2022届新教材二轮复习高考大题满分练六统计与概率综合问题作业

高考大题满分练(六)统计与概率综合问题1．某校高二年级共有1000名学生，为了了解学生返校上课前口罩准备的情况，学校统计了所有学生口罩准备的数量，并绘制了如图所示的频率分布直方图．(1)求x的值；(2)现用分层抽样的方法，从口罩准备数量在[10，20)和[50，60]的学生中选10人参加视频会议，则两组各选多少人？(3)在(2)的条件下，从参加视频会议的10人中随机抽取3人，参与学校组织的复学演练．记X为这3人中口罩准备数量在[10，20)的学生人数，求X的分布列与数学期望．【解析】(1)(0.015＋0.035＋0.01＋2x)×10＝1，解得x＝0.02.所以x的值为0.02.(2)口罩准备数量在[10，20)的人数：10×eq\f(0.015,0.015＋0.01)＝6(人)，[50，60]的人数：10×eq\f(0.01,0.015＋0.01)＝4(人).(3)由题意得X＝0，1，2，3，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(4,120)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(36,120)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(4)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(60,120)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(3),\s\do1(10)))＝eq\f(20,120)，故分布列为：X0123Peq\f(4,120)eq\f(36,120)eq\f(60,120)eq\f(20,120)数学期望E(X)＝0×eq\f(4,120)＋1×eq\f(36,120)＋2×eq\f(60,120)＋3×eq\f(20,120)＝eq\f(216,120)＝eq\f(9,5).所以数学期望为eq\f(9,5).【加练备选·拔高】甲、乙、丙三位同学报名参加学校的社团活动，每位同学彼此独立地从足球、篮球、围棋、合唱四个社团中随机选报两个社团．(1)求恰有两位同学选报的社团完全相同的概率．(2)求同学甲选报足球社的概率．(3)若甲已经报名参加了合唱社团，只需在其余三个社团中再选报一个，乙、丙从四个社团中随机选两个，设报名足球社的同学人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【解析】(1)设“恰有两位同学选报的社团完全相同”为事件A，P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))（Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(2))＋1）,（Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4))）3)＝eq\f(5,12).(2)设“甲同学选报足球社”为事件B，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(3)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(4)))＝eq\f(1,2).(3)X的所有可能值为0，1，2，3，甲同学报名足球社的概率为eq\f(1,3)，由(2)可知，乙、丙报名足球社的概率都为eq\f(1,2)，故P(X＝0)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,6)，P(X＝1)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(2,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,3)×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,3)，P(X＝3)＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,12)，X的分布列为：X0123Peq\f(1,6)eq\f(5,12)eq\f(1,3)eq\f(1,12)E(X)＝0×eq\f(1,6)＋1×eq\f(5,12)＋2×eq\f(1,3)＋3×eq\f(1,12)＝eq\f(4,3).2.潜叶蝇是南方地区水稻容易遭受的虫害之一，成虫将虫卵产在叶片里，待虫卵孵化之后，幼虫会在叶片中啃叶肉，使得秧苗的叶片呈现白色的状态，进而降低水稻产量．经研究，每只潜叶蝇的平均产卵数y和夏季平均温度x有关，现收集了某地区以往6年的数据，得到下面数据统计表格．平均温度xi℃212325272931平均产卵数yi个711212264115(1)根据相关系数r判断，潜叶蝇的平均产卵数y与平均温度x是否具有较强的线性相关关系，若有较强的线性相关关系，求出线性回归方程y＝x＋，若没有较强的线性相关关系，请说明理由(一般情况下，当|r|＞0.75时，可认为变量有较强的线性相关关系)；(2)根据以往的统计，该地区夏季平均气温为ξ(℃)近似地服从正态分布N(26.5，σ2)，且P(25＜ξ≤28)＝eq\f(1,2).当该地区某年平均温度达到28℃以上时，潜叶蝇快速繁殖引发虫害，需要进行一次人工治理，每次的人工治理成本为200元/公顷(其他情况均不需要人工治理)，且虫害一定会导致水稻减产，对过往10次爆发虫害时的减产损失进行统计，结果如表：每次虫害减产损失(元/公顷)10001400频数46用样本的频率估计概率，预测未来2年，每公顷水稻可能因潜叶蝇虫害造成的经济损失Y(元)的数学期望．(经济损失＝减产损失＋治理成本)参考公式和数据：r＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)\r(\i\su(i＝1,n,)（yi－\x\to(y)）2))，＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x)，eq\i\su(i＝1,6,)(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝700，eq\i\su(i＝1,6,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))＝4126，eq\i\su(i＝1,6,y)i＝240，eq\i\su(i＝1,6,)(yi－eq\x\to(y))2＝8816，eq\r(70)≈8.4，eq\r(617180)≈786.【解析】(1)由题意可知eq\x\to(x)＝(21＋23＋25＋27＋29＋31)÷6＝26，eq\x\to(y)＝(7＋11＋21＋22＋64＋115)÷6＝40，所以r＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\r(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)·\r(\i\su(i＝1,6,)（yi－\x\to(y)）2))＝eq\f(700,\r(52＋32＋12＋12＋32＋52)·\r(8816))＝eq\r(\f(7002,70×8816))＝eq\r(\f(875,1102))≈0.891＞0.75，所以存在较强的线性相关关系，所以＝eq\f(\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,6,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(700,52＋32＋12＋12＋32＋52)＝eq\f(700,70)＝10，所以＝40－26×10＝－220，所以线性回归方程为＝10x－220.(2)因为夏季平均气温近似地服从正态分布N(26.5，σ2)，且P(25＜ξ≤28)＝eq\f(1,2)，(25＋28)÷2＝26.5，所以P(ξ＞28)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))÷2＝eq\f(1,4)，所以由题知平均每次虫害损失为(1000×4＋1400×6)÷(4＋6)＝1240(元)，所以可知每次虫害需要人工治理的概率为eq\f(1,4)，因此E(Y)＝(1240＋200)×eq\f(1,4)＝360元．3．有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如表所示的列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知从全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为eq\f(2,7).(1)请完成上面的列联表；(2)根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；(3)若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到4号或9号的概率．附：χ2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）).α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【解析】(1)由题知优秀的人数为105×eq\f(2,7)＝30，可得2×2列联表如表格：优秀非优秀总计甲班104555乙班203050合计3075105(2)根据列联表中的数据，得到χ2＝eq\f(105×（10×30－20×45）2,55×50×30×75)≈6.109＞3.841＝x0.05，因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．(3)设“抽到4号或9号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(x，y)，则所有的基本事件有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种．事件A包含的基本事件有(1，3)，(2，2)，(3，1)，(3，6)，(4，5)，(5，4)，(6，3)共7种，所以P(A)＝eq\f(7,36).4．某单位对员工业务进行考核，从A类员工(工作3年及3年以内的员工)和B类员工(工作3年以上的员工)的成绩中各抽取15个，具体数据如下：A类成绩：201022301512412231251226293233B类成绩：214030414231495152434747324548(1)根据两组数据完成两类员工成绩的茎叶图，并通过茎叶图比较两类员工成绩的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，得出结论即可)；(2)研究发现从业时间与业务能力之间具有线性相关关系，从上述抽取的30名员工中抽取4名员工的成绩如表格：员工工作时间x(单位：年)1234考核成绩y10152030根据四个的数据，求y关于x的线性回归方程．附：回归直线＝x＋的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：＝eq\f(\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）（yi－\x\to(y)）,\i\su(i＝1,n,)（xi－\x\to(x)）2)＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(i))－n\x\to(x)2)，＝eq\x\to(y)－eq\x\to(x).【解析】(1)A类成绩：20102230