1.1.2集合的基本关系（5知识点7题型巩固训练）

1.1.2集合的基本关系课程标准学习目标1.理解子集、真子集概念以及集合相等。2.掌握用数学符号语言以及V图语言表示集合间的基本关系。3.能够区分集合间的包含关系与元素与集合的属于关系。1.对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解；2.集合的子集的辨析和应用；3.对给出的集合能写出其子集和真子集；有集合元素个数求子集个数；4.在理解集合间关系的过程中，运用数轴和venn图解决子集及真子集问题，提高学生分析问题和解决问题的能力；5.通过观察身边的实例，发现集合间的基本关系，体验其现实意义。知识点1子集1.概念：一般地，如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集.2.记法：A⊆B（或B⊇A）.3.读法：A包含于B（或"B包含A"）.4.如果A不是B的子集，记作A⊈B（或B⊉A），读作“A不包含于B”（或“B不包含A”）.5.性质：A⊆A；∅⊆A.6.图形表示：【即学即练1】（2023·江苏·高一假期作业）设集合M=1,2,3，N=A．N∈M BC．N⊇M D【答案】D【分析】根据集合与集合间的关系可得出结论.【详解】因为M=1,2,3，N=故选：D.【即学即练2】（2023·全国·高一假期作业）下列各式：①1⊆0,1,2，②1∈0,1,2，③0,1,2⊆0,1,2，④∅⊆0,1,2A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】由元素与集合的关系，集合与集合的关系考查所给式子是否正确即可．【详解】由元素与集合的关系可知1∈0,1,2，故①由集合与集合的关系可知1⊆0,1,2，故任何集合都是自身的子集，故③正确；空集是任何非空集合的子集，故④正确；集合中的元素具有互异性和无序性，故⑤正确；综上可得，只有①②错误．故选B．【即学即练3】（2023·全国·高一假期作业）已知集合A=0,1,2,3，则含有元素0的A的子集个数是（A．2 B．4C．6 D．8【答案】D【分析】列出含有元素0的A的子集，求出答案.【详解】含有元素0的A的子集有0，0,1，0,2，0,3，0,1,2，0,1,3，0,2,3，0,1,2,3，故含有元素0的A的子集个数为8.故选：D.知识点2真子集1.概念：一般地，如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A称为集合B的真子集.2.记法：A⫋B（或BA）.3.读法：A真包含于B（或“B真包含A”）.4.性质：对于集合A，B，C，①如果A⊆B,B⫋C,则A⫋C=2\*GB3②如果A⫋B，B⫋C，则A⫋C；5.图形表示：6.如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【即学即练4】（2024秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以，故选：.【即学即练5】（2023春·江西南昌·高二南昌市铁路第一中学校考阶段练习）满足条件的所有集合的个数是（）A．32B．31C．16D．15【答案】B【解析】由集合满足条件，所以集合至少含元素1,2，将1,2看成一个整体用来表示，则上述集合关系式变成：，则此时集合为集合的真子集，问题转化为求集合的真子集的个数即：，故满足题意的集合有31个.故选：B.知识点3空集1、定义：一般地，把不含任何元素的集合叫做空集，记为∅，规定：空集是任何集合的子集．在这个规定的基础上，结合子集和真子集的有关概念，可以得到：（1）空集只有一个子集，即它本身；（2）空集是任何非空集合的真子集．2、0，{0}，∅，{∅}的关系∅与0∅与{0}∅与{∅}相同点都表示无的意思都是集合都是集合不同点∅是集合；0是实数∅中不含任何元素；{0}含一个元素0∅不含任何元素；{∅}含一个元素，该元素是∅关系0∉∅∅{0}∅{∅}或∅∈{∅}【即学即练6】（2024秋·湖北咸宁·高一校考阶段练习）给出下列说法：①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则．其中正确的说法有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确；由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确；由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确；由于，则或，故④不正确；综上，正确的说法有0个.故选：A.知识点4Venn图用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图。表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形、椭圆，也可以是其他封闭曲线。韦恩图可以直观、形象地表示出集合之间的关系【即学即练7】（2024·河南新乡·高一统考阶段练习）下列表示集合M=x∈Z2x∈Z和A． B．C． D．【答案】B【分析】先求出集合M、N，然后根据集合之间的关系选出对应的韦恩图.【详解】解：由题意得：由题意得M=1,-1,2,-2所以N是M的真子集．故选：B知识点5集合的相等与子集的关系1.定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等2.图形表示：3.如果A⊆B，且B⊆A则A=B.4.如果A=B则A⊆B且B⊆A.【即学即练8】已知集合A={a,b,1},B=A．1 B．12 C．-1 D．1【答案】A【分析】根据A=B求得a,【详解】由于A=所以对于集合B有a2=1,a若a=-1，则b=2，此时A=若a=1，则集合A不满足互异性，不符合所以ab的值为1故选：A易错点忽略空集的特殊性致误示例：设M＝{x|x2－2x－3＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若N⊆M，求所有满足条件的a的取值集合．【错解】由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝{－1}或{3}．当N＝{－1}时，由1a＝－1，得a＝－当N＝{3}时，由1a＝3，得a＝1故满足条件的a的取值集合为{1，13【正解】由N⊆M，M＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1，3}，得N＝∅或N＝{－1}或N＝{3}．当N＝∅时，ax－1＝0无解，即a＝0.当N＝{－1}时，由1a＝－1，得a＝－当N＝{3}时，由1a＝3，得a＝1故满足条件的a的取值集合为{1，0，13【易错警示】错误原因纠错心得错解忽略了N＝∅这种情况．空集是任何集合的子集，解这类问题时，一定要注意“空集优先”的原则．【题型1：集合间关系的判断】例1.（2022秋·江苏盐城·高一统考期中）若集合，，则集合A与B的关系是（）A．B．C．D．不确定【答案】B【解析】因为集合A中的元素，都在集合B中，而B中的元素不一定都在A中，所以，故选：.变式1.（2024·北京·高三专题练习）已知集合，，则（

）A．⫋ B． C． D．【答案】A【分析】用列举法写出集合A，利用集合间的基本关系判断．【详解】，，则⫋.故选：A.变式2.（2024·全国·高三专题练习）下列结论正确的是（

）A．， B．，C． D．⫋【答案】B【分析】根据元素与集合，集合与集合的关系逐项判断.【详解】对于A，因为为无理数，不是有理数知，A错误；对于B，因为为任何集合的子集，所以，又集合中含有元素，所以，B正确；对于C，集合表示方程中的变量的范围的集合，故，，C错误；对于D，正方形是菱形，但菱形不一定是正方形，所以D错误．故选：B.变式3.（2024·宁夏银川·校联考二模）下列集合关系中错误的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据集合与集合的关系判断即可.【详解】对于A：集合为点集，含有元素，集合含有两个元素，，所以不包含于，故A错误；对于B：，故B正确；对于C：，故C正确；对于D：因为，所以，故D正确；故选：A变式4.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则M与P的关系为（）A．M＝PB．MPC．P⊆MD．MP【答案】D【解析】①对于任意∵，∴，∴，由子集定义知.②∵，此时，即，而在时无解，.综合①②知，MP.故选：变式5.（2024秋·江西南昌·高一校联考期中）若P=yy=xA．P=Q B．P⊆Q C．【答案】C【解析】先判断P是实数集合，再判断Q是点集，然后得出结果.【详解】P=而Q=x,yy故选：C.变式6.【多选】（2024·高一单元测试）集合，，则下列关系错误的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】将两个集合化简后比较分子的关系可得两个集合的关系.【详解】因为，表示整数，表示奇数，故，故选项A、B、D错误，选项C正确，故选：ABD.变式7.(2023秋·高一课时练习）若集合，，，则的关系是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】已知，，，显然可表示整数，而只能表示偶数；所以.故选：A．【方法技巧与总结】判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．【题型2：确定集合的子集、真子集】例2．（2023秋·海南儋州·高一校考期中）写出集合的所有子集和它的真子集.【答案】答案见解析.【分析】根据子集和真子集的定义进行求解即可.【详解】集合的所有子集为；集合的所有真子集为.变式1.．（2023秋·湖南郴州·高一校考阶段练习）下列集合中，可以为集合的真子集的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接根据真子集的概念得答案.【详解】集合的真子集为.故选：D.变式2.．（2023秋·高一校考课时练习）若，则.【答案】【分析】由题意可知B是由A集合的子集构成的集合，利用列举法写出集合B即可.【详解】因为，所以集合中的元素是集合的子集：，则集合.故答案为：.变式3.．（2024·高一课时练习）已知集合且，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据二元一次方程组求解方程组的根，进而可得集合,由子集的性质即可求解.【详解】由，又且,所以，故选：B变式4.．（2023秋·山东日照·高一校考阶段练习）设，．(1)写出集合A的所有子集；(2)若B为非空集合，求a的值．【答案】(1)；(2)3【分析】（1）求解即可得；（2）由B为非空集合，得或或，分别将元素代入解出a即可.【详解】（1）由解得或，则，故集合A的子集为：；（2）B为非空集合，得或或，由或代入可得，故a的值为3.【方法技巧与总结】对集合子集、真子集概念的认识：(1)真子集的概念也可以叙述为：若集合A⊆B，存在元素x满足x∈B且xA，则称集合A是集合B的真子集．(2)集合A是集合B的真子集，需要满足以下两个条件：①集合A是集合B的子集；②存在元素x满足x∈B，且xA.所以，如果集合A是集合B的真子集，那么集合A一定是集合B的子集，反之不成立．(3)空集是任意非空集合的真子集，这里强调的是“非空”两字，解题时不能丢掉空集这一特例．(4)任意集合都一定有子集，但是不一定有真子集．空集没有真子集．一个集合的真子集的个数比子集的个数少1.【题型3：子集、真子集个数问题】（一）求子集、真子集个数例3．（2023春·浙江衢州·高一统考期末）已知集合，则集合的子集有（

）A．7个 B．6个 C．4个 D．3个【答案】C【分析】列举出集合的子集即可得解.【详解】因为集合，所以集合的子集有共个.故选：C.变式1.（2024秋·湖北·高一校联考）集合的子集的个数是（）A．16B．8C．7D．4【答案】B【解析】集合，集合含有3个元素，所以集合的子集个数是.故选：B.变式2.（2023·全国·高一专题练习）集合，则的子集的个数为（）A．4B．8C．15D．16【答案】D【解析】集合，,，故有个子集.故选：D．变式3.．（2024·高一单元测试）已知非空集合，且A中至多有一个奇数，则这样的集合共有个．【答案】5.【分析】列举出满足条件的集合即可得答案.【详解】若A中没有奇数，则，共1个；若A中有一个奇数，A可能为：，共4种可能性.则满足条件的集合有5个.故答案为：5.变式4.（2023秋·高一课时练习）已知非空集合满足:对任意，总有，且.若，则满足条件的的个数是（

）A．11 B．12 C．15 D．16【答案】A【分析】由题意得，集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，即可求解.【详解】当中有元素时，，当中有元素时，，所以，所以集合是集合的非空子集，且去掉元素2，4同时出现的集合，故满足题意的集合有，共11个.故选：A.变式5．（2023秋·江苏扬州·高一统考阶段练习）已知集合，则集合的真子集个数为（

）A．8 B．7 C．6 D．5【答案】B【分析】先求出集合中包含的元素个数，再求真子集个数.【详解】集合，所以集合的真子集个数为：.故选：B.变式6．（2024·河南开封·统考三模）已知集合，，则集合B的真子集个数是（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】根据题意得到集合，然后根据集合中元素的个数求集合的真子集个数即可.【详解】由题意得，所以集合的真子集个数为.故选：C.变式7．（2023秋·高一课时练习）设集合，且，若，，则集合M的非空真子集的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．15【答案】B【分析】求得集合，即可求得结果.【详解】根据题意知，集合且，其非空真子集的个数为.故选：B变式8．（2023秋·高一课时练习）若一个集合含有n个元素，则称该集合为“n元集合”.已知集合，则其“2元子集”的个数为（

）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】A【分析】根据子集的定义即可求解.【详解】集合的所有“2元子集”为，，，，，共6个.故选：A.变式9.（2023秋·高一校考课时练习）已知，则符合条件的集合的个数是（

）A．3 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由条件分析集合的元素的特征，列举满足条件的的个数即可得解.【详解】因为，所以或或或，即满足条件的集合的个数为4.故选：B．变式10.（2024秋·云南保山·高一校联考）满足的集合的个数为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，，满足题意的集合有：，，，，，，，，共个.故选：B.变式11．（2024·全国·高三对口高考）若集合A满足⫋，则集合A所有可能的情形有（

）A．3种 B．5种 C．7种 D．9种【答案】C【分析】由集合的包含关系讨论A所含元素的可能性即可.【详解】由⫋，可知集合A必有元素，即至少有两个元素，至多有四个元素，依次有以下可能：七种可能.故选：C变式12.（2024·全国·高一专题练习）已知集合M满足⫋则集合M的个数为．【答案】7【分析】直接根据集合的关系列举出集合即可得结果.【详解】因为，所以可以为：，，，，，，共计7个，故答案为：7.变式13.（2023秋·高一课时练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为，满足条件⫋B的集合C的个数为．【答案】43【分析】分别求出集合A，B，根据集合间的包含关系求出集合C即可.【详解】解：，解得或，则，由，可得，满足条件的集合为或或或，共4个，满足条件⫋B的集合为或或，共3个，故答案为：4；3．【方法技巧与总结】1.求集合子集、真子集个数的三个步骤2.集合子集、真子集个数的有关结论若集合A中含有n个元素，集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.（二）根据集合的子集、真子集个数求参数例4．（2023秋·广东汕尾·高一华中师范大学海丰附属学校校考阶段练习）若集合有且仅有两个子集，则实数的值是.【答案】【分析】通过集合有且仅有两个子集，可知集合中只有一个元素，根据二次项系数是否为分类讨论.【详解】由集合有且仅有两个子集，得中只有一个元素.当即时，，符合题意.当即时，解得.故答案为：变式1.．（2023秋·湖北武汉·高一校联考期中）已知集合的子集只有两个，则实数的值为．【答案】0或1【分析】分类讨论确定集合中元素或元素个数后得出其子集个数，从而得结论．【详解】时，，子集只有两个，满足题意，时，若即，则，子集只有1个，不满足题意；若，即，则集合有两个元素，子集有4个，不满足题意，时，，，子集只有两个，满足题意，所以或1.故答案为：0或1，变式2．（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）已知集合恰有两个非空真子集，则m的值可以是．（说明：写出满足条件的一个实数m的值）【答案】（答案不唯一）【分析】先根据题意得集合A中所含元素个数，再通过二次方程得答案.【详解】集合恰有两个非空真子集,则集合A中含有2个元素，即方程由2个不等实根，，解得且.故答案为：（答案不唯一）.变式3．（2023秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）集合．(1)若是，求实数的取值范围(2)是否存在这样的实数，使得集合有且仅有两个子集，若存在，求出实数及对应的子集，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)当时，对应的两个子集为和；当时，对应的两个子集为和.【分析】（1）若，对应的方程没有实数根，可求实数的取值范围；（2）要使集合A有且仅有两个子集，集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，可求实数的值．【详解】（1）若，方程没有实数根，当时，方程有实数根不合题意；则，二次方程没有实数根，，解得.所以实数的取值范围为（2）要使集合A有且仅有两个子集，则集合A有且只有一个元素，即对应的方程有且只有一个实根，当时，方程化为，解得，此时，对应的两个子集为和；当，二次方程只有一个实根，，解得，此时，对应的两个子集为和.【题型4：判断两个集合是否相等】例5.（2023·全国·高一专题练习）已知集合，则与集合相等的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对A，，故A错误；对B，中，解得，故，故B错误；对C，，故C错误；对D，，故D正确.故选：D.变式1.（2023秋·高一课时练习）下列集合中表示同一集合的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】B【解析】对于A，表示不同的点，故A不正确；对于B，集合与集合相同，故B正确；对于C，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故C不正确；对于D，为点的集合，为数的集合，两者不相同，故D不正确.故选：B.变式2.（2023·全国·高一专题练习）下列与集合表示同一集合的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由解得或，所以，C正确；选项A不是集合，选项D是两条直线构成的集合，选项B表示点集，故选：C变式3.（2023秋·山西运城·高一校考）下面关于集合的表示正确的序号是.①；②；③；④.【答案】③④【解析】∵集合中的元素具有无序性，∴，∴①不成立；∵是点集，而不是点集，∴②不成立；∵与都表示大于1的实数组成的集合，∴③成立；∵与都表示奇数组成的集合，∴④成立.故答案为：③④.【题型5：根据集合相等关系求参数】例6.（2024·江苏·高一假期作业）由三个数a，，1组成的集合与由，，0组成的集合相等，求的值．【答案】1【分析】由题意可得或，从而可求出的值，再检验3个数是否能组成集合，然后代入计算即可.【详解】由a，，1组成一个集合，可知且，，由题意可得或，综上可得，当时，三个数为，可以组成一个集合，符合题意，所以.变式1.（2024秋·山东济宁·高一月考）已知，，若，则（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】因为，所以或，解得或或，又集合中的元素需满足互异性，所以，则．故选：C.变式2.（2024·高一课时练习）设，且，求实数x，y的值．【答案】【分析】根据集合中的元素对应相等，结合互异性即可分情况求解.【详解】由于，所以且，若集合中，则，此时，由得，所以此时符合要求，若集合中，则，此时这与矛盾，故这种情况不成立，综上可知变式3.（2024·江苏·高一假期作业）已知集合，若，求实数q的值．【答案】【分析】由集合相等的定义一一讨论元素对应关系即可.【详解】由元素的互异性得，若，则有以下两种情况：①，不符合题意舍去；②或（舍去），综上，.变式4.（2023秋·湖北恩施·高一巴东一中校考阶段练习）已知集合，集合.（1）若，求的值；（2）若，求实数的值；（3）是否存在实数，使.【答案】（1）0或；（2）；（3）不存在.【分析】（1）中不可能等于，让另外两个元素分别等于求得检验；（2）让中元素分别等于，求得，然后检验；（3）由，令和分别求得，然后检验是否符合题意．【详解】（1）集合中有三个元素：，，，，或，解得或，当时，，，，成立；当时，，，，成立.的值为0或.（2）集合中也有三个元素：0，1，.，当取0，1，时，都有，集合中的元素都有互异性，，，.实数的值为.（3），若，则，，5，，若，则，，，，不存在实数，，使.变式5.（2024秋·四川·高一眉山第一中学校考）（多选）若集合，则的值可能为（）A．B．C．0D．【答案】AB【解析】根据题意，只有一个实数根，当时，化为，所以；当时，，则，又是方程的解，所以，得．故答案为:【题型6：空集性质及其应用】例7．（2024·全国·高一假期作业）下列集合中为的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据集合的表示方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于B中，由集合中有一个元素，不符合题意；对于C中，由方程，即，此时方程无解，可得，符合题意；对于D中，不等式，解得，，不符合题意.故选：C.变式1.【多选】（2023秋·海南儋州·高一校考期末）下列关系中表述正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】根据集合的相关概念逐项分析判断.【详解】对A：写法不对，应为或，A错误；对B：是任何集合的子集，故成立，B正确；对C：是不含任何元素的集合，故，C错误；对D：是所有自然数组成的集合，故成立，D正确.故选：BD.变式2.（2023·全国·高一专题练习）已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】C【解析】根据元素与集合、集合与集合关系：是的一个元素，故，①正确；是任何非空集合的真子集，故、，②③正确；没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确；所以①②③④⑥正确.故选：C变式3.（2023秋·湖南永州·高一校考阶段练习）若集合为空集，则实数的取值范围是.【答案】或【分析】根据不等式的解集为空集，比较左右端点值的大小，列式即可求解.【详解】因为集合为空集，所以，即或.故答案为：或变式4.（2023秋·高一校考课时练习）已知空集，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据二次方程无解等价于判别式小于0计算即可.【详解】由题意，二次方程无解，故，解得.故选：D变式5.（2024·高一课时练习）若集合，则实数a的取值范围．【答案】【分析】利用判别式小于0求解【详解】故无解则故答案为：变式6.（2023秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）关于的不等式组的解集为，则实数的取值范围为．【答案】【分析】由题意得，解不等式即可得出答案.【详解】由题意得：，所以．故答案为：.【题型7：根据集合的包含关系求参数】例8：（2023秋·辽宁大连·高三第二十高级中学校考开学考试）已知集合，，，则实数m的值为（）A．－1B．0C．1D．2【答案】B【解析】或（不可能，舍去）或（不可能，舍去）故选：B变式1.（2023秋·安徽芜湖·高一校考阶段练习）若集合，，且，求实数m的值.【答案】或或【分析】分和两种情况讨论，结合已知即可得解.【详解】，当时，，当时，，因为，所以或，所以或，综上所述，或或.变式2.（2023秋·湖南怀化·高一校联考期末）已知集合，.若，求实数的取值范围.【答案】或.【分析】由题意，求得，再根据，结合韦达定理分和两种情况讨论即可求出答案．【详解】由，则.，为方程的解集.①若，则，或或，当时有两个相等实根，即不合题意，同理，当时，符合题意；②若则，即，综上所述，实数的取值范围为或变式3.（2024·高一课时练习）已知集合，，若，求a的取值范围．【答案】【分析】分和两种情况讨论，当时，利用数轴列出不等式组即可.【详解】当时，，解得，当时，因为，则，解得，综上.变式4.（2023秋·广东东莞·高一东莞实验中学校考期中）设集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求的取值范围.【答案】(1)254(2)【分析】（1）由题得即可解决.（2）根据得，即可解决.【详解】（1）由题知，，当时，共8个元素，的非空真子集的个数为个；（2）由题知，显然，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是.变式5.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，求实数的取值范围；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)不存在【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解；（2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解.【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足；②当时，要使得，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围是.（2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解，所以实数不存在，即不存在实数使得.变式6.（2024·全国·高一假期作业）已知集合.(1)若，则实数a的值是多少?(2)若，则实数a的取值范围是多少?(3)若B⫋A，则实数a的取值范围是多少?【答案】(1)(2)(3)【分析】利用集合相等的性质及集合的包含关系，结合数轴法求解即可.【详解】（1）因为集合，，所以.（2）因为，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.（3）因为B⫋A，如图，

由图可知，即实数a的取值范围是.变式7.（2023秋·安徽滁州·高一校考阶段练习）已知集合，，(1)若，求实数的取值范围；(2)若⫋，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】根据集合之间的包含关系，建立不等式组，解得答案.【详解】（1）因为，当时：，即符合题意；当时，，，综上所述：.（2）因为⫋，当时，，，解得，无解，当时，或，，综上所述：.【方法技巧与总结】根据集合的包含关系求参数(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必需的．一、单选题1．（2024·四川成都·三模）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查集合间的包含关系，根据题意，分析集合之间的关系，进而作出判断即可.【详解】因为，所以，即，故选项D正确，选项A、B、C错误.故选：D.2．（2324高二下·天津·期末）若集合，，则集合B的真子集个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】C【分析】先用列举法求出集合，在根据真子集的公式求解.【详解】由题意可知，所以集合的真子集个数为个.故选：C3．（2324高一上·云南昆明·期中）已知集合，，集合满足，则所有满足条件的集合的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】根据集合的定义求得，再根据集合的包含关系，即可求得.【详解】，又，，故集合为包含元素和，且为的子集，故集合可以为：，则集合的个数是个.故选：B.4．（2024·广东深圳·模拟预测）定义两集合的差集：且，已知集合，，则的子集个数是（

）个．A．2 B．4 C．8 D．16【答案】B【分析】根据题意求得集合，从而求得其子集的个数.【详解】因为，，所以，所以，有两个元素，则的子集个数是个．故选：B．二、多选题5．（2024高一上·全国·专题练习）关于下图说法正确的是（

）A．集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素B．集合A、B、U中有相同的元素C．集合U中有元素不在集合B中D．集合A、B、U中的元素相同【答案】ABC【分析】由图形可知集合间的包含关系，对选项中的结论进行判断.【详解】由韦恩图可得，ABU，且，结合真子集的定义可知，集合A中的元素既是集合B中的元素也是集合U中的元素，A选项正确；集合A、B、U中有相同的元素，B选项正确；集合U中有元素不在集合B中，C选项正确；集合A、B、U不相等，D选项错误.故选：ABC.6．（2223高一上·山东青岛·阶段练习）下列说法正确的有（

）A．集合有16个真子集 B．对于任意集合A，C．任何集合都有子集，但不一定有真子集 D．若，则【答案】BCD【分析】根据集合的真子集个数公式判断A；利用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集判断B、C、D.【详解】集合有4个元素，故其有个真子集，故A错误；空集是任何集合的子集，则，故B正确；空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故C正确；空集是任何非空集合的真子集，若，则，故D正确.故选：BCD.7．（2324高一上·浙江·阶段练习）已知，集合与集合相等，下列说法正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】根据题意，利用集合相等的概念，结合集合中元素的互异性可解．【详解】根据题意，，或，当时，，不合题意；当时，，，则，解得（舍）或，所以，，故选：BCD．8．（2223高一上·新疆乌鲁木齐·期中）下列关系中正确的有（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系及空集的性质、集合相等的定义判断各项的正误.【详解】A：是集合中的元素，故，正确；B：是任意非空集合的真子集，故，正确；C：是的真子集，故，正确；D：研究数值，而研究有序数对，故它们不相等，错误.故选：ABC9．（2324高二上·山西晋中·阶段练习）已知集合，，则下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则或D．若，则或或【答案】ABC【分析】解一元二次方程求得集合，根据集合包含关系，集合相等的定义和集合的概念即可逐一判断．【详解】依题意可得，对于A，若，则，解得，故A正确；对于B，若，则，解得，故B正确；对于C，当时，则，解得或，故C正确；对于D，当时，，故D错误．故选：ABC．10．（2324高一上·山东·期中）已知集合，且，则实数可能的取值是（

）A． B．0 C．1 D．【答案】ABC【分析】首先求出集合A，然后结合的条件，对集合B中的参数a分类讨论即可得答案.【详解】解：，且，则：①当时，或，解得或，A适合题意；②若，则，解得，③若，则，此时无解，④若，则，此时无解，不合题意；综上：的值为0和.故选：ABC.三、填空题11．（2324高二下·安徽·阶段练习）设集合，则集合的真子集个数为．【答案】63【分析】依题意求出集合，即可求得其真子集个数．【详解】由可知是的正因数，即可取，故可得的值依次取，即，故集合的真子集有个．故答案为：63.12．（2024·重庆·三模）已知集合，，则满足的集合的个数为.【答案】7【分析】化简集合，结合求集合的子集的结论即可求得结果.【详解】因为，，所以满足的集合中必有元素2，3，所以求满足的集合的个数，即求集合的真子集个数，所以满足的集合的个数为个.故答案为：7.四、解答题13．（2223高一·全国·课堂例题）指出下列各组集合之间的关系：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用数轴即可判断集合关系；（2）利用集合所表示的含义即可判断；（3）求出集合即可判断.【详解】（1）在数轴上表示出集合A，B，如图所示，由图可知．（2）∵集合A是偶数集，集合B是4的倍数集，∴．（3）．在集合B中，当n为奇数时，，当n为偶数时，，∴，∴．14．（2425高一上·上海·假期作业）确定下列每组两个集合的包含关系或相等关系：(1)A={为12的正约数}与；(2)与{为4的正整数倍}.【答案】(1)(2)为的真子集【分析】（1）用列举法表示出集合可得答案；（2）根据集合与里元素的性质可得答案.【详解】（1）因为，所以；（2）因为，，所以为.的真子集.15．（2022高一上·全国·专题练习）设，写出集合的子集，并指出其中哪些是它的真子集．【答案】答案见解析【分析】解出集合，按元素个数进行分类写出其子集即可.【详解】由，得，解方程得或或，故集合.由0个元素构成的子集为；由1个元素构成的子集为；由2个元素构成的子集为；由3个元素构成的子集为,因此集合A的子集为:，，，．真子集为:，，.16．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围.【答案】【分析】由集合的包含关系，列不等式求m的取值范围.【详解】当时，由，得.当时，如图所示.

则，得，即，综上可得，实数m的取值范围是.17．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合．(1)若，为常数，求实数m的取值范围．(2)若，为常数，求实数m的取值范围．(3)若为常数，是否存在实数m，使得？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，理由见解析【分析】（1）由集合的包含关系，分和两种情况，列不等式求实数m的取值范围；（2）由集合的包含关系，列不等式求实数m的取值范围；（3）由集合的相等关系，列方程组求实数m的值.【详解】（1）①若，满足，则，解得．②若，满足，则解得．由①②可得，符合题意的实数m的取值范围为．（2）若，数轴表示如下：依题意有即此时m的取值范围是．（3）假设存在满足题意的实数m．若，则必有且，此时无解，即不存在使得的实数m．18．（2324高一上·云南昆明·期末）已知集合．(1)若，求实数m的取值范围；(2)若AB，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由题意首先有，得，结合包含关系列出方程组即可求解.（2）结合A是B的真子集列出不等式组即可求解.【详解】（1）因为为非空数集，得，解得，若，则，解得，即实数m的取值范围是.（2）若AB，则（等号不同时取得），解得，即实数m的取值范围是.19．（2324高一上·广东佛山·期末）设集合(1)若，试判断集合与的关系；(2)若，求的值组成的集合．【答案】(1)，是的真子集；(2)．【分析】（1）当时求出集合A与B，再判断关系；（2）求出集合B，注意对与分类讨论，根据，列方程求解．【详解】（1）当时，，所以B是A的真子集．（2）．若，则，是真子集成立；若，则，因为是A真子集，或，所以或．所以的值组成的集合．20．（2324高一上·安徽马鞍山·阶段练习）已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根.(1)若，求出实数的值；(2)若，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出；（2），故，结合方程的两根得到不等式，求出.【详解】（1）因为，故，又的两根分别为，故，故；（2）因为，故，又的两根分别为，故，解得，故实数的取值范围是.21．（2324高一上·上海嘉定·期中）已知集合(1)若A中只有一个元素，求a的值(2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围(3)若，求a的取值范围【答案】(1)0或(2)(3)【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；（2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解；（3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解.【详解】（1）若时，，符合题意；当时，可知方程为一元二次方程，则，解得；综上所述：或.（2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或，若A中有一个，由（1）可知：或；若，则，解得；综上所述：a的取值范围为.（3）因为，则有：若，由（2）可知：；若，则有：若时，由（1）可知，符合题意；当时，则，解得；综上所述：a的取值范围为.22．（2324高一上·吉林四平·阶段练习）已知集合.(1)若，存在集合使得为的真子集且为的真子集，求这样的集合；(2)若集合是集合的一个子集，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）确定，并求出集合，写出的真子集即得；（2）分类讨论，时满足题意，时，由集合中的元素属于集合，分别代入求出参数，得集合检验即可．【详解】（1）当时，方程的根的判别式，所以.又，故.由已知，得应是一个非空集合，且是的一个真子集，用列举法可得这样的集合共有6个，分别为.（2）当时，是的一个子集，此时对于方程，有，所以.当时，因为，所以当时，，即，此时，因为，所以不是的子集；同理当时，，，也不是的子集；当时，，，也不是的子集.综上，满足条件的的取值范围是.23．（2324高一上·江苏南通·阶段练习）已知，对于，若且，则称k为A的“孤立元”.给定集合，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合的个数为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】D【分析】根据“孤立元”概念，分类讨论求解即可.【详解】“孤立元”为的集合为，，，，“孤立元”为的集合为，，“孤立元”为的集合为，“孤立元”为的集合为，，“孤立元”为的集合为，，，，综上：满足题意的集合有13个.故选：D24．（2122高一·全国·课后作业）定义A⊗B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0，2}，B＝{1，2}．(1)求集合A⊗B的所有元素之和．(2)写出集合A⊗B的所有真子集．【答案】(1)9(2)∅，{0}，{4}，{5}，{0，4}，{0，5}，{4，5}【分析】（1）分别将A，B中的元素代入，从而求出A⊗B中的元素，进而求出元素之和；（2）由（1）A⊗B＝{0