2019-2020学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷（解析）

2019-2020学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合，，1，，则A． B．， C．，1， D．，0，1，2．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．3．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是A． B． C． D．4．（4分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定5．（4分）已知，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．（4分）已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是A． B． C．， D．7．（4分）“函数在区间，上不是增函数”的一个充要条件是A．存在满足（a）（1） B．存在满足（a）（2） C．存在，，且满足（a）（b） D．存在，，且满足（a）（b）8．（4分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（参考数据，A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.9．（4分）函数且的图象经过点，则的值为．10．（4分）已知，则的定义域为，不等式的解集为．11．（4分）已知，，，则点的坐标为，的坐标为．12．（4分）函数的零点个数为，不等式的解集为．13．（4分）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元．由此（填“能够”或“不能”推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是．14．（4分）对于正整数，设函数，其中表示不超过的最大整数．①则；②设函数，则在函数的值域中所含元素的个数是．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人．基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查．现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．选“同意”的人数选“不同意”的人数男生4女生2（Ⅰ）写出，的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．16．（11分）已知函数．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）已知，且在，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．17．（12分）如图，在射线，，中，相邻两条射线所成的角都是，且线段．设．（Ⅰ）当，时，在图1中作出点的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用，写出“点在射线上”的一个充要条件：；（Ⅲ）设满足“且”的点所构成的图形为，①图形是；．线段．射线．直线．圆②在图2中作出图形．18．（10分）已知函数的图象在定义域上连续不断．若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质．（Ⅰ）若满足性质（2），且（1），求（4）的值；（Ⅱ）若，试说明至少存在两个不等的正数，，同时使得函数满足性质和．（参考数据：（Ⅲ）若函数满足性质，求证：函数存在零点．四、附加题：（本题满分0分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）19．在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合．定义数据点集为平面点集，，2，，，寻找函数去拟合数据点集，就是寻找合适的函数，使其图象尽可能地反映数据点集中元素位置的分布趋势．（Ⅰ）下列说法正确的是．（写出所有正确说法对应的序号）．对于任意的数据点集，一定存在某个函数，其图象可以经过每一个数据点．存在数据点集，不存在函数使其图象经过每一个数据点．对于任意的数据点集，一定存在某个函数，使得这些数据点均位于其图象的一侧．拟合函数的图象所经过的数据点集中元素个数越多，拟合的效果越好（Ⅱ）衡量拟合函数是否恰当有很多判断指标，其中有一个指标叫做“偏置度”，用以衡量数据点集在拟合函数图象周围的分布情况．如图所示，对于数据点集，，，在如下的两种“偏置度”的定义中，使得函数的偏置度大于函数的偏置度的序号为；①；②．（其中代表向量的模长）（Ⅲ）对于数据点集，，，，用形如的函数去拟合．当拟合函数满足（Ⅱ）中你所选择的“偏置度”达到最小时，该拟合函数的图象必过点．（填点的坐标）

2019-2020学年北京市海淀区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）设集合，，1，，则A． B．， C．，1， D．，0，1，【解答】解：，，1，，，．故选：．2．（4分）不等式的解集是A． B． C． D．【解答】解：，，，不等式的解集为．故选：．3．（4分）下列函数中，既是偶函数，又在上是增函数的是A． B． C． D．【解答】解：在上单调递减，不符合题意；为非奇非偶函数，故不符合题意；为偶函数，当时，单调递增，故正确；由于的定义域关于原点不对称，故非奇非偶，不符合题意；故选：．4．（4分）某赛季甲、乙两名篮球运动员各13场比赛得分情况用茎叶图表示如下：根据上图，对这两名运动员的成绩进行比较，下列四个结论中，不正确的是A．甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差 B．甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数 C．甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值 D．甲运动员的成绩比乙运动员的成绩稳定【解答】解：首先将茎叶图的数据还原：甲运动员得分：19181826212035333230474140乙运动员得分：17171919222526272929303233对于，极差是数据中最大值与最小值的差，由图中的数据可得甲运动员得分的极差为，乙运动员得分的极差为，得甲运动员得分的极差大于乙运动员得分的极差，因此正确；对于，甲数据从小到大排列：18181920212630323335404147处于中间的数是30，所以甲运动员得分的中位数是30，同理求得乙数据的中位数是26，因此甲运动员得分的中位数大于乙运动员得分的中位数，故正确；对于，不难得出甲运动员的得分平均值约为29.23，乙运动员的得分平均值为25.0，因此甲运动员的得分平均值大于乙运动员的得分平均值，故正确；对于，分别计算甲、乙两个运动员得分的方差，方差小的成绩更稳定．可以算出甲的方差为：，同理，得出乙的方差为：因为乙的方差小于甲的方差，所以乙运动员的成绩比甲运动员的成绩稳定，故不正确．故选：．5．（4分）已知，，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解答】解：，或．“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：．6．（4分）已知函数若关于的函数有且只有三个不同的零点，则实数的取值范围是A． B． C．， D．【解答】解：当时，，，当时，，作出函数的图象如图：若方程有三个不相等的实数根，则，故选：．7．（4分）“函数在区间，上不是增函数”的一个充要条件是A．存在满足（a）（1） B．存在满足（a）（2） C．存在，，且满足（a）（b） D．存在，，且满足（a）（b）【解答】解：“函数在区间，上不是增函数”的一个充要条件是：存在，，且满足（a）（b）．故选：．8．（4分）区块链作为一种革新的技术，已经被应用于许多领域，包括金融、政务服务、供应链、版权和专利、能源、物联网等．在区块链技术中，若密码的长度设定为256比特，则密码一共有种可能，因此，为了破解密码，最坏情况需要进行次哈希运算．现在有一台机器，每秒能进行次哈希运算，假设机器一直正常运转，那么在最坏情况下，这台机器破译密码所需时间大约为（参考数据，A．秒 B．秒 C．秒 D．28秒【解答】解：设这台机器破译密码所需时间大约为秒，则：，两边同时取常用对数得：，，，，，，而，，，故选：．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.9．（4分）函数且的图象经过点，则的值为．【解答】解：由题意可得：，，故答案为：．10．（4分）已知，则的定义域为，不等式的解集为．【解答】解：函数的定义域为；由，得，得，即．不等式的解集为．故答案为：；．11．（4分）已知，，，则点的坐标为，的坐标为．【解答】解：由，，得，点的坐标为；又，，．故答案为：；．12．（4分）函数的零点个数为1，不等式的解集为．【解答】解：由题意，可将函数的零点个数问题转化为与两个函数图象的交点个数，与两个函数图象如下：根据图象，可知与两个函数图象只有1个交点，故函数的零点个数为1．不等式，即的解集，结合图象，可知不等式的解集为，，．故答案为：1；，，．13．（4分）某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元．由此不能（填“能够”或“不能”推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是．【解答】解：某大学在其百年校庆上，对参加校庆的校友做了一项问卷调查，发现在20世纪最后5年间毕业的校友，他们2018年的平均年收入约为35万元．由此不能推断该大学20世纪最后5年间的毕业生，2018年的平均年收入约为35万元，理由是参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入．故答案为：不能，参加校庆的校友年收入不能代表全体毕业生的年收入．14．（4分）对于正整数，设函数，其中表示不超过的最大整数．①则1；②设函数，则在函数的值域中所含元素的个数是．【解答】解：①对于正整数，设函数，其中表示不超过的最大整数．，②函数．，，则．，，则．，则．，则．．因此函数的值域为，1，3，，集合所含元素的个数是4．故答案为：1，4．三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15．（11分）某校2019级高一年级共有学生195人，其中男生105人，女生90人．基于目前高考制度的改革，为了预估学生“分科选考制”中的学科选择情况，该校对2019级高一年级全体学生进行了问卷调查．现采用按性别分层抽样的方法，从中抽取13份问卷．已知问卷中某个必答题的选项分别为“同意”和“不同意”，下面表格记录了抽取的这13份问卷中此题的答题情况．选“同意”的人数选“不同意”的人数男生4女生2（Ⅰ）写出，的值；（Ⅱ）根据上表的数据估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数；（Ⅲ）从被抽取的男生问卷中随机选取2份问卷，对相应的学生进行访谈，求至少有一人选择“同意”的概率．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，抽取的男生数为人，应抽取的女生数为人，，．（Ⅱ）估计2019级高一年级学生该题选择“同意”的人数为．（Ⅲ）男生问卷共有7份，选择“同意”的有4份，选“不同意”的有3份，从中随机选取2份问卷，这2份都是“不同意”的概率为，故至少有一人选择“同意”的概率为．16．（11分）已知函数．（Ⅰ）若，求不等式的解集；（Ⅱ）已知，且在，上恒成立，求的取值范围；（Ⅲ）若关于的方程有两个不相等的正实数根，，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，由解得或；（Ⅱ）当时，二次函数开口向上，对称轴为，所以在，上单调递增，要使在，上恒成立，只需（3），所以的取值范围是；（Ⅲ）因为有两个不相等的正实数根，，所以，解得，所以的取值范围是，因为，所以，的取值范围是．17．（12分）如图，在射线，，中，相邻两条射线所成的角都是，且线段．设．（Ⅰ）当，时，在图1中作出点的位置（保留作图的痕迹）；（Ⅱ）请用，写出“点在射线上”的一个充要条件：且，；（Ⅲ）设满足“且”的点所构成的图形为，①图形是；．线段．射线．直线．圆②在图2中作出图形．【解答】（Ⅰ）图中点即为所求．（Ⅱ）且，．（Ⅲ）①；，图中线段即为所求．故答案为：（Ⅱ）且，．（Ⅲ）①．18．（10分）已知函数的图象在定义域上连续不断．若存在常数，使得对于任意的，恒成立，称函数满足性质．（Ⅰ）若满足性质（2），且（1），求（4）的值；（Ⅱ）若，试说明至少存在两个不等的正数，，同时使得函数满足性质和．（参考数据：（Ⅲ）若函数满足性质，求证：函数存在零点．【解答】解：（Ⅰ）因为满足性质（2），所以对于任意的，恒成立．又因为（1），所以，（2）（1），（4）（2），由可得，由可得，所以，；（Ⅱ）若正数满足，等价于，记，显然（1），（2），因为，所以，，即，因为的图象连续不断，所以存在，，使得，因此，至少存在两个不等的正数，，使得函数同时满足性质和；（Ⅲ）证明：①若（1），则1即为的零点；②若（1），则（1），（1），可得（1），，取即可使得，所以，存在零点；③若（1），则由，可得，由，可得，由，可得，取即可使得，所以，存在零点．综上，存在零点．四、附加题：（本题满分0分.所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分）19．在工程实践和科学研究中经常需要对采样所得的数据点进行函数拟合．定义数据点集为平面点集，，2，，，寻找函数