第四章 第1讲 任意角和弧度制、三角函数的概念

第四章三角函数第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念

课标要求命题点五年考情命题分析预测1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.2.借助单位圆理解三角函数

(正弦、余弦、正切)的定义.任意角及其表示该讲知识比较基础，单独命题比较少，常见的命题点有三角函数定义的应用，扇形的弧长公式和面积公式的应用，有时也应用于圆锥的平面展开图的有关计算，题型以选择题和填空题为主，难度不大.预计2025年高考单独命题的概率不大，但作为三角部分的基础，还是需要掌握.扇形的弧长公式与面积公式2020新高考卷ⅠT15三角函数定义的应用2021北京T14；2020全国卷ⅡT2

角的分类(2)弧度制定义长度等于④

的圆弧所对的圆心角叫做1弧度

的角，弧度单位用符号rad表示，这种用弧度作单位来

度量角的单位制叫做弧度制.圆心角α的弧度数公式角度与弧度的换算弧长公式l＝⑤

⁠.扇形面积公式半径长

｜α｜r

注意

1.用弧度制表示角的大小时，“弧度”二字或“rad”通常省略不写，但用角

度制表示角的大小时，度(°)一定不能省略.2.正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.3.利用扇形的弧长和面积公式时，要注意角的单位必须是弧度.常用结论1.象限角及轴线角2.终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合

S

＝{β｜β＝α＋

k

·360°，

k

∈Z}或{β｜β＝α＋2

k

π，

k

∈Z}.注意

1.第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角.2.终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，不相等的角的终边有可能

相同.

y

x

(2)三角函数值在各象限内的符号

(3)特殊角的三角函数值角α0°15°30°45°60°75°90°角α的弧度数0⑬

⁠

⑭

⑮

sinα0⑯

⑰

⑱

1cosα1⑲

⑳⁠

㉑

㉒⁠tanα㉓

⁠㉔

㉕⁠㉖

㉗

⁠

0

0

1

不存在

3.角的终边的对称性(1)β，α的终边关于

x

轴对称⇔β＝－α＋2

k

π，

k

∈Z.

(2)β，α的终边关于

y

轴对称⇔β＝π－α＋2

k

π，

k

∈Z.

(3)β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2

k

π，

k

∈Z.

1.下列说法正确的是(

B

)A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角B.不论是用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形的半径的大小无关C.若sinα＝sinβ，则α与β的终边相同D.若α，β的终边关于x轴对称，则α＋β＝0

B1234562.已知

P

(－4，3)是角α的终边上一点，则cosα＝(

D

)

D123456

A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第二象限角D.第一或第三象限角

D1234564.[全国卷Ⅰ]若tanα＞0，则(

C

)A.sinα＞0B.cosα＞0C.sin2α＞0D.cos2α＞0

C123456

1234566.[易错题]已知扇形的圆心角为30°，其弧长为2π，则此扇形的面积为

⁠.

12π

123456

命题点1

任意角及其表示例1

(1)时针经过四个小时，转过了(

B

)

B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.45°＋2kπ，k∈ZC.k·360°＋315°，k∈Z

D例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点2

扇形的弧长公式与面积公式

AA.3B.4C.1D.2例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧有关扇形弧长和面积问题的解题策略(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.(2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.(3)扇形面积的最值问题，常转化为二次函数的最值问题.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练2

(1)[2023广东深圳统考]荡秋千是中华大地上很多民族共有的游艺竞技项目.据

现有文献记载，秋千源自先秦.位于广东清远的天子山悬崖秋千建在高198米的悬崖

边上，该秋千的缆索长8米，荡起来最大摆角为85°，则该秋千最大摆角所对的弧长

为(

B

)C.13.6米D.198米

B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4(2)[2024河北张家口期中]如图，已知扇形的周长为6，当该扇形的面积取最大值时，

弦长

AB

＝(

A

)A.3sin1B.3sin2C.3sin1°D.3sin2°A例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4命题点3

三角函数定义的应用角度1

利用三角函数的定义求值例3

[2023南京江宁区模拟]在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边在

x

轴的非负半轴上，终边过点(

x

，4)且tan(－π＋α)＝－2，则cosα

＝(

B

)B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧三角函数的定义中常见的三种题型及解题方法题型解题方法已知角α的终边上的一点P的坐标，求

角α的三角函数值.先求出点P到原点的距离r，再利用三角函

数的定义求解.已知角α的一个三角函数值和终边上

一点P的横(纵)坐标，求与角α有关的

三角函数值.先求出点P到原点的距离(带参数)，根据已

知三角函数值及三角函数的定义建立方

程，求出未知数，从而求解问题.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4题型解题方法已知角α的终边所在的直线方程(y

＝kx，k≠0)，求角α的三角函数

值.先设出终边上一点P(a，ka)，a≠0，求出点P到

原点的距离，再利用三角函数的定义求解.注意

由于终边所在的象限不确定，因此取点

时应分a＞0和a＜0两种情况讨论.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

B例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4角度2

判断三角函数值的符号例4

(1)[全国卷Ⅱ]若α为第四象限角，则(

D

)A.cos2α＞0B.cos2α＜0C.sin2α＞0D.sin2α＜0

D例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A.2B.－2C.4D.－4

联立①②，并结合

m

＜0，

n

＜0，可得

m

＝－1，

n

＝－3，所以

m

－

n

＝2.A例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4方法技巧判断三角函数值的符号，先确定角所在象限，再根据三角函数在各象限的符号确定

正负.若不确定角所在象限，需分类讨论求解.注意角的终边在坐标轴上的情况.例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4训练4

[2023福建漳州质检]已知sinθ＜0，tanθ＜0，则角θ的终边位于(

D

)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[解析]由sinθ＜0，tanθ＜0，根据三角函数值的符号与角的终边所在象限间的关

系，可得角θ的终边位于第四象限.故选D.D例1训练1例2训练2例3训练3例4训练4

A1234

1234

1234[解析]如图，连接

OA

，由

A

是切点知

OA

⊥

AG

.

由

B

是切点知

BC

⊥

BH

.

过

A

分别作

AQ

垂直直线

DE

于点

Q

，

AM

垂直直线

EF

于点

M

，交

DG

于点

N

，交

BH

于点

R

，则

AQ

＝7，

AM

＝7.又

DE

＝2，所以

AN

＝5，

NG

＝

MF

＝12－7＝5，所以△

ANG

是等腰直角三角形，

1234

1234

1234

1.与－2025°终边相同的最小正角是(

A

)A.135°B.132°C.58°D.12°[解析]因为－2025°＝－360°×6＋135°，所以与－2025°终边相同的最小正角是

135°.A123456789101112

A.一B.二C.三D.四

A123456789101112

A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角

B123456789101112

B123456789101112

C123456789101112

A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.954米B123456789101112

1234567891011127.[2023江西上饶市第一中学月考]如图所示，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的

集合为

⁠.[解析]由题图，与阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋

k

·360°，且

k

∈Z，与上

侧终边相同的角为135