第11讲直线与圆的位置关系

第11讲直线与圆的位置关系模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系.2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题和实际问题.知识点1直线与圆的位置关系设圆的半径为r(r>0)，圆心到直线的距离为d，则直线与圆的位置关系如下表所示.位置关系图示公共点个数几何特征直线、圆的方程组成的方程组的解相离0d>r无实数解相切1d＝r两组相同实数解相交2d<r两组不同实数解考点一：判断直线与圆的位置关系例1.（2324高二下·上海·期末）已知圆的方程为，点，是圆内一点，设以为中点的弦所在的直线为，方程为的直线为，则（

）A．，且与圆相交 B．，且与圆相离C．，且与圆相交 D．，且与圆相离【答案】B【分析】先计算出直线的斜率，由，可得出直线的斜率，再由点斜式可得出直线的方程，由点在圆内得出，据此可判断直线、是平行关系，再利用点到直线的距离可计算出圆心到直线的距离，并与作大小比较，即可得出直线与圆的位置关系．【详解】如图：

直线的斜率为，由垂径定理可知，，所以，直线的方程为，即，由于点是圆内一点，则，又直线的方程为：，所以，.圆心到直线的距离为，因此，直线与圆相离.故选：B【变式11】（2324高二下·陕西榆林·阶段练习）直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【答案】B【分析】根据直线经过定点，定点在圆内部即可判断直线与圆的位置关系.【详解】直线恒过定点，将定点代入圆的方程，发现，则定点在圆内部，所以直线与圆必相交.故选:B.【变式12】（2324高二下·云南曲靖·期末）已知圆，直线，则下列结论中正确的是（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆相切C．直线与圆相交 D．直线与圆相离【答案】C【分析】求出圆的圆心和半径，直线所过的定点，再由该定点与圆的位置关系判断直线与圆的位置即可.【详解】圆的圆心，半径，直线恒过定点，显然，因此点在圆内，直线与圆相交，ABD错误，C正确.故选：C【变式13】（2324高二下·上海·期中）已知直线与圆，点，则下列说法错误的是（

）A．若点在圆上，则直线与圆相切B．若点在圆内，则直线与圆相离C．若点在圆外，则直线与圆相离D．若点在直线上，则直线与圆相切【答案】C【分析】利用点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系求解.【详解】圆心到直线的距离，若点在圆上，则，所以，则直线与圆相切，故A正确;若点在圆内，则，所以，则直线与圆相离，故B正确；若点在圆外，则，所以，则直线与圆相交，故C错误；若点在直线上，则，即，所以直线与圆相切，故D正确，故选：C．考点二：由直线与圆的位置关系求参数例2.（2324高二下·四川达州·期中）“”是直线和圆相交的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先求出直线与圆相交时的范围，再根据充分条件和必要条件的定义即可得解.【详解】圆的圆心，半径为，若直线和圆相交，则，解得，所以“”是直线和圆相交的必要不充分条件.故选：B.【变式21】（2024·安徽·三模）直线：与圆：的公共点的个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．1或2【答案】C【分析】根据已知直线与圆的方程，得到直线过定点，结合点与圆的位置关系，即可判定.【详解】由直线，可得直线过定点，又由圆：，可得点在圆C上，因为直线的斜率显然存在，所以公共点的个数为2.故选：C.【变式22】（2324高二下·云南昆明·期中）已知圆关于直线对称，则实数（

）A． B．1 C． D．3【答案】D【分析】求出圆心并将其代入直线即可得解.【详解】由得，则圆心坐标为，又因为圆关于直线对称，故由圆的对称性可知：圆心在直线上，则.故选：D.【变式23】（2324高二下·江西鹰潭·期末）设点为圆上任意一点，则的取值范围是.【答案】【分析】利用表示的几何意义，作图先求出两条切线的斜率，再结合图形理解即得其范围.【详解】如图，作出圆，因点是圆上一点，故可看成圆上的点与原点连线的斜率.考虑直线与圆相切时，设切线斜率为，则圆心到直线的距离为，解得，由图知要使过原点的直线与圆有公共点，需使直线倾斜角不小于切线的倾斜角，或不超过切线的倾斜角，故直线的斜率或，即的范围为.故答案为：.考点三：求直线与圆交点坐标例3.（2324高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（

）A． B．或C．或 D．【答案】B【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案.【详解】为直角，故在以为直径的圆上，圆心为，半径为，圆方程为，取得到或，即点坐标为或.故选：B.【变式31】（2324高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若，则点的横坐标是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标.【详解】设，故有，即，由，则点为中点，故，故有，即有，整理得，即.故选：A.【变式32】（2324高二下·云南曲靖·阶段练习）已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为．【答案】【分析】先求出两点坐标，设出圆的标准方程，代入坐标可得答案.【详解】联立直线和圆，解得，设圆的标准方程为，则有，解得，所以圆的标准方程为.故答案为：.【变式33】（2324高三下·上海青浦·阶段练习）已知圆恒过定点A，B，则直线的方程为．【答案】【分析】由圆的方程化简，确定的坐标，由此确定直线的方程.【详解】方程，可化为，所以点为直线与圆的交点，所以若点的坐标为，则点的坐标为，所以直线的方程为，故答案为：.考点四：过圆上一点的切线方程例4.（2324高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程【答案】【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解.【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：，圆心到直线的距离为，不成立；当直线的斜率存在时：设直线方程为，即，圆心到直线的距离等于半径为：，解得，所以直线方程为：，即.故答案为：.【变式41】（2324高二下·北京·期中）已知圆，直线经过点，且与圆相切，则的方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】点斜式设出方程，利用相切可求答案.【详解】显然斜率不存在时，不合题意；斜率存在时，设方程为，圆心到直线的距离为，因为与圆相切，所以，即，解得，即的方程为.故选：A【变式42】（2324高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果.【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为，可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为．故选：B．【变式43】（2324高二上·广西南宁·阶段练习）过点P作圆的切线，求切线的方程【答案】【分析】由圆的方程求出圆心和半径，通过计算得到点在圆上，根据切线几何性质进而可得切线的方程.【详解】，即，则其圆心，半径，将点代入圆的方程可得，则点在圆上，则，直线的方程为，则，则切线方程为.考点五：过圆外一点的切线方程例5.（2324高二上·河南焦作·阶段练习）已知直角坐标平面上点和圆，一条光线从点射出经轴反射后与圆相切，求反射后的光线方程.【答案】或【分析】求得点关于轴对称的点，设反射光线所在直线方程为，结合圆心到直线的距离为，列出方程，得到的值，即可求解.【详解】由反射光线过点关于轴对称的点，且和圆相切，设反射光线所在直线方程为，则圆心到直线的距离为1，可得，整理得，解得或；当直线斜率不存在时，直线为，显然不满足条件；所以所求直线方程为或.故答案为：或.【变式51】（2324高三上·贵州安顺·期末）在平面直角坐标系中，一条光线从点时出，经直线反射后，与圆相切，写出一条反射后光线所在直线的方程.【答案】（答案不唯一，另一条为）【分析】利用轴对称求出点关于直线的对称点，再求出过点的圆的切线即得.【详解】依题意，点关于直线的对称点，由光的反射定理知，从点射出的光线经直线反射后，与圆相切，相当于从点发出的光线与圆相切，显然该切线斜率存在，设方程为，因此圆心到直线的距离，解得，所以所求直线方程为或.故答案为：【变式52】（2324高二上·山西大同·阶段练习）过点M（2，4）向圆（x－1）2＋（y＋3）2＝1引切线，求其切线的方程．【答案】24x－7y－20＝0或x＝2．【分析】可判断点M在圆外，分切线斜率是否存在两种情况可求切线的方程.【详解】由于（2－1）2＋（4＋3）2＝50>1，故点M在圆外．当切线斜率存在时，设切线方程是y－4＝k（x－2），即kx－y＋4－2k＝0，由于直线与圆相切，故，解得．所以切线方程为24x－7y－20＝0．又当切线斜率不存在时，直线x＝2与圆相切．综上所述，所求切线方程为24x－7y－20＝0或x＝2．【变式53】（2324高二上·贵州六盘水·期末）已知半径为2的圆的圆心在射线上，点在圆上．(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程．【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆心坐标为，根据点在圆上列方程可得，可得方程；（2）分斜率存在和不存在求解，当斜率存在时，设切线的方程为，根据圆心到直线的距离等于半径列方程求解可得.【详解】（1）由圆C的圆心在直线上，可设圆心C的坐标为，又圆的半径为2，点在圆上，有，解得（舍去）或，故圆的标准方程为；（2）①当切线的斜率不存在时，直线与圆相切；②当切线的斜率存在时，设切线的方程为，整理为，由题知，解得，可得切线方程为，整理为，由①②知，过点且与圆相切的直线方程为或.

考点六：圆的切线长问题例6.（2024·新疆·二模）从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】先求出圆心和半径，再将切线长的最小转化为直线上的点与圆心的距离最小来求解即可.【详解】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，则，要使切线长的最小，则最小，即直线上的点与圆心的距离最小，由点到直线的距离公式可得，.所以切线长的最小值为.故选：B.【变式61】（2024高三·全国·专题练习）若从圆（x－1）2＋（y－1）2＝1外一点P（2，3）向这个圆引一条切线，则切线长为（）A．1 B． C． D．2【答案】D【详解】解析：圆心坐标为O（1，1），半径r＝1，OP＝.因为圆心、切点、点O构成直角三角形，所以切线长为＝2【变式62】（2024·全国·模拟预测）若直线上仅存在一点，使得过点的直线与圆切于点，且，则的值为（

）A． B． C．3 D．【答案】B【分析】先利用圆切线的性质求得，再由点的唯一性得到直线与直线垂直，从而利用点线距离公式即可得解.【详解】依题意，记为坐标原点，连接，如图，因为圆的圆心为，半径为，则，又，所以，因为点唯一，使得，所以直线与直线垂直，所以，即.故选：B．【变式63】（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解.【详解】由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为，设点到圆心的距离为，则有，所以，所以取最小值时，取得最小值，因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离，所以，故的最小值为.故选：B考点七：切点弦及其方程例7.（2324高二上·四川南充·阶段练习）已知圆，点为轴上一个动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则的最小值为.【答案】【分析】根据题意由四边形的面积与的面积关系，设可得，利用单调性即可求出的最小值为.【详解】易知圆的圆心为，半径为，如图所示：易知，设，则由图可得，又，可得，因为，所以当时，的最小值为.故答案为：.【变式71】（2024·全国·模拟预测）过直线上一点M作圆C：的两条切线，切点分别为P，Q．若直线PQ过点，则直线PQ的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】设，先利用两圆方程相减得到直线PQ的方程，再利用直线PQ过点求得t的值，进而得到直线PQ的方程.【详解】圆C：的圆心为，设，则以为直径的圆的方程为与圆C的方程两式相减可得直线PQ的方程为因为直线PQ过点，所以，解得．所以直线PQ的方程为，即．故选：C．【变式72】（2324高三上·云南曲靖·阶段练习）过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果.【详解】圆，即，易知，圆C的半径，所以切线长．所以四边形的面积为．所以根据等面积法知：，所以．故选：B．【变式73】（2024·全国·模拟预测）是直线上的一个动点，是圆上的两点，若均与圆相切，则弦长的最小值为．【答案】【分析】由题意结合等面积法可知，由此可知只需求的最小值即可，结合点到直线的距离公式即可得解.【详解】因为，所以，当的长最小时，弦长最小，而的最小值为圆心（即原点）到直线的距离，所以，所以．故答案为：.考点八：已知圆的切线求参数例8.（2324高二上·辽宁抚顺·期末）已知圆经过三点.(1)求圆的标准方程；(2)若直线与直线垂直，且与圆相切，求在轴上的截距.【答案】(1)(2)或【分析】（1）运用待定系数法进行求解即可（2）根据圆的切线性质，结合互相垂直的直线的性质进行求解即可.【详解】（1）设圆的标准方程为，因为该圆过三点，所以有所以该圆的方程为.（2）由题意得，所以的斜率为.设，即.由点到的距离为，得或，所以在轴上的截距为或.【变式81】（2324高二上·天津宁河·期末）若直线与圆相切，则实数的值为.【答案】3【分析】写出圆的标准方程确定圆心和半径，根据直线与圆相切，结合点线距离公式列方程求参数.【详解】由可化为且，所以圆心为，半径为，由直线与圆相切，则，可得.故答案为：3【变式82】（2024·河北邢台·一模）已知，过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则，该直线的方程为．【答案】1【分析】利用点在圆上求解参数解决第一空，利用得到的垂直关系求出需要求的斜率，结合直线上的已知点得到直线方程，求解第二空即可.【详解】若过点恰好只有一条直线与圆E：相切，则一定在圆上，可得，解得(其它根舍去)，故，而易知圆心为，半径为，又直线斜率为，设该直线的斜率为，显然两直线必定垂直，故得，则直线方程为，化简得直线方程为，故答案为：1；【变式83】（2324高二上·黑龙江·期中）已知圆C经过，两点，且圆心C在直线l：上．(1)求圆C的标准方程；(2)求过点且与圆C相切的直线的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）设圆心C的坐标为，由，求出的值，得到圆心坐标，求出半径得圆C的标准方程；（2）设出切线方程，由圆心到直线距离等于半径，求出未知系数.【详解】（1）因为圆心C在直线l：上，所以可设圆心C的坐标为，又，即，解得．所以圆心，圆的半径，故圆C的标准方程是．（2）直线过点且与圆C相切，斜率不存在时不满足条件，设切线斜率为，切线方程为，即．直线与圆相切，则圆心到直线的距离，解得，即过点且与圆C相切的直线的斜率为．考点九：弦长及中点弦问题问题例9.（2324高二上·湖北襄阳·阶段练习）已知圆，直线l过点．(1)若直线l被圆M所截得的弦长为，求直线l的方程；(2)若直线l与圆M交于另一点B，与x轴交于点C，且A为BC的中点，求直线l的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）由题意分析可知：圆心到直线的距离为，分类讨论直线斜率是否存在，结合点到直线的距离公式分析求解；（2）设，则，根据点在圆上列式求解即可得，进而可得直线方程.【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径，若直线l被圆M所截得的弦长为，则圆心到直线的距离为.当直线斜率不存在时，与圆相切，不符合题意，舍去；当直线斜率存在时，设直线，即，可得，所以，则直线l方程为或.（2）设，因为A为BC中点，则，由B在圆M上得，解得，则，所以直线，即直线．【变式91】（2324高二下·上海·期中）过点的直线被圆截得的弦长为，则直线的方程为.【答案】或【分析】注意分斜率不存在和存在两种情况进行讨论，结合点到直线的距离公式以及垂径定理即可求得答案.【详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，此时直线l截圆所得弦长为，满足题意，设直线l的方程为，即.由垂径定理，得圆心到直线l的距离，结合点到直线距离公式，得，化简得，解得，即直线l的方程为.故答案为：或.【变式92】（2324高二上·北京·期中）已知圆过原点和点，圆心在轴上.(1)求圆的方程；(2)直线经过点，且被圆截得的弦长为6，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）设圆的圆心坐标为，由已知列出方程，求得，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【详解】（1）设圆的圆心坐标为.依题意，在，解得从而圆的半径为，所以圆的方程为.（2）依题意，圆C的圆心到直线的距离为4，显然直线符合题意.当直线的斜率存在时，设其方程为，即所以解得，所以直线的方程为综上，直线的方程为或.【变式93】（2324高二上·山东青岛·期末）已知点，，动点满足．(1)求动点的轨迹方程(2)一条光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，其中，求反射光线所在直线的方程．【答案】(1)(2)．【分析】（1）设点，由得方程，化简整理即可（2）求出圆心到直线的距离，对直线的斜率存在讨论即可求解．【详解】（1）设，由得，化简得，动点的轨迹方程为：；（2）光线从点射出，经轴反射与动点的轨迹交于，两点，故入射光线的斜率不为0，故反射光线的斜率不为0，当入射光线的斜率不存在时，此时反射光线方程为，此时直线与无交点，不合要求，舍去，当入射光线的斜率存在时，点关于轴的对称点由题意知反射光线所在的直线经过点，其斜率也一定存在，设其方程为，即为，设圆心到反射直线的距离设为，则，所以，解得舍去或．所以反射光线所在直线的方程为．1．（2024高三·全国·专题练习）过圆x2＋y2－4x＝0上点P(1，)的圆的切线方程为（

）A．x＋y－4＝0B．x－y＝0C．x－y＋2＝0D．x＝1或x－y＋2＝0【答案】C【详解】注意到P(1，)在圆x2＋y2－4x＝0上，将点(1，)代入公式(x0－2)(x－2)＋(y0－0)(y－0)＝4，得直线方程x－y＋2＝0.2．（2324高二下·山西长治·期末）已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】求出圆心到直线的距离，结合给定的弦长利用勾股定理建立方程求解半径即可.【详解】设圆心到直线的距离为，圆的半径为，易得直线方程为，而，由勾股定理得，解得，故圆的方程为，故C正确.故选：C3.（2023春·福建福州·高二福建省福州第八中学校考期末）已知点在圆上，过作圆的切线，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据点在圆上，求出，考虑的斜率不存在和存在两种情况，结合点到直线距离列出方程，求出斜率和倾斜角.【详解】由题意得，当的斜率不存在时，此时直线方程为，与圆相交，不合题意，当的斜率存在时，设切线的方程为，则，解得，设的倾斜角为，故的倾斜角为.故选：D4．（多选）（2024·重庆·三模）已知直线，圆，则下列说法正确的是（

）A．直线恒过定点 B．直线与圆相交C．当直线平分圆时， D．当点到直线距离最大时，【答案】ACD【分析】对于A，将直线方程变形即可进一步判断；对于B，举反例即可判断；对于C，将圆心坐标代入直线方程即可验算参数；对于D，当点到直线距离最大值时，有，结合它们的斜率关系即可判断.【详解】对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，圆的圆心、半径为，点到直线的距离为，从而，取，则此时有，故B错误；对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，也就是说有成立，解得，故C正确；对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，而的斜率为，所以当等号成立时有，解得，故D正确.故选：ACD.5．（多选）（2324高二下·湖南常德·期中）已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（

）A．当实数变化时，直线恒过定点B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为C．当时，圆关于直线对称D．当时，直线与圆没有公共点【答案】AD【分析】A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确.【详解】A选项，变形为，，解得，故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；B选项，当直线与直线平行时，，故直线，故两条直线的距离为，B错误；C选项，当时，直线，，故圆心为，其中，故圆心不在上，故圆不关于直线对称，C错误；D选项，当时，，圆心到直线的距离，的半径为，由于，故直线与圆没有公共点，D正确.故选：AD6．（2024·天津南开·二模）过圆C：上的点作圆C切线l，则l的倾斜角为.【答案】150°【分