3.3 幂函数（精练）（解析版）-人教版高中数学精讲精练（必修一）

3.3幂函数（精练）1幂函数的辨析1．（2022·吉林·梅河口市第五中学高一期末）下列函数是幂函数的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】形如（为常数且）为幂函数，所以，函数为幂函数，函数、、均不是幂函数.故选：C.2．（2021·全国·高一课时练习）下列函数是幂函数的是（

）A．； B．； C．； D．.【答案】C【解析】A.是一次函数；B.是常函数；C.是幂函数；D.是指数函数.故选：C3．（2022广东）下列函数属于幂函数的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据幂函数的概念可知B选项正确.故选：B.4．（2022.云南）给出下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是幂函数的有（

）A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】由幂函数的定义：形如（为常数）的函数为幂函数，则可知①和④是幂函数.故选；B.2幂函数的三要素1．（2022·四川攀枝花·高一期末）幂函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为幂函数的图象过点，所以有：，即.所以，故，故选：C.2．（2022福建）下列幂函数中，定义域为R的幂函数是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】A，则需要满足，即，所以函数的定义域为，故A不符合题意；B，则需要满足，所以函数的定义域为，故B不符合题意；C，则需要满足，所以函数的定义域为，故C不符合题意；D，故函数的定义域为，故D正确；故选：D.3．（2021·江苏·高一单元测试）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】要使函数有意义，则∴，即.故选：C.4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数是幂函数，则的值为_____．【答案】8【解析】依题意得，，，则，故答案为：85．（2022·上海）函数的定义域为__________．【答案】【解析】函数解析式为，则，解得.因此，函数的定义域为.故答案为：.3幂函数的性质1．（2022福建）已知幂函数()在上是减函数，则n的值为（

）A． B．1 C． D．1和【答案】B【解析】因为函数是幂函数所以所以或当时在上是增函数，不合题意.当时在上是减函数，成立故选：B2．（2022·全国·高一阶段练习）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（

）A．－1 B．－1或3 C．3 D．2【答案】C【解析】由题意知：，即，解得或，∴当时，，则在上单调递减，不合题意;当时，，则在上单调递增，符合题意,∴,故选：C3．（2022·河南新乡·高一期末）已知幂函数在上单调递减，则（

）A．2 B．16 C． D．【答案】D【解析】由题意得，解得，所以，故,故选：D4．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）已知幂函数的图象过点，则下列说法中正确的是（

）A．的定义域为 B．的值域为C．为偶函数 D．为减函数【答案】C【解析】因为幂函数的图象过点，所以，所以，所以，定义域为，且，即为偶函数，因为，所以，所以，故A错误，B错误，C正确，又在上单调递减，根据偶函数的对称性可得在上单调递增，故D错误；故选：C5．（2022·贵州）（多选）幂函数在上是增函数，则以下说法正确的是（

）A．B．函数在上单调递增C．函数是偶函数D．函数的图象关于原点对称【答案】ABD【解析】因为幂函数在上是增函数，所以，解得，所以，所以，故为奇函数，函数图象关于原点对称，所以在上单调递增；故选：ABD6．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式．【答案】【解析】因为幂函数在区间上单调递减，则，得，又∵，∴或1．因为函数是偶函数，将分别代入，当时，，函数为是偶函数，满足条件.当时，，函数为是偶函数，满足条件.的解析式为．4幂函数的图像1．（2022·全国·高一专题练习）如图所示是函数(且互质)的图象，则（

）A．是奇数且 B．是偶数，是奇数，且C．是偶数，是奇数，且 D．是偶数，且【答案】C【解析】函数的图象关于轴对称，故为奇数，为偶数，在第一象限内，函数是凸函数，故，故选：C.2．（2022·全国·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据幂函数的性质，在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，所以由图像得：，故选：D3．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】根据函数图象可得：①对应的幂函数在上单调递增，且增长速度越来越慢，故，故D选项符合要求.故选：D4．（2021·江苏·高一专题练习）下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【答案】（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B【解析】（1）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递增；（2）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递增；（3）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递增；（4）中，函数，定义域为，偶函数，在单调递减；（5）中，函数，定义域为，奇函数，在单调递减；（6）中，函数，定义域为，非奇非偶函数，在单调递减.对比分析可知对应关系为（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B.故答案为：（1）A；（2）F；（3）E；（4）C；（5）D；（6）B5幂函数的综合运用1．（2022·河北）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵，∴，∵，∴，即或2，∵在上单调递增，为偶函数，∴，即．(2)∵∴，，，∴，即的取值范围为．2．（2021·全国·高一专题练习）已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．（1）求函数的解析式；（2）若，求的取值范围；（3）若实数，（，）满足，求的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）2．【解析】（1）．，，（）即或在上单调递增，为偶函数即（2），，，∴（3）由题可知，，当且仅当，即，时等号成立．所以的最小值是2．3．（2022江西）已知幂函数为奇函数．（1）求实数m的值；（2）求函数的值域．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）∵函数为幂函数，，解得或5，当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，函数为奇函数，；（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．4．（2022·山东）已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数.（1）求和的值；（2）求满足的的取值范围.【答案】（1）或；；（2）【解析】（1）函数为幂函数，，即，解得或，函数在上是减函数，解得，又函数图象关于轴对称，所以函数为偶函数，，当时，，函数不是偶函数，舍去；当时，，函数为偶函数，满足条件；当时，，函数不是偶函数，舍去；综上所述，.（2）由（1）可知，因为在，上单调递减，所以等价于或或，解得或.故的取值范围为5（2022西安）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增.（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设函数，若对任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）∵幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，，且为偶数.

又，解得，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.当时，由得.

易知函数在上单调递减，

.∴实数的取值范围是.6