值表示不同的利润。不难发现所有的等利润都相互平行，且离原点越远的等利润线，利润最高。因此，最优解应是在可行域内离原点最远的那条等利润直线上的点。可见B点就是。而B点是直线②和直线③的交点。解此方程组可得：X=100，Y=350。例如下面一个线性规划模型：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X≥350X，,Y≥0（非负约束）松弛变量与线性规划模型的标准式若在约束条件左边加上一个变量，使原来的“≤”约束不等式变为等式约束Max3X+8Y+0S1+0S2+0S36X+2Y+S1＝1800Y+S2=3502X+4Y+S3=1600X,Y,S1,S2,S3≥0标准型线性规划模型变量S1,S2,S3为松弛变量，表示可提供资源与实际消耗资源之差，即闲置的那部分资源将最优解X=100,Y=350带入约束条件左边，得到三种资源的实际使用量如下：6X+2Y=1300≤1800（原材料1约束）（1）Y=350≤350（原材料2的约束）（2）2X+4Y=1600≤1600（劳动时间约束）（3）原材料1有多余，原材料2、劳动时间没有多于约束1称为非紧约束，表示这时资源有多于约束2和约束3称为紧约束，表示这时资源已全部使用完毕2.有无穷多解这里，线性规划问题有无穷多解是指该规划问题无穷多个既在可行域内，又使目标值达到最优的解，即有无穷多个最优解。2.有无穷多解

例如下面一个线性规划模型：

o.b.max4X+8Y（利润最大化）

s.t.6X+2Y≤1800（原材料约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X，，，,Y≥0（非负约束）约束条件和例2.1广州电器厂生产优化问题的约束条件一样，也就是可行域一样，但目标函数不一样，它有无穷多解，解为BC直线上的任意一点，如下图：4X+8Y=KABCOD例如下面一个线性规划模型：o.b.max3X+8Y（利润最大化）s.t.6X+2Y≤1800约束）

Y≤350（原材料约束）

2X+4Y≤1600（劳动时间约束）

X≥350X，,Y≥0（非负约束）如下图，不存在可行域，无解3.无解ABCODEF4.可行域无界

这里，线性规划问题的可行域无界是指最大化问题的目标函数值可以无限增大，或最小化问题的目标函数值可以无限减小。例如下面一个线性规划模型：o.b.max4X+8Y（利润最大化）s.t.X+Y≥350（资源约束）

X，,Y≥0（非负约束）如下图，可行域无界，目标函数值可以无限增大4.可行域无界AB图解法适合于求解含有两个决策变量的线性规划问题。归纳步骤如下：1在坐标图上作出代表各约束条件的直线；2确定满足所有约束条件的可行域；3作出任意一条等利润直线，可令利润函数值等于任意一个特定值；4朝着使目标函数最优化的方向，平行移动该等利润直线，直到再继续移动就会离开可行域为止。此时，该等利润直线在可行域的那些点，就是最优解。图解法步骤例2.3广州金属厂成本优化问题广州金属厂从Ⅰ、Ⅱ两种矿石中提炼A、B两种金属。已知每吨矿石中金属A、B的含量和两种矿石的价格如表2.4.1所示。据预测，金属B的需求量不少于420千克，而金属A由于销路问题，该厂决定，其产量不得超过600千克。此外，矿石Ⅱ由于库存积压，要求其使用量不得少于800吨，问应使用各种矿石多少吨，使得在满足要求的前提下总费用最小？2.3最小化问题

表2.3矿石成分与价格表

金属矿石AB价格（元/吨）Ⅰ0.400.4245Ⅱ0.250.1510解：根据题意可作如下分析：①决策变量本问题的决策变量是两种矿石的使用量。可设：X为矿石Ⅰ的使用量（吨）；Y为矿石Ⅱ的使用量（吨）。②目标函数本问题的目标函数是总费用最小。总费用可计算如下：总费用=45X+10Y（元）③约束条件本问题共有四个约束。第一个约束是金属A的产量约束，第二个约束是金属B的需求约束，第三个约束是矿石Ⅱ的使用量约束，第四个约束是非负约束。由上述分析，可建立该最小化问题的线性规划模型如下：o.b.Min45X+10Ys.t.0.40X+0.25Y≤600（金属A的产量约束）

0.42X+0.15Y≥420（金属B的需求约束）

Y≥800（矿石Ⅱ的使用量约束）

X≥0,Y≥0（非负约束）最小化问题的图解法5001000150020002500Y50010001500XABC0.40X+0.42Y=6000.42X+0.15Y=420Y=800本问题的目标是最小化，所以应在可行域内选择使得费用达到最小值的解。作等费用直线族45X+10Y=k(k可取不同的常数)，对于等费用直线族来说，越靠近原点的等费用直线对应的费用越小。因此，最优解应是在可行域内的、最接近原点的那条等费用直线上的点。本问题中，既在可行域内的、又最接近原点的那条等费用直线上的点是A点，所有A点的坐标就是最优解。而A点直线①和②的交点。解此线性方程组，得到：X=333.3吨，Y=1866.7吨。相应的最优解为：45X+10Y=33666（元）。剩余变量（surplus）若将最优解X=333.3、Y=1866.7代入约束条件的左边0.4X+0.25Y=600≤600（1）0.42X+0.15Y=420≥420（2）Y=1867≥800（3）约束（1）与（2）的左边等于右边，称为“紧约束”约束（3）的左边大于右边，说明矿石乙的实际使用量不仅能够满足所有求的最小使用量，而且还多用了，称约束（3）为“非紧”约束在约束条件（3）的左边减去一个变量，可使原来的“≥”约束不等式变为等式约束。同理，在约束条件（2）的左边减去一个变量，也可使可使原来的“≥”约束不等式变为等式约束。在约束条件（1）的右边加上一个变量，使可使原来的“≤”约束不等式变为等式约束Min45X+10Y+0S1+0S2+0S30.4X+0.25Y+S1=6000.42X+0.15Y-S2=420Y-S3=800X,Y,S1,S1,S1≥0案例分析2-1创业投资基金公司的数据分析

广州某创业投资基金公司为计算机软件和互联网的应用发展提供创业基金。目前该基金公司有两个投资机会：一个是需要资金去开发互联网安全软件的公司；另一个是需要资金去开发对顾客满意度进行调查的应用软件的公司，开发安全软件的公司要求该基金运作公司必须在接下来3年给其第1年提供600000元，第2年提供600000元，第3年提供250000元。开发调查应用软件的公司要求基金公司在接下来3年给其第1年提供500000元，第2年提供350000元，第3年提供400000元。该基金公司认为这两项投资都是值得尝试的。但是，由于其他的投资，公司只能在第1年共800000元，第2年投资700000元，第3年投资500000元。该基金运作公司的金融分析小组对这两项计划进行了调查，建议公司的目标应该是追求总投资利润现值最大化。净现值应考虑到3年后两家公司的股票价值和3年内的资金流出量。按8%的回报率计算，该基金公司的金融分析小组估计，如果对开发安全软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1800000元；对开发调查软件的公司进行100%的投资，净现值应该是1600000元。该基金公司对安全公司和市场调查的公司投入任何比例的资金。比如，如果基金公司对安全公司投资40%的资金，那么第1年就需要0.40*600000=240000元，第2年需要0.40*600000=240000元，第1年需要0.40*250000=100000元，，在这种情况下，净利润的值就是0.40*180000=720000元。对市场分析公司的投资计算方法相同。案例报告对该基金公司的投资问题进行分析，准备一个报告介绍你的建议和结论。包括如下内容：（1）这两种投资各应该占多大的比例？总投资的净现值是多少？（2）接下来3年的为两个公司的资金分配计划是什么？基金公司每年投资的总额是多少？（3）如果基金公司愿意在第1年追加100000元投资，会对投资计划产生什么影响？（4）制定追加100000元投资以后的投资分配计划；（5）你是否建议第1年再追回投资100000元。在该报告的中应该包括线性规划模型和图形的求解等。Theendofchapter1

第2章线性规划的灵敏度分析什么是灵敏度分析本章内容要点线性规划灵敏度分析的概念和内容使用Excel进行灵敏度分析影子价格的经济意义和应用本章节内容2.1线性规划灵敏度分析2.2单个目标函数系数变动2.3多个目标函数系数同时变动2.4单个约束右端值变动2.5多个约束右端值同时变动2.6约束条件系数变化2.7增加一个新变量2.8增加一个约束条件2.9影子价格（ShadowPrice）2.1线性规划灵敏度分析在第2章的讨论中，假定以下的线性规划模型中的各个系数cj、bi、aij是确定的常数，并根据这些数据，求得最优解。2.1线性规划灵敏度分析其实，系数cj、bi、aij都有可能变化，因此，需要进行进一步的分析，以决定是否需要调整决策。灵敏度分析研究的另一类问题是探讨在原线性规划模型的基础上增加一个变量或者一个约束条件对最优解的影响。广州电器厂生产优化问题广州电器厂生产A、B两种电器产品。产品A与产品B在生产过程中均需使用原材料1，其中每件所消耗的原材料1的数量分别为6和2。同时产品B还需使用原材料2，每件产品的消耗量为1。此外，每生产一件产品A与一件产品B所需的劳动时间分别为2和4。该厂可提供的两种原材料和劳动时间的数量是有限的。在第一个月初，该厂可提供的原材料1的数量为1800，原材料2的数量为350，可提供的总劳动时间为1600。该两种原材料的保存时间为一个月，也就是说第一个月用不完的原材料只能丢弃。经财务部门分析计算，产品A和产品B每件利润分别为3元和8元。而且根据市场调查得知，该两种产品的市场需求状况可以确定，按当前定价可确保所有产品均能销售出去。问第一个月产品A与产品B各应生产多少，可使利润最大？现假定市场状况或生产工艺发生变化，使目标函数中的系数发生了变化产品A的利润系数从3元/单位增至2.5元/单位最优解、最优目标值会发生变化么目标函数系数在什么范围内变化，才不会影响最优解？如果原材料2的供应量增加30千克，最大利润将会如何变化？线性规划的电子表格求解方法

我们以第2章的例1为例，在图2-1所示的图中的B5:D7和B8:C8区域设置已知数据，B14:C14区域设为决策变量x1,x2，目标函数的利润最大化与约束条件的公式计算设置如图2-1所示。“选项”对话框的功能分大体三部分：（一）控制规划求解过程

1.最长运算时间，最长可达32767秒。

2.迭代次数，最多可达32767次。以上两项在运算过程中如果尚未找出结果就已达到设定的运算时间和迭代次数，将会弹出“显示中间结果”对话框，可选择“继续运行”或“停止”。2.精度。精度必须用小数表示，小数位数越多，达到的精度越高，但求解时间也相应地越长。4.允许误差，只适用于有整数约束条件的整数规划，指满足整数约束条件的目标单元格结果与最佳结果之间可以允许的偏差。5.收敛度，只适用于非线性规划，指在最近5次迭代中，如果目标单元格数值的变化小于设置的数值，规划求解即停止运行。在以上5个选项下面还有4个复选框:1.“采用线性模型”，加速求解过程。2.“自动按比例缩放”，当输入和输出的数值相差很大时，可选择，以放大求解结果。2.“假定非负”。4.“显示迭代结果”。2.精度。精度必须用小数表示，小数位数越多，达到的精度越高，但求解时间也相应地越长。4.允许误差，只适用于有整数约束条件的整数规划，指满足整数约束条件的目标单元格结果与最佳结果之间可以允许的偏差。5.收敛度，只适用于非线性规划，指在最近5次迭代中，如果目标单元格数值的变化小于设置的数值，规划求解即停止运行。（二）选择规划求解所用方法1“估计”，指定在每个一维搜索中用以得到基本变量初始估计值的逼近方案。选择“正切函数”，指定使用正切向量线性外推法。选择“二次方程”，指定使用二次函数外推法，可提高非线性规划的计算精度。2.“导数”，指定用于估计目标函数和约束条件偏导数的差分方案。“向前差分”用于多数约束条件数值变化比较缓慢的问题。“中心差分”用于约束条件数值变化迅速，特别是接近限定值的问题。2.“搜索”，指定每次迭代算法以确定搜索方向。“牛顿法”用准牛顿法进行迭代，占内存较多，但所需迭带次数较少。“共轭法”占用的内存较少，但要达到指定的精度需要迭代的次数较多。当问题较大或内存有限，或单步进程缓慢时，应使用“共轭法”。2.2灵敏度分析的内容

1.目标函数中系数的变化对最优解与最优目标值的影响当目标函数中的系数变化时，等利润直线变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。目标函数中的系数改变足够大时，可使最优解发生变化。见例子1的图，若等利润线在AE和BF之间变化时，则B点仍然是既在可行域上、又离原点最远的顶点，此时最优解保持不变；若等利润线变得足够陡峭或平坦超出了直线AE和BF之间的范围，则该等利润线将与可行域相交于另一顶点C点（或A点），这时最优解将从顶点B点变为另一个顶点C点（或A点）。可见当目标函数中的系数发生变化时，若变化量在某个范围内，则最优解不变；若变化足够大，则最优解将发生变化。而当最优解发生变化时，通常最优目标值也将随之发生变化。2.约束条件右边的变化对最优解与目标值的影响当约束条件右边变化时，相应的表示约束的直线将平行移动，可行域将发生变化。当该移动足够大，最优解、目标值也可能随之变化。如当劳动时间减少时，表示劳动时间约束条件的直线BC移动至图中虚线B’C’所示的位置，可行域亦随之变化，从多边形OABCD变为OAB’C’D。这时，最优解与目标值均将发生变化。但是约束条件①（原材料1约束）的右边发生变化，而且变化不太大，则可行域的变化不会影响最优解与目标值，该约束是非紧的。当然如果变化很大，以致使该约束条件成为紧的，这时，最优解与最优目标值均可能发生变化。可见，当约束条件右边发生变化时，最优解与最优目标值可能会发生变化。综上所述，灵敏度分析主要内容包括：1.目标函数中的系数变化时，表示目标函数的直线族变得陡峭或平坦，它与可行域的交点也可能随之变化。灵敏度分析是研究目标函数中的系数变化对最优解与目标值的影响以及目标函数中的系数改变多少，方可使最优解发生变化。2.约束条件右边变化时，相应的表示约束条件的直线将平行移动，可性域发生变化，最优解与最优目标值也可能随之变化。灵敏度分析是研究约束条件右边变化时对目标值或最优解的影响状况。2.3敏感性报告及其解释

下面讨论如何获得敏感性报告，并利用敏感性报告进行灵敏度分析。灵敏度分析所要解决的问题可通过数学方法进行分析，例如可用数学公式计算目标函数的系数或约束条件右边变化对最优解与目标值的影响。不过这种计算一般比较复杂。运用Excel的规划求解功能可得到敏感性报告。1.Excel得到敏感性报告要用Excel获得敏感性报告，选择如图2-5所示中的敏感性报告，得到如图2-6所示的结果。2.敏感性报告中各项指标的含义敏感性报告中由两部分组成。位于报告上部的表格（单元格A6:H10）是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响；位于报告下部的表格（单元格A12:H17）是关于约束条件右边变化对目标值的影响。位于报告上部的表格是关于目标函数中的系数变化对最优解产生的影响。表格中前三列是关于该问题中决策变量的信息，其中单元格是指决策变量所在单元格的地址名字是指这些决策变量的名称，终值是决策变量的终值，即最优解。本题中，有两个决策变量：产品A的产量和产品B的产量，它们在电子表格上的地址分别是$B$14和$C$14，其最优解分别为100单位和350单位。第四列是递减成本，它的绝对值表示目标函数中决策变量的系数必须改进多少，才能得到该决策变量的正数解。这里的“改进”，在最大化问题中是指增加，在最小化问题中是指减少。本题中，两个决策变量均已得到正数解，所以它们的递减成本均为零。第五列目标式系数是指目标函数中的系数，它是题目中的已知条件。本例中目标函数中两个决策变量的系数分别为3和8。第六列和第七列分别是允许的增量和运行的减量，它们表示目标函数中的系数在允许的增量与减量范围内变化时，最优解不变。本例中，第一个决策变量（产品A的产量）的目标系数为3，允许增量为1，允许的减量为3，因此该目标系数在[2-3,3+1]即[0,4]范围内变化，该问题的最优解不变。同理第二个决策变量（产品B的产量）的目标系数为8，允许增量为1E+30，允许的减量为2，因此该目标系数在[8-2,8+1E+30]即[6,]范围内变化，该问题的最优解不变。注意：这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。位于报告下部的表格反映约束条件右边变化对目标值的影响。表格中的前三列是关于约束条件左边的信息，其中单元格是指约束条件左边所在单元格的地址，名字是约束条件左边的名称，终值是约束条件左边的终值。在本例中，有三个约束条件，它们分别是原材料1使用量、原材料2使用量和劳动时间使用量，它们在电子表格上对应的地址分别是$B$19，$B$20，$B$21，其终值分别为1300，350和1600。第四列是阴影价格即影子价格，后面讨论。第五列为约束限制值，指约束条件右边的值，通常是题目给定的已知条件，本题中三个约束条件右边的值分别是原材料1，原材料2，劳动时间的供应量，它们分别是1800，350，1600。第六列与第七列是允许的增量和允许的减量，它们表示约束条件右边在允许的增量与减量范围内变化时，影子价格不变。例如本题中，第一个约束条件右边的值为1800，允许的增量为1E30，允许的减量为500，因此该约束条件右边在[1800-500,1800+1E30]即[1300,]范围内变化时，原材料1的影子价格不变。注意：这里给出的决策变量的允许变化范围是指其他条件不变，仅在该决策变量变化时的允许变化范围。同理第二个约束条件右边在[350-50,350+50]即[300,400]范围内变化时，原材料2的影子价格不变。第三个约束条件右边在[1600-200,1600+166.7]即[1400,1766.7]范围内变化时，劳动时间的影子价格不变。2.影子价格

在敏感性报告中，第四列是影子价格，这是一个十分重要的概念，影子价格是指约束条件右边增加（或减少）一个单位，目标值增加（或减少）的数量。在例1中有三个资源约束，每种资源的影子价格是该种资源供应量增加（或减少）一个单位时，总利润增加（或减少）的数量。例如，从敏感性报告可知：第一个约束条件（原材料1供应量约束）的影子价格为0，这说明在允许的范围[1300，]内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料1供应量，总利润不变。第二个约束条件（原材料2供应量约束）的影子价格为2，这说明在允许的范围[300，400]内，再增加一个单位（减少）一个单位的原材料2供应量，总利润将增加（或减少）2元。第三个约束条件（劳动时间供应量约束）的影子价格为1.5，这说明在允许的范围[1400，1766.7]内，再增加一个单位（减少）一个单位的劳动时间供应量，总利润将增加（或减少）1.5元。4.使用敏感性报告进行敏感度分析

下面采用敏感性报告对例1进行灵敏度分析，并回答开始提出的问题。（1）若产品A的利润系数从3（元/单位产品）增至2.5（元/单位产品），那么，已求得的最优解、最优目标值会变化吗？该系数在什么范围内，才不会影响最优解？由图1所示可知敏感性报告上部的表格可知，产品A的系数在允许的变化范围[2-3，3+1]，即[0，4]区间变化时，不会影响最优解。现在产品A的利润系数是2.5，是在允许的变化范围内，所以最优解不变，仍然是X=100，Y=350。要注意的是，最优目标值将发生变化。原来是3100，现在是2.5*100+8*350=3150。

影子价格经济意义（1）影子价格是根据资源在生产中作出的贡献而做的估价。它是一种边际价格，其值相当于在资源得到最优利用的生产条件下，资源（约束右端值）每增加一个单位时目标函数值的增加量；（2）影子价格的经济意义和应用（2）如原材料2供应量增加30千克，最大利润将为多少？由图1的敏感性报告下部可知，当原材料2的约束条件右边在允许变化的范围[350-50,350+50]