2025年高考数学大题复习训练：线性回归、分线性回归和相关系数（解析）

专题19线性回归、分线性回归和相关系数

一、线性回归

1.2015年7月31日，在吉隆坡举行的国际奥委会第128次全会上，北京获得2022年冬奥会举办权.在申

冬奥过程中，中国正式向国际社会作出“带动三亿人参与冰雪运动”的庄严承诺.这一承诺，既是我国为国际

奥林匹克运动做出重大贡献的大国担当展现，也是根据我国经济水平和全民健身需求做出的群众性运动的

战略部署.从北京冬奥会申办成功到2021年10月，全国参与冰雪运动人数累计达到3.46亿，实现了“带动

三亿人参与冰雪运动”的目标，这是北京冬奥会给予全球冬季体育运动和奥林匹克运动的最为重要的遗产，

可以说是2022年北京冬奥会的第一块金牌.“冬奥热”带动“冰雪热”，也带动了冰雪经济，以冰雪运动为主要

内容的冰雪旅游近年来发展迅速，2016至2022六个冰雪季的旅游人次»（单位亿）的数据如下表：

年度2016—20172017—20182018—20192019—20202020—20212021—2022

年度代号t123456

旅游人次y1.71.972.240.942.543.15

（1）求y与，的相关系数（精确到0.01）,并回答y与/的线性相关关系的强弱；

（2）因受疫情影响，现将2019—2020年度的异常数据剔除，用剩下的5个年度数据（年度代号不变），求y

关于/的线性回归方程（系数精确到0.01）,并推测没有疫情情况下，2019—2020年度冰雪旅游人次的估计

值.

附注：参考数据：£=（2Mti=3.5,歹=£*%=2.09,2*5=47.72,2：=否=91,

N色一,2：=1（%—歹尸x7.参考公式：相关系数r==以…型，

11-122M（%-"以'MW"

回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b=R色々"）=三”a=y-bt

【答案】（1）0.55,线性相关性不强

（2）9=0.261+1.43,2.47亿

【分析】（1）由已知数据结合相关系数公式求出相关系数，再进行判断即可，

（2）由已知数据结合回归方程公式计算y关于评勺线性回归方程，再将t=4代入回归方程可求出2019—2020

年度冰雪旅游人次的估计值

【详解】（1）由参考数据计算得

66

W9一块％一力=W—6型=47.72-6x3.5x2.09=3.83

i=li=l

所以丁=jL&f3Tg。手夕0,55,

2久（％-力2

因为。<r<0.75,所以线性相关性不强.

（2）五组数据的均值分别为E=3.4,y=2.32

6

Wt7i—14y4—5、y=47.72—4x0.94—5x3.4x2.32=4.52

i=l

6

2222

Wtj-t4-57=91-16-5x3.4=17.2

i=l

Ay(ti-t)Cyi-y')

4.52

b=^--------=—----x0.263,

2**)217.2

a=y-bt1.43

y关于t的线性回归方程为5>=0.26t+1.43

令t=4,则夕=0.26X4+1.43=2.47,

因此，在没有疫情情况下，2019-2020年度冰雪旅游人次的估计值为2.47亿.

2.随着科技进步，近来年，我国新能源汽车产业迅速发展.以下是中国汽车工业协会2022年2月公布的

近六年我国新能源乘用车的年销售量数据：

年份201620172018201920202021

年份代码X123456

新能源乘用车年销售y（万辆）5078126121137352

（1）根据表中数据，求出y关于x的线性回归方程；（结果保留整数）

（2）若用y=nwnx模型拟合y与x的关系，可得回归方程为5>=37.71e°-33x,经计算该模型和第（1）问中模

型的R2（R2为相关指数）分别为0.87和0.71,请分别利用这两个模型，求2022年我国新能源乘用车的年销

售量的预测值；

（3）你认为（2）中用哪个模型得到的预测值更可靠？请说明理由.

参考数据：设it=Iny,其中%=In%.

66

W（久t-兄）（%W-X）（Ui

3.635.946.27

yU1=1i=leee

-y）-u）

1444.788415.7037.71380528

参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据(%,%)。=1,2,3,n),其回归直线y=B久+&的斜

率和截距的最小二乘估计公式分别为务=飞尸”),a=y-bx.

【答案】(1)9=48X-24

(2)当回归方程为歹=48x-24时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是312万辆；

当回归方程为9=37.71e°33x时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值是380万辆.

(3)由于相关指数越接近于1,两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，

所以歹=37.71e°33x模型得到的预测值更可靠.

【分析】(1)根据表中数据和参考数据，得出天，y,2M(%-幻血一刃，2岂于的值,

运用最小二乘法求回归直线方程即可；

(2)根据回归方程，代入x的值即可求出预测值；

(3)相关指数越接近1,两变量的相关性越强，预测值越可靠.

【详解】(1)由表中数据得，

又=1+2+3；+5+6=38,y=144,S*Li(Xi-x)(Yi-y)=841,

n

2222222

(Xj-X)=(X1-x)+(x2-x)+(x3-x)+(x4-x)+(x5-x)+(x6-x)

i=l

=(1-3.5)2+(2—3.5)2+(3—3.5)2+(4_3.5)2+(5—3.5)2+(6_3.5)2

=17.5

b=弋尸所刃=841~48支=y_=144_48x3.5=-24

ZL(xf)217.5>

二y关于x的线性回归方程为：y=48x-24.

(2)由(1)知，y关于x的线性回归方程为：#=48x—24,

当x=7时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：

y=48x7-24=312(万辆)；

对于回归方程9=37.71e°，33x,

当x=7时，2022年我国新能源乘用车的年销售量的预测值：

y=37.71e0,33x7=e363Xe2,31=e5-94=380（万辆）.

（3）依题意：9=37.71e°33x模型和第（1）问中模型的R2（R2为相关指数）分别为0.87和0.71,

由于相关指数越接近于1,两个变量之间的关系就强，相应的拟合程度也越好，

所以歹=37.71e°，33x模型得到的预测值更可靠.

3.小李准备在某商场租一间商铺开服装店，为了解市场行情，在该商场调查了20家服装店，统计得到了

它们的面积忒单位:m2）和日均客流量供单位:百人）的数据@,%）（i=1,2「“，20）,并计算得£普%=2400,

£2力=210,2：二（%—幻2=42000,£普（阳一无）（%—?）=6300.

（1）求y关于x的回归直线方程；

（2）已知服装店每天的经济效益W=kV7+mx（k>0,ni>0）,该商场现有60〜150m2的商铺出租，根据（1）

的结果进行预测，要使单住面积的经济效益Z最高，小李应该租多大面积的商铺？

附：回归直线夕=+&的斜率和截距的最小二乘估计分别为：】=弋fa=y-bx.

【答案】（l）?=0.15x-7.5

（2）小李应该租lOOn?的商铺

【分析】（1）由已知条件结合回归直线公式可求出回归直线方程，

（2）根据题意得Z=?=空叵尹+m,60<x<150,构造函数f（x）=号在，利用二次函数的性质可

求出其最大值，从而可求出Z的最大值

【详解】⑴由已知可得蹬产=120,y=焉蹬*=10.5,

心含竽=黑=。」5,

a=y-bx=10.5-0.15X120=-7.5,

所以回归直线方程为歹=0.15x-7.5.

kV0.15x—7.5.,小，，ai-八

（2）根据题意得Z=K------------+m,60<x<150.

X

0.15x-7.50.157.5人411,4)1

r，令t=一，一<t<—,

设f(x)x2x15060

22

则f(x)=g(t)=0.15t-7.5t=-7.5x(t-0.01)+0.00075,

当t=0.0L即x=100时，f(x)取最大值，

又因为k,m>0,所以此时Z也取最大值,

因此，小李应该租100m2的商铺.

4.某医科大学实习小组为研究实习地昼夜温差与感冒人数之间的关系，分别到当地气象部门和某医院抄录

了1月至3月每月5日、20日的昼夜温差情况与因感冒而就诊的人数，得到如表资料:

日期1月5日1月20日2月5日2月20日3月5日3月20日

昼夜温差X(℃)1011131286

就诊人数y(个)222529261612

该小组确定的研究方案是：先从这6组数据中随机选取4组数据求线性回归方程，再用剩余的2组数据进

行检验.

参考公式：b—

j=l

(1)求剩余的2组数据都是20日的概率;

⑵若选取的是1月20日、2月5日、2月20日、3月5日这4组数据.

①请根据这4组数据，求出y关于x的线性回归方程)=bx+a;

②若某日的昼夜温差为7℃,请预测当日就诊人数.(结果保留整数).

【答案】(叫

(2)®y=yx-y；②14人

【分析】(1)利用列举法求解，先列出从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况,

然后找出其中2组数据都是20日的情况，然后利用古典概型的概率公式求解，

(2)①根据表中的数据和公式求出y关于x的线性回归方程，②把x=7代入回归方程求解即可

(1)

记6组依次为1,2,3,4,5,6,从这6组中随机选取4组数据，剩余的2组数据所有等可能的情况为(1,2),

(1,3),(1,4)>(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种,

其中2组数据都是20日，即都取自2,4,6组的情况有3种.

根据古典概型概率计算公式，剩余的2组数据都是20日的概率P=卷=(

(2)

①由所选数据，得又=11+13广2+8=11,25+29：26+16=2%

44

11x25+13x29+12x26+8x16-4x11x2418

所以6=

ll2+132+122+82-4xll2

所以6=y—bx=24—yx11=—y,

所以y关于X的线性回归方程为9=yX-y.

②当X=7时，y=yX7-y=y-14,

所以某日的昼夜温差为7℃,预测当日就诊人数约为14人.

5.某科技公司研发了一项新产品4经过市场调研，对公司1月份至6月份销售量及销售单价进行统计,

销售单价x（千元）和销售量y（千件）之间的一组数据如下表所示:

月份i123456

销售单价

99.51010.5118

%i

销售量外111086515

（1）试根据1至5月份的数据，建立y关于x的回归直线方程；

（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.65千件，则认为所得到的回归

直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？

参考公式：回归直线方程？=B久+4,其中3=善纥喳.

〉x--nx2

=i=]

参考数据：唾3%=392,2：=*=5025

【答案】（1）y=-3.2x+40；（2）是.

【分析】（1）先由表中的数据求出五歹，再利用已知的数据和公式求出6,3,从而可求出y关于x的回归直线

方程；

（2）当x=8时，求出产的值，再与15比较即可得结论

【详解】（1）因为又=：（9+9.5+10+10.5+11）=10,y=|（ll+10+8+6+5）=8,

所以6=IS筹=一3.2,

得含=8-（-3.2）x10=40,

于是v关于X的回归直线方程为y=-3.2x+40；

(2)当x=8时，y=-3.2X8+40=14.4,

则匹-yl=114.4-15|=0.6<0.65,

故可以认为所得到的回归直线方程是理想的.

6.2015年10月16日，习近平总书记在减贫与发展高层论坛上强调，中国扶贫工作要实施精准扶贫方略,

坚持中国制度优势，坚持分类施策.当年11月23日，中共中央政治局召开会议，审议通过了《关于打赢

脱贫攻坚战的决定》等有关文件，会议确定了通过产业扶持、转移就业、教育支持和医疗救助等措施帮助

5000万左右贫困人口脱贫的目标.下表为某贫困县在实施扶贫政策过程中贫困户的统计数据：

年份2015年2016年2017年2018年2019年2020年

序号工第0年第1年第2年第3年第4年第5年

贫困户数y(百户)5.44.63.42.51.60.5

(1)从这六组数据的贫困户数中任意抽取两个值a,b(百户)，设f为|a-川四舍五入后的整数值，求随机

变量f的分布列及期望值Ef；

(2)以2015-2019年五组数据进行相关性分析发现，贫困户数y(百户)与年份的序号x存在较强的线性

相关性，试用最小二乘法求相应的回归方程，并利用2020年的数据对该回归方程进行检验.若实际数与预

测值的差值的绝对值不超过10户，则认为回归方程可靠.请问该回归方程是否可靠？

附：回归方程9=标+&中斜率和截距的最小二乘法公式为：3=1,-一9=却七/)(对),2一族.

2

yxl-nx工=I(XLX)2，

【答案】(1)分布列见解析；期望为］(2)9=—0.97X+5.44；该回归方程可靠.

【分析】(1)根据题意先求己的所有取值，再求概率、分布列及期望；

(2)根据题中的数据利用最小二乘法公式可求回归方程，再检验即可.

【详解1)用(x,y)表示取得的数据分别为x和y,则所有的基本事件有(5.4,4.6),(54,3.4),(5.4,2.5),(5,4,1.6),

(5.4,0.5),(4.6,34),(4.6,2.5),(4.6,1.6),(4.6,0.5),(34,2.5),(3.4,1.6),(3.4,0.5),(2.5,1.6),(2.5,0.5),(1.6,0.5)

共15个，对应的《的取值分别为1,2,3,4,5,1,2,3,4,1,2,3,1,2,1,即《的取值有1,2,3,

4,5,且

P«=l)=^=pP(?=2)=aP(t=3)=W，PG=4)=总P(W=5)=总

故变量?的分布列为：

12345

14121

P

31551515

期望值境=1XV+2X2+3XV+4X(+5X2/.

(2)根据题意知,x=2,y=3.5,

0+4.6+6.8+7.5+6.4—5x2x3.5

所以6=0.97

0+1+4+9+16-5X22

则A=3.5+0.97x2=5.44.

所以#=-0.97x4-5.44.

当x=5时，y=-0,97x5+5.44=0.59,而预测数与实际数的差值的绝对值为

|0.59-0.5|=0.09（百户），即差值为9户，所以该回归方程可靠.

7.2021年是“十四五”开局之年，是在全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标之后，全面建设社会主

义现代化国家新征程开启之年，新征程的第一阶段是2020年到2035年，基本实现社会主义现代化，其中

保障农村农民的生活达到富裕是一个关键指标.某地区在2020年底全面建成小康社会，随着实施乡村振兴

战略规划，该地区农村居民的收入逐渐增加，可支配消费支出也逐年增加.该地区统计了2016年—2020年

农村居民人均消费支出情况，对有关数据处理后，制作如图1的折线图（其中变量y（万元）表示该地区农

村居民人均年消费支出，年份用变量t表示，其取值依次为1,2,3,……）.

（1）由图1可知，变量y与t具有很强的线性相关关系，求y关于t的回归方程，并预测2021年该地区农村居

（2）在国际上，常用恩格尔系数（其含义是指食品类支出总额占个人消费支出总额的比重）来衡量一个国

家和地区人民生活水平的状况.根据联合国粮农组织的标准：恩格尔系数在40%〜50%为小康，30%〜40%为

富裕.已知2020年该地区农村居民平均消费支出构成如图2所示，预测2021年该地区农村居民食品类支

出比2020年增长3%,从恩格尔系数判断2021年底该地区农村居民生活水平能否达到富裕生活标准.

其他用品及

医疗保健1428元服务244元

教育文化

娱乐1429元

食品类

交通通信

4451元

1871元

生活用品及衣着723元

服务872元

居住2982元

图2

2020年该地区农村居民人均消费支出构成

参考公式：回归方程9=版+冲斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：I普松=声誓,

a=y—bx

【答案】（1）y=0.101t+0.907；约为1.513万元；（2）2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生

活标准.

【分析】（1）先由已知的数据求出三%2从而可求出6,A,进而可得到y关于t的回归方程,

然后将t=6代入可求出2021年该地区农村居民人均消费支出；

（2）由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4451元,则预测2021年该地区食品类支出为4451x

（1+3%）=4584.53元，从而可求出恩格尔系数

【详解】解：（1）由已知数据可求1=1+2+：+4+5=3,

-1.01+1.10+1.21+1.33+1.40-…

y=---------------------------=1.21,

y5t?=I2+22+32+42+52=55,

J1=11

5tjyi=1x1.01+2x1.10+3x1.21+4x1.33+5x1.40=19.16,

Zi=i

,「19.16-5x3xl.211.01八1cl

55-5x3210

.,.a=l,21-0.101x3=0.907

・•・所求回归方程为，=0.101t+0.907.

当t=6时，y=0.101x6+0.907=1.513（万元），

A2021年该地区农村居民人均消费支出约为1.513万元

（2）已知2021年该地区农村居民平均消费支出1.513万元,

由图2可知,2020年该地区农村居民食品类支出为4451元,则预测2021年该地区食品类支出为4451x（1+

3%）=4584.53元，

.••恩格尔系数=等鬻x100%x30.3%G（30%,40%）

所以，2021年底该地区农村居民生活水平能达到富裕生活标准.

8.根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安

全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形式，积极开

展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要

作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表:

第X天12345

新接种人数y1015192328

（1）建立y关于x的线性回归方程；

（2）预测该村80%•居民接种新冠疫苗需要几天？

参考公式：回归方程9=氤+4中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：3=密亚3,a^y-bx.

〉xj-nx2

=

【答案】⑴y=yx+y；（2）7.

【分析】（1）本题首先可以求出登y,然后求出6、a,即可求出y关于X的线性回归方程；

（2）本题可设an=1n+?数列同｝的前n项和为Sn，然后根据等差数列求和公式得出Sn=蓑十+8n,

最后求出S6、S7,即可得出结果.

v'V.bjjY/1、-1+2+3+4+5_10+15+19+23+28八

【详解】（1）x=---------=3o,y=-------------=19,

£乙段力-11对_10+30+57+92+140-5x3x19_22_22„_29

\5x?-nx2.12+22+32+42+52-5X32-5*3-TX-二，

乙i=l1

故y关于X的线性回归方程9-yX+y.

(2)200x80%=160,

设an=0+V数列同｝的前n项和为Sn，易知数列入｝是等差数歹I，

22292229

用代(ai+a)(可+可+可n+丁)n

贝1JSn=%"n•"=~———,n=ynz2+8n,

因为S6=127.2,S7=163.8,

所以预测该村80%居民接种新冠疫苗需要7天.

【点睛】关键点点睛：本题考查线性回归方程的求法以及实际应用，能否根据表中数据求出6、A是解决本

题的关键，考查等差数列求和公式的应用，考查计算能力，是中档题.

9.某地区2021年清明节前后3天每天下雨的概率为50%,通过模拟实验的方法来计算该地区这3天中恰

好有2天下雨的概率.用随机数x（x€N,且03久W9）表示是否下雨：当x€［0,m］（机€Z）时表示该地

区下雨，当xe加+1,9］时，表示该地区不下雨，从随机数表中随机取得20组数如下：

332714740945593468491272073445

992772951431169332435027898719

（1）求出加的值，并根据上述数表求出该地区清明节前后3天中恰好有2天下雨的概率；

（2）从2012年到2020年该地区清明节当天降雨量（单位：mm）如表：（其中降雨量为0表示没有下雨）.

时间2012年2013年2014年2015年2016年2017年2018年2019年2020年

年份t123456789

降雨量y292826272523242221

经研究表明：从2012年至2021年，该地区清明节有降雨的年份的降雨量y与年份/成线性回归，求回归直

线方程9=超+%并计算如果该地区2021年（t=10）清明节有降雨的话，降雨量为多少？（精确到0.01）

参考公式：B=常向。/,a=y-bt.

_o、、7

参考数据：（4-租%-y）=一58,%-t）（y；-y）=一54,ZJT）2=60，ZJT）2=

52.

【答案】⑴m=4,1；（2）9=—||t+罢；该地区2020年清明节有降雨的话，降雨量为20.2mm.

【分析】（1）利用概率模拟求概率；

（2）套用公式求回归直线方程即可.

【详解】解：（1）由题意可知，喟'=50%,解得m=4,即。〜4表示下雨，5〜9表示不下雨,

所给的20组数据中714,740,491,272,073,445,435,027,共8组表示3天中恰有两天下雨，

故所求的概率为Ml；

（2）由题中所给的数据可得千=5,y=25,

所以6=瓦仁心=3=—空，a=y-bt=25-（-^x5=^,

9a一球6030J\30/6

Zi=l

所以回归方程为y=—l?t+言，

30o

当t=10时，y=--X10+—=—«20.2,

J3066

所以该地区2020年清明节有降南的话，降雨量为20.2mm.

【点睛】求线性回归方程的步骤：①求出又斤；②套公式求出6、a；③写出回归方程y=6x+A；④利用回归

方程#=&+含进行预报；

10.随着互联网行业、传统行业和实体经济的融合不断加深，互联网对社会经济发展的推动效果日益显著,

某大型超市计划在不同的线上销售平台开设网店，为确定开设网店的数量，该超市在对网络上相关店铺做

了充分的调查后，得到下列信息，如图所示（其中X表示开设网店数量，y表示这X个分店的年销售额总和）,

现已知=8850,£：=i%=2000,求解下列问题；

A年销售额11彷元）

分扇量V

（1）经判断，可利用线性回归模型拟合y与％的关系，求解y关于x的回归方程；

（2）按照经验，超市每年在网上销售获得的总利润w（单位：万元）满足w=y-一140,请根据

中的线性回归方程，估算该超市在网上开设多少分店时，才能使得总利润最大.

参考公式；线性回归方程夕=Bx+%其中2=歹一3元B=善堂^

）Xi2—rix

-i=l

【答案】（1），=85x+60；（2）开设8或9个分店时，才能使得总利润最大.

【分析】（1）先求得&2=90,又=4,再根据提供的数据求得6,a,写出回归直线方程；

（2）由（1）结合w=y—5x2-140,得到w=-5x?+85x-80,再利用二次函数的性质求解.

【详解】（1）由题意得=90,又=4,6=啜鬻^=85,

§=400-85x4=60,

所以歹=85x+60.

（2）由（1）知，w———5x?+85x—80--5（x——4—--,

所以当x=8或x=9时能获得总利润最大.

二、非线性回归

11.抗体药物的研发是生物技术制药领域的一个重要组成部分，抗体药物的摄入量与体内抗体数量的关系

成为研究抗体药物的一个重要方面.某研究团队收集了10组抗体药物的摄入量与体内抗体数量的数据，并对

这些数据作了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值，抗体药物摄入量为x(单位：mg),

体内抗体数量为了(单位：AU/mL).

101010注10

i=li=li=li=l

29.2121634.4

九

12-

10-

8-

6-

4-

2-

62468101214161820222426*

(1)根据经验，我们选择y=c/作为体内抗体数量y关于抗体药物摄入量X的回归方程，将y=c/两边取对

数，得Iny=Inc+如1久，可以看出Inx与Iny具有线性相关关系，试根据参考数据建立y关于x的回归方程，

并预测抗体药物摄入量为25mg时，体内抗体数量y的值；

(2)经技术改造后，该抗体药物的有效率z大幅提高，经试验统计得z服从正态分布N〜(0.48,0.032),那这

种抗体药物的有效率z超过0.54的概率约为多少？

附：①对于一组数据(%,%)«=1,2,…,10),其回归直线。=&a+6的斜率和截距的最小二乘估计分别为自=

-----二，a=v-

Yuj-nu

=i=]

②若随机变量则有P(〃一+=0.6826,P(〃—2。<Z<〃+2cr)=0.9544,P(〃—

3。VZV〃+3d)«0.9974；

③取ex2.7.

【答案】69=ex03；y=i3.5AU/mL

(2)0.0228

【分析】(1)用最小二乘法求解回归直线方程，再求非线性回归方程即可；

(2)根据正态分布的对称性求解给定区间的概率即可.

【详解】(1)将y=cxd两边取对数，得Iny=Inc+dlnx,

设z=Iny,t=Inx,则回归方程变为z=Inc+dt,

由表中数据可知，々=2£*4=1.6,£*玛=1.2,

t'-iot：=29.2-l°xl.2x：,6

所以d='舄=05lnc=z-dt=1.6-0.5X1,2=1,

2*t?-10t234.4-10X1.22

所以/=1+0.5t,即Iny=1+0.51nx=Ine+Inx0,5=Inex05,

故y关于x的回归方程为？=ex05,

当x=25mg时，y=e-2505«2.7x5=13.5AU/mL.

(2)因为z服从正态分布N(0.48,0.032),其中R=0.48,Q=0.03,

所以P(n-2o<z<n+2o)=P(0.42<z<0.54)«0.9544,

所以P(z>0.54)=l-P(a42jz<0.54)=1-0-9544=0Q228,

故这种抗体药物的有效率Z超过0.54的概率约为0.0228.

12.经观测，长江中某鱼类的产卵数y与温度%有关，现将收集到的温度期和产卵数%(i=1,2,…,10)的10组

观测数据作了初步处理，得到如图的散点图及一些统计量表.

10

10101010

£i=l

1=11=1i=li=l

—X)2

36054.5136044384

10101010

入

1=1i=li=li=l

-ty-1)(y；-y)-无)⑵-z)-彳)(%-y)

3588326430

表中。=逐,4=\nyifz=3葭彳

九

350-.•

300-

250-

200-•

150-*

wo-,

50-*

3，IJiIIII»

°2022242628303234361

（1）根据散点图判断，y=a+bx,y=n+m而与y=（:遇。2才哪一个适宜作为y与％之间的回归方程模型并求出y

关于万回归方程；（给出判断即可，不必说明理由）

（2）某兴趣小组抽取两批鱼卵，已知第一批中共有6个鱼卵，其中“死卵”有2个；第二批中共有8个鱼卵，

其中“死卵，，有3个.现随机挑选一批，然后从该批次中随机取出2个鱼卵，求取出“死卵”个数的分布列及数

学期望.

附：对于一组数据（由^。，（3，^，…（诙，2），其回归直线"=a+0〃的斜率和截距的最小二乘估计分别为

£乙(由-兀)

(%-9),a=v—Pu.

【答案】（l）y=jeC2x适宜，y=e/x+i・4

（2）分布列见解析，g.

【分析】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，所以y=qeC2x适宜作为y与x之

间的回归方程模型；令z=lny,转化线性回归方程求解，进而得y关于x回归方程；

（2）由题意，W的取值为0,1,2，由全概率公式求得对应的概率，从而可求分布列及数学期望.

【详解】（1）根据散点图判断，看出样本点分布在一条指数函数的周围，

所以y=CieC2X适宜作为y与X之间的回归方程模型；

（Xj-x）（Zj-z）_321

令则

z=Iny,z=c2x+\nclfc2=2*（XT）2-38412,

InCi=z—c2x=1.4,••・z=-x+1,4,

y关于x的回归方程为『=ez=壶+14

(2)由题意，设随机挑选一批，取出两个鱼卵，其中“死卵”个数为《，则出勺取值为0,1,2,

设Aj="所取两个鱼卵来自第i批”(i=1,2),所以P&=PAZ=p

设&="所取两个鱼卵有i个”“死卵”(i=1,2),

由全概率公式

P6=0)=P(B°|Ai)P(Ai)+P(B0|A2)P(A2)+"好高

PG=1)=P(BilAi)P(AJ+P(BIIA2)P(A2)=gx等+(x詈=券，

P(W=2)=P(B2|A1)P(A1)+P(B2|A2)P(A2)=1X|J+，X£=W，

Z1^64CgO4-U

所以取出“死卵”个数的分布列为：

012

5344973

P

140840840

EL（/《h）、=0cx--D-O--F.yix-十--勺-》-F，2cx—13=—DVD=—1/,

14084084084024

所以取出“死卵”个数的数学期望W

13.中医药是包括汉族和少数民族医药在内的我国各民族医药的统称，是具有悠久历史传统和独特理论技

术方法的医药体系，长期呵护着我们的健康，为中华文明的延续作出了突出贡献.某科研机构研究发现，某

味中药的药用量X(单位：克)与药物功效9(单位：药物功效单位)之间具有关系5>=10x-"2.

(1)估计该味中药的最佳用量与功效；

(2)对一批含有这味中药的合成药物进行检测，发现这味中药的药用量平均值为6克，标准差为2,估计这

批合成药的药物功效夕的平均值.

【答案】(1)该药物使用量为5克时可达最大功效25.

（2）20

【分析】(1)根据用量X与功效旷之间具有关系9=10x-x2,结合二次函数的性质，即可求解;

（2）根据题意求得Xj=6,]2；渊—炉=4,结合则歹=*£%=[2£（10Xi—x»即可求解.

【详解】（1）解：由题意，某味中药的药用量x与药物功效9之间具有关系夕=10x-x2,

可得#=10x-x2=-（X-5）2+25,所以当x=5时，Smax=50-25=25,

即该药物使用量为5克时可达最大功效25.

⑵解：由题意，得又=工邓1%=6,s2=--x2=4,所以工Tx：=40,

nT—!■*nJ1=11n1=1

物=*Lyi=§2L（10xi-x?）=%£：=产-§2"?=60-40=20,

这批合成药的药物功效平均值为20.

14.五一小长假期间，文旅部门在某地区推出Z,B,C,D,E,尸六款不同价位的旅游套票，每款套票的

价格为（单位：元；i=l,2,…,6）与购买该款套票的人数%（单位：千人）的数据如下表：

套票类别ABCDEF

套票价格%i（元）405060657288

购买人数%（千人）16.918.720.622.524.125.2

（注：A,B,C,D,E,尸对应i的值为1,2,3,4,5,6）为了分析数据，令巧=历电，处=In%,发现

点（巧,。）集中在一条直线附近.

（1）根据所给数据，建立购买人数y关于套票价格x的回归方程；

（2）规定：当购买某款套票的人数y与该款套票价格x的比值在区间《方]上时，该套票为“热门套票”.现有

甲、乙、丙三人分别从以上六款旅游套票中购买一款.假设他们买到的套票的款式互不相同，且购买到“热

门套票”的人数为X,求随机变量X的分布列和期望.

附:①参考数据:琨/3=75.3,万=4.1,（o=3.05,琢=101.4.

②对于一组数据01，3。（-2,32），…,On，3n），其回归直线企=+2的斜率和截距的最小二乘估计分别为

723巧两八—妾―

b=------»a=GO—bv.

SV1—TW

j=]

1

【答案】（l）y=ex2；

⑵分布列见解析，期望为2.

【分析】（1）利用给定的数据，结合最小二乘法公式求出可歹的回归方程，再代换作答.

（2）利用（1）的结论结合已知，求出“热门套票”数，再借助超几何分布求出分布列、期望作答.

【详解】(1)由已知点(Vi，3i)(i=1,2,…,6)集中在一条直线附近，设回归直线方程为$=6V+A,

由歹=4.1,桁=3.05,X^ViWi=75.3,=101.4,

得6=葭广⑼-西=75.3-6X4.1X3,=±§=^-bv=3.05--X4.1=1,

62

yv2_n_2101.4-6X4.122

乙i=li

因此变量3关于V的回归方程为幻=|v+l,

-11

令v=Inx,co=Iny,则lny=51nx+l,即9=ex"

i

所以y关于x的回归方程为y=ex2.

i

(2)由¥=%=；€白勺，解得49WXW81,所以x=50,60,65,72,

xxx，97」

于是B,C,D,E为“热门套票”，则三人中购买“热门套票”的人数X服从超几何分布，X的可能取值为1,2,3,

P(X=1)=等=P(X=2)=警=P(X=3)=g=i

所以X的分布列为：

15.数据显示中国车载音乐已步入快速发展期，随着车载音乐的商业化模式进一步完善，市场将持续扩大,

下表为2018-2022年中国车载音乐市场规模(单位：十亿元)，其中年份2018—2022对应的代码分别为1-5.

年份代码支12345

车载音乐市场规模y2.83.97.312.017.0

(1)由上表数据知，可用指数函数模型y=a-〃拟合y与x的关系，请建立y关于x的回归方程;

(2)根据上述数据求得y关于x的回归方程后，预测2024年的中国车载音乐市场规模.

参考数据：

5

w%%0.5240.4727

Vee1.6

i=l

1.9433.821.71.626.84

其中巧=In%,v=vi-

参考公式：对于一组数据（内,%），（〃2，〃2），…，（〃九,%）其回归直线〃=仇+/?〃的斜率和截距的最小二乘法

估计公式分别为&=,广“一血:,a=v-pu.

〉13—nu

乙T=]

【答案】⑴y=1.7xl.6x；

（2）45.628（十亿元）.

【分析】（1）对y=a-bx两边取对数，转化为线性回归方程的求解，结合已知数据和参考公式，即可求解;

（2）根据（1）中所求模型，令x=7,即可求得结果.

【详解】（1）因为y=a-bx,所以两边同时取自然对数，得lny=lna+xlnb,

设v=Iny,所以v=Ina+xlnb,

设a=Ina,0=lnb,则v=a+0x,

因为又=1（l+2+3+4+5）=3,v=1.94,

所以”33.82-5x3x1.94

5255-5x32-=0.472,

yx?-5x―

a=v-px=1.94-0.472x3=0.524,所以a=Ina=0.524,p=lnb=0.472,

所以a=e0-524=1.7,b=e0472=1.6,所以y=1.7xl.6x

(2)把2024年代码x=7代入方程，

得y=1.7x1.67=1.7x26.84=45.628（十亿元）

故预测2024年的中国车载音乐市场规模45.628（十亿元）

16.当前移动网络已融入社会生活的方方面面，深刻改变了人们的沟通、交流乃至整个生活方式.4G网络虽

然解决了人与人随时随地通信的问题，但随着移动互联网快速发展，其已难以满足未来移动数据流量暴涨

的需求，而5G作为一种新型移动通信网络，不但可以解决人与人的通信问题，而且还可以为用户提供增强

现实、虚拟现实、超