2.2 基本不等式（解析版）

.2基本不等式知识点一基本不等式的理解【【解题思路】基本不等式的理解(1)不等式成立的条件是a，b都是正数．(2)“当且仅当”的含义：当a＝b时，eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)的等号成立，即a＝b⇒eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)；仅当a＝b时，eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)的等号成立，即eq\f(a＋b,2)＝eq\r(ab)⇒a＝b.总结：一正二定三等【例1-1】（22-23高一上·河南·阶段练习）不等式中，等号成立的条件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，当且仅当，即时等号成立，故选：.【例1-2】（23-24高一上·河南省直辖县级单位·阶段练习）下列说法正确的是（

）A．最小值为2 B．最大值为2C．最小值为2 D．最大值为2【答案】C【解析】当时，，当且仅当即时，等号成立；当时，，当且仅当即时，等号成立；故选项AB错误；任意，，当且仅当时，即也即时，等号成立，所以最小值为2，故选项C正确；当趋向于无穷大时，也趋向于无穷大，所以无最大值，故D错误.故选：C.【例1-3】（23-24高一上·福建莆田·阶段练习）（多选）下列判断正确的有（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】对于A选项，当时，，A错；对于B选项，当时，，则，当且仅当时，即当时，等号成立，B对；对于C选项，因为，则，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，C对；对于D选项，因为，则，则，所以，，当且仅当时，即当时，等号成立，但，故等号不成立，所以，，D对.故选：BCD.【变式】1．（22-23·福建龙岩·阶段练习）当时，函数（

）A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值4 D．有最小值4【答案】A【解析】，，，当且仅当时等号成立，故选：A2．（23-24高一上·上海普陀·期中）下列不等式中等号可以取到的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故A不符合；对于B，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故B不符合；对于C，因为，所以，当且仅当，即时取等号，故C符合；对于D，因为，所以，当且仅当，即，故等号不成立，故D不符合.故选：C.3．（23-24高一上·福建泉州·阶段练习）下列各式能用基本不等式直接求得最大（小）值的是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】对于选项A，不满足的要求，所以A不能直接用基本不等式求最大（小）值，故A错误；对于选项B，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，所以B能直接用基本不等式求最小值，故B正确；对于选项C，∵，，∴，当且仅当即时等号成立，所以C能直接用基本不等式求最小值，故C正确；对于选项D，当或时不满足和是正数的要求，所以D不能直接用基本不等式求最大（小）值，故D错误；故选：BC.知识点二常数替换型【【解题思路】常数代换法，常数代换法解题的关键是通过代数式的变形，构造和式或积式为定值的式子，然后利用基本不等式求解最值．应用此种方法求解最值时，应把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘求积或相除求商．【例2-1】（23-24重庆·期末）已知，，且，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即时取等.故的最小值为.故选：B.【例2-2】（23-24高二下·云南昆明·期中）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，得，所以，当且仅当时取等号，最小值为.故选：B.【例2-3】（23-24高一·重庆·期末）已知均为实数且，则的最小值为.【答案】1【解析】因为，所以，所以，当且仅当，即等号成立，所以的最小值为1.故答案为：1.【例2-4】（23-24高一·浙江丽水·期末）已知，，则的最小值为.【答案】【解析】令，则，且，所以，又，所以，当且仅当，即，时等号成立.故答案为：.【变式】1．（2024·安徽·模拟预测）已知，，则的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】，，当且仅当，即，时等号成立.故选：B.2．（23-24高一下·陕西榆林·阶段练习）若正数，满足，则的最小值为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正数，满足，得，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为．故选：B3．（2024·江苏扬州）已知，，且，则的最小值为（

）A．4 B． C．6 D．【答案】D【解析】因为，，且，所以，当且仅当，即，时取等号.故选：D4．（23-24高一·黑龙江双鸭山·阶段练习）已知，且，则的最小值是【答案】【解析】由可得，，因,则，当且仅当时等式成立，即时，的最小值是.故答案为：.5．（2024北京）若正实数满足，则最小值为【答案】【解析】由于都为正数，且．由，当且仅当，时，即时，等号成立.所以有最小值．故答案为：．6．（23-24高一·浙江绍兴·期中）已知，，且，则的最小值为.【答案】【解析】因为，所以当且仅当，即取等号，所以的最小值为.故答案为：.7．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）若，且，则的最小值为.【答案】/0.8【解析】，，，，，，当且仅当时，即时取等号．故答案为：．8．（23-24高一·辽宁·阶段练习）已知，，则的最小值为.【答案】12【解析】令，则，且，所以．又，所以，当且仅当，即，时等号成立．故答案为：12.知识点三配凑型【【解题思路】拼凑法，拼凑法求解最值，其实质就是先通过代数式变形拼凑出和或积为常数的两项，然后利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值时，要注意“一正、二定、三相等”，尤其是要注意验证等号成立的条件．【例3-1】（22-23高一上·云南楚雄·阶段练习）函数的最小值是（

）A． B．3 C．6 D．12【答案】A【解析】因为所以，(当且仅当即时，等号成立故最小值为，故选：A【例3-2】（22-23高一上·辽宁沈阳·阶段练习）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.【例3-3】（22-23高一上·全国·阶段练习）若，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立，故选：B.【变式】1．（2023湖南）函数的最大值为.【答案】/【解析】因为，则，所以≤，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为.故答案为：.2．（2023-2024广东）函数的最小值为．【答案】【解析】由，又，所以，当且仅当，即时等号成立，所以原函数的最小值为.故答案为：3．（22-23高一上·湖南益阳·阶段练习）已知，则函数的最小值是．【答案】【解析】因为，当且仅当，即时，等号成立.所以函数的最小值是故答案为:.4．（23-24高一上·上海闵行·期中）已知，的最小值为.【答案】【解析】由，则，当且仅当时，即时取等号，此时取得最小值．故答案为：5．（23-24高一下·陕西西安·阶段练习）函数的最小值为．【答案】【解析】因为，令，则，又因为，可得，因为，当且仅当时，即，即时，等号成立，所以，即的最小值为.故答案为：.知识点四求参数的取值范围【【解题思路】分离参数法：则常将参数分离后,利用最值转化法求解分离参数法分离参数法【例4-1】（23-24高一上·安徽六安·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】不等式恒成立，，且当且仅当，即时取等号，即解得故实数的取值范围是故选：C【例4-2】（23-24高一下·湖南株洲·开学考试）（多选）若对于任意，恒成立，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】因为，所以，当且仅当，即时等号成立，由任意，恒成立，

所以，符合条件有，，，故A、C、D对；，故B错；故选：ACD【变式】1．（23-24高一上·广东揭阳·期中）已知，，且，若不等式恒成立，则a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】，故，，，，故，当且仅当，即时取等号，故，最小值是16，由不等式恒成立可得.a的取值范围是，故选：B.2．（23-24高一上·上海·期中）对任意满足的正实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是.【答案】【解析】不等式恒成立，即，因为正实数满足，所以，当且仅当即，时等号成立，则实数的取值范围.故答案为：.3．（23-24高一上·四川宜宾·阶段练习）（多选）已知，，且，若对任意的，恒成立，则实数的可能取值为（

）A． B． C．3 D．1【答案】ABC【解析】由，，则，即恒成立，又，当且仅当时，等号成立，故，即，即，解得或.故选：ABC.知识点五基本不等式解决实际问题【【解题思路】利用基本不等式解决实际问题的解题思路解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数．(2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题．(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．(4)正确写出答案．【例5】（23-24高一上·广东广州·期末）某食品企业为了提高其生产的一款食品的收益，拟在下一年度开展促销活动，已知该款食品年销量吨与年促销费用万元之间满足函数关系式（为常数），如果不开展促销活动，年销量是1吨.已知每一年生产设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1吨食品需再投入32万元的生产费用，通过市场分析，若将每吨食品售价定为：“每吨食品平均生产成本的1.5倍”与“每吨食品平均促销费的一半”之和，则当年生产的该款食品正好能销售完.(1)求值；(2)将下一年的利润（万元）表示为促销费（万元）的函数；(3)该食品企业下一年的促销费投入多少万元时，该款食品的利润最大？（注：利润销售收入生产成本促销费，生产成本固定费用生产费用）【答案】(1)(2)(3)该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.【解析】（1）由题意可知，当时，，所以，解得；（2）由于，故，由题意知，当年生产吨时，年生产成本为：，当销售吨时，年销售收入为：，由题意，，即.（3）由（2）知：，即，当且仅当，又，即时，等号成立.此时，.该食品企业下一年的促销费投入6万元时，该款食品的利润最大为万元.【变式】1．（23-24高一上·四川成都·期末）如图所示，一条笔直的河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.现规划了如下三项工程：工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为亿元.(1)求实数的取值范围；(2)问点在何处时，最小，并求出该最小值.【答案】(1)(2)当点满足时，最小，最小值为亿元.【解析】（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，所以，解得：直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，所以，解得：,故实数的取值范围为.（2）依题意可得：，当且仅当，即时取等.所以当点满足时，最小，最小值为亿元.2．（23-24高一上·福建·期中）函数的图象经过第一象限的点，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为．(1)若不等式恒成立，求实数的取值范围；(2)求四边形（为坐标原点）面积的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由函数的图象经过第一象限的点，则，且，则，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，因为恒成立，即恒成立，即恒成立，由，解得，即实数的取值范围.（2）解：由题意，过点分别作轴和轴的垂线，垂足分别为，可得，则四边形为矩形，所以面积为，因为，且，可得，当且仅当，即时，等号成立，所以，解得，所以四边形面积的最大值为.重难点一利用基本不等式比较大小【【解题思路】运用基本不等式比较大小(1)要灵活运用基本不等式，特别注意其变形．(2)应注意成立的条件，即a＋b≥2eq\r(ab)成立的条件是a>0，b>0，等号成立的条件是a＝b；a2＋b2≥2ab成立的条件是a，b∈R，等号成立的条件是a＝b.【例6-1】（22-23高一上·山东青岛·期中）设正实数a、b满足，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】A：由，则，仅当时等号成立，故，错误；B：由，仅当时等号成立，故，正确；C：由，仅当时等号成立，故，错误；D：由，仅当时等号成立，故，错误.故选：B【例6-2】（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）（多选）已知，则下列不等式可能成立，也可能不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】A选项，，故，当时，，即，当时，，即，A可能成立，也可能不成立，B选项，，因为，所以，当时，，当时，，故B可能成立，也可能不成立；C选项，因为，所以，故，所以，而，故，即，C一定正确；D选项，若，由基本不等式得，两个等号成立的条件为，但，不妨设，此时，当时，显然，故可能成立，也可能不成立，D正确.故选：ABD【变式】1．（23-24高一上·湖北武汉·期末）（多选）若，且，则（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】A：由题设，当且仅当时取等号，对；B：由题设，当且仅当时取等号，所以，对；C：，当且仅当时取等号，对；D：，当且仅当时取等号，错.故选：ABC2．（22-23高一上·湖南衡阳·期中）（多选）若，，，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】因为，，，对于A，，当且仅当时，等号成立，所以，故A正确；对于B，，当且仅当时，等号成立，所以，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，取，，得，故D错误.故选：ABC3．（22-23高一上·河南南阳·阶段练习）（多选）已知,则（

）A． B．C． D．【答案】BC【解析】解:由题知,当时,,故选项A,D错误;根据算术平均数大于等于调和平均数,所以,即,由,当且仅当,即时,等号成立,因为,所以,此时,故,故选项B正确.因为,所以,即,当且仅当,即时,等号成立,所以,故选项C正确.故选:BC4．（22-23高一上·广东茂名·阶段练习）若，且，则在四个数中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】由于，则，又，所以，又，即.故选：ABD重难点二利用基本不等式证明不等式【【解题思路】利用基本不等式证明不等式的解题思路(1)从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．(2)①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用．【例7-1】（23-24高一上·云南曲靖·期末）已知，，且，证明：(1)；(2)．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1），因为，，，则，当且仅当时等号成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，当且仅当时等号成立，所以．【变式】1．（22-23高一上·江西南昌·阶段练习）已知正实数a，b，c满足.(1)求的最小值；(2)证明：，【答案】(1)9(2)证明见解析【解析】（1）因为，所以，由，当且仅当时取等号，即的最小值是9；（2）由，当且仅当时取等号，故.2．（23-24高一上·甘肃·期末）已知.(1)求证：；(2)若，求的最小值.【答案】(1)证明见解析；(2)8.【解析】（1），则，当且仅当时取等号，所以.（2）由，且，得，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值8.3．（23-24高一上·辽宁大连·阶段练习）对于题目：已知，，且，求最小值．甲同学的解法：因为，，所以，，从而，所以的最小值为．乙同学的解法：因为，，所以．所以的最小值为．丙同学的解法：因为，，所以．(1)请对三位同学的解法正确性作出评价（需评价同学错误原因）；(2)为巩固学习效果，老师布置了另外两道题，请你解决：（i）已知，，且，求的最小值；（ii）设，，都是正数，求证：．【答案】(1)甲错误，乙、丙正确(2)（i）；（ii）证明见解析【解析】（1）甲错误，乙、丙正确，同学甲的解法中，取等号时，，此时，不符合题目要求，故甲错误.乙恒等变换后，直接用基本不等式，满足基本不等式的使用条件“一正”“二定”“三相等”解法正确.丙用了两次基本不等式，两次等能同时取得，解法正确；（2）（i），，，当且仅当即时等号成立.（ii）因为，，为正数，由基本不等式可得，，当且仅当取等号，，当且仅当取等号，，当且仅当取等号，以上三式相加有，即，当且仅当时取等号.4．（23-24高一上·湖北武汉·阶段练习）已知，，且．(1)求证：；(2)求证：．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【解析】（1）由，所以．所以，当且仅当，即时取等号，所以，由此得证．（2）因为，当且仅当，即时取等号，所以，由此得证．单选题1．（2023·重庆）已知a＞0，b＞0，a+2b＝4，则ab的最大值是（）A． B．2 C．4【答案】D【解析】，等号成立条件是，即时取等号，即当且仅当时取等号，所以ab的最大值是4.故选：D.2．（2024·山西临汾·三模）若，则的最小值是（

）A．1 B．4 C． D．【答案】D【解析】因为，所以，则，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值，故选：D．3．（22-23高一上·北京丰台·期中）下列结论正确的是（

）A．当时， B．当时，的最小值是C．当时， D．当时，的最小值为1【答案】C【解析】对于A，当时，，故A错误，对于B，当时，，当且仅当时等号成立，故B错误，对于C，当时，，当且仅当即时等号成立，故C正确，对于D，当时，，当且仅当即时等号成立，故D错误，故选：C4．（2023春·福建福州）若正数满足，则的最小值为（

）A． B． C．2 D．【答案】A【解析】因为正数满足，所以.所以,当且仅当，即时，取等号，当时，取得的最小值为.故选：A.5．（23-24高一上·江苏徐州·阶段练习）已知正实数满足，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】易知，所以可得；当且仅当，即时，等号成立；依题意需满足，所以.故选：D6．（2024四川·树德中学高一阶段练习）若，则函数的最小值为（

）A．4 B．6 C． D．【答案】B【解析】因为.所以.当且仅当“”即时取“=”.故选：B.7．（2024·辽宁）已知正实数x，则的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，又因为，所以，所以，当且仅当时，即时等号成立，所以，即y的最大值是.故选：D.8．（2024·安徽）已知，满足，则的最小值是（）A． B． C．2 D．2【答案】D【解析】由，得，而，则有，因此，，当且仅当，即时取“=”，所以的最小值为2.故选：D多选题9．（23-24高一上·四川眉山·阶段练习）下列选项中正确的是（

）A．若正实数x，y满足，则B．当时，不等式的最小值为3C．不等式恒成立D．存在实数，使得不等式成立【答案】AD【解析】对于A，若正实数x，y满足，则，当且仅当，即，时等号成立，故A正确；对于B，时，，则有，当且仅当时，即时等号成立，故该题等号不能成立，所以不等式的最小值不为3，故B错误；对于C，不等式恒成立的条件是，，比如取，时，不等式不成立，故C错误；对于D，当为负数时，不等式成立，比如取，不等式成立，故D正确.故选：AD.10．（22-23高一上·甘肃兰州·阶段练习）（多选题）下列各式中，最小值为2的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】A项，首先要使式子有意义，，当时，，故A错误；B项，任意，，当且仅当时，即时，等号成立.但方程无解，故等号取不到，即，故B错误；C项，首先要使式子有意义，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为；D项，首先要使式子有意义，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为.故选：CD.11．（23-24高一下·浙江·阶段练习）已知，，且，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最小值C．有最小值 D．有最小值【答案】AB【解析】对于A，由，得，当且仅当，即，时取等号，故A正确；对于B，，当且仅当，即，时取等号，故B正确；对于C，由，得，所以，当且仅当，即，即时取等号，故C错误；对于D，有，而由于和不相等，从而它们不能同时为零，所以，故D错误.故选：AB.填空题12．（浙江省舟山市2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题）已知实数，，且，则的最小值为.【答案】/【解析】因为，，且，则，当且仅当，即，时，取等号，所以的最小值为.故答案为：13．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）已知且，则的最小值为.【答案】【解析】因为且，所以，所以，当且仅当，即，时取等号，所以的最小值为.故答案为：14．（2023·江西南昌·高一期末）当时，函数的最小值为___________．【答案】【解析】因为，则，则，当且仅当时，等号成立，所以，当时，函数的最小值为.故答案为：.解答题15．（23-24高一上·江西宜春·阶段练习）利用基本不等式求下列式子的最值：(1)若，求的最小值，并求此时x的值；(2)已知x，y＞0，且x+4y=1，求xy的最大值；(3)若，求的最大值．【答案】(1)4，；(2)(3)．【解析】（1），当且仅当时取等，故最小值为4，此时；（2），当且仅当时取等，故最大值为.（3），当且仅当时取等，故所求最大值为.16．（23-24高一上·山东菏泽·阶段练习）（1）已知，则取得最大值时的值为？（2）函数的最小值为？（3）已知x，y是正实数，且，求的最小值．【答案】（1）；（2）

；（3）．【解析】（1），当且仅当，即时取等号．故取得最大