第一次月考压轴题专练（35题）-【常考压轴题】2023-2024学年八年级数学下册压轴题攻略（解析版）

第一次月考压轴题专练一、单选题1．（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（

）

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，根据题意逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．【详解】解：连接，如图

∵是等边三角形，∴，，∵，∴，故①符合题意；∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴∵，∴，故②符合题意；∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故③符合题意；∵，是的中点，故④符合题意；，∴，又∵∴，∴，故⑤符合题意．故选：．2．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，于点，的平分线分别交，于点，，为的中点，的延长线交于点，连接．下列结论：；；是等腰三角形；．其中结论正确的个数是（

）A．个 B．个 C．个 D．个【答案】D【分析】先求出，，，证即可判断；证推出，即可判断，通过证明、、、四点共圆得到，结合三角形外角的性质即可判断；根据三角形外角的性质求出，结合三角形内角和定理可得，据此判断．【详解】∵，，，∴，，，，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵为的中点，∴，∴，∴，∵在和中，，∴，∴，故正确；∵在和中，，∴，∴，∵，∴，故正确；∵，∴、、、四点共圆，∴，∴，∴，故正确；∵，∴，∴，∴是等腰三角形，故正确，即正确的有个，故选：．【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解题的关键．3．（2023上·福建龙岩·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，于，的平分线交于点，交于，于，的延长线交于点，下列五个结论：①；②；③；④；⑤连接，若，则，其中正确的结论有（）

A．①②④ B．①②③ C．①②③⑤ D．①②③④⑤【答案】C【分析】证明，可得，故①正确；由，可得，再证明为等腰三角形，从而得到，进而得到，易知，故②正确；结合可得，进而证明，故③正确；根据题意无法确定、的大小关系，则无法得到，故④错误；结合三角形中线的性质可得，，进而可得，故⑤正确．【详解】解：∵，∴，∵是的平分线，∴，在和中，，∴，∴，故①正确；∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，故②正确；∵，∴，∴，故③正确；根据题意无法确定的大小、的大小关系，∴无法得到，故④错误；∵，∴，，∴，即，又∵，∴，故⑤正确．综上所述，正确的有①②③⑤．故选：C．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、直角两锐角互余、等腰三角形的判定与性质、三角形中线的性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题的关键．4．（2023上·黑龙江牡丹江·八年级统考阶段练习）如图，在等边中，于点D，延长到点E，使，F是的中点，连接并延长交于点G，的垂直平分线分别交，于点M，点N，连接，则下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】B【分析】根据等边三角形的性质和，可得，即，再根据三角形外角的性质可得，再利用三角形内角和定理求得，即可判断①；设，根据直角三角形的性质可得，从而可得，，利用勾股定理求得，，从而求得，即可判断②；如图，过点N作于点H，连接，根据角平分线的性质和线段垂直平分线的性质可得，，从而证得，可得，即可判断③；根据角的和差及等腰三角形的性质可判断④；利用勾股定理求得，即可判断⑤．【详解】解：∵是等边三角形，∴，，∵，点F是的中点，∴，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，故①正确；∵，，设，则，∴，，，∴，在中，，∴，∴，故②正确；如图，过点N作于点H，连接，∵是等边三角形，，∴平分，，∵，，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵，∴，，∵，由②可得，，则，，∵，∴，在中，，即，∴，∴，∴，又∵，∴，故④错误；∵，，，∴，∴，故⑤错误；故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质及勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．5．（2023上·江苏泰州·八年级校考阶段练习）如图，中，，点M，N分别在，上，将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），下列结论：①直线垂直平分；②；③；④若M是中点，则．其中一定正确的是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④【答案】D【分析】①根据将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），证明直线垂直平分，故①正确；②证明与不一定相等，得到与不一定相等，故②错误；③先由①得，直线垂直平分，则，，再根据”等边对等角“证明，，则，再根据是的一个外角，是的一个外角，证明，，进一步证明，根据，得到，则，然后根据，证明，从而得到，故③正确；④先根据是的中点，证明，再由①得，直线垂直平分，则，再证明，最后证明，即，故④正确．【详解】解：①∵将沿直线翻折，点A的对应点D恰好落在边上（不含端点B，C），∴直线垂直平分，故①正确；②∵，∴，∴又∵，∴与不一定相等，∴与不一定相等，∴与不一定相等，故②错误；③由①得，直线垂直平分，∴，，∴，，∴∵是的一个外角，是的一个外角，∴，∴，∴，∴，∴，∴又∵，∴即，又∵(已证)，∴，故③正确；④∵是的中点，∴，∵，∴，∴，，又，∴，∴，∴，故④正确；综上所述，一定正确的有①③④，故选：D．【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是能够根据题意的条件，进行恰当的推理论证．6．（2023上·河南商丘·九年级校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点且，以为边作等边，则当线段的长取到最大值时，点P的横坐标为（

）

A．1.5 B．2 C．3 D．1【答案】A【分析】以为边作等边，连接，然后证明得，从而可判断当N，A，B三点共线时，最大，即最大，然后利用等边三角形的性质解答即可．【详解】如图1，以为边作等边，连接，

由题意，∴，∴，∴，∵，∴当N，A，B三点共线时，最大，即最大，如图2，过P作轴，垂足为T，

∵是等边三角形，，∴，∵点A的坐标为，∴．∵，∴，∴，∴点P的横坐标为1.5．当P在x轴下方时，同上可求点P的横坐标为1.5．故选：A．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形三条边的关系，坐标与图形的性质等知识点，熟练掌握相关判定与性质是解本题的关键．7．（2023上·浙江金华·八年级统考阶段练习）如图，中，，的平分线与边的垂直平分线相交于，交的延长线于，于，下列结论：①；②；③平分；④；正确的是（

）A．①② B．①③ C．①②③ D．①②④【答案】D【分析】由角平分线的性质可知①正确；由题意可知，故此可知，，从而可证明②正确；若平分，则，与矛盾，可得③错误；连接、，然后证明，从而得到，，从而证明④．【详解】解：∵平分，，，∴，∴①正确；∵，平分，∴，∵，，∴，同理：，∴，∴②正确；∵，∴若平分，则，与矛盾，∴③错误；如图所示：连接、，∵是的垂直平分线，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵中，，中，，∴，∴，∴④正确；综上可知，正确的有①②④，故选D．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等，有一定难度，能够综合运用上述知识点是解题的关键．8．（2024上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，若，则（）A．. B．. C． D．【答案】C【分析】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，三角形的面积，由折叠可得，，，，，根据角平分线的性质可得，再根据，，，推导出，利用三角形面积得到，即可求解，由三角形面积得到是解题的关键．【详解】解：如图，过点作于点，的延长线于点，由折叠得到，，，，，，∴平分，∵，∴，,∵，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，∴，∴故选：．二、填空题9．（2023上·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考阶段练习）在中，，如果将折叠，使点B与点A重合，且折痕交边于点M，交边于点N．如果是直角三角形，那么的面积是．【答案】1或【分析】本题是等腰三角形的折叠问题，考查了折叠的性质，等腰三角形三线合一性质，勾股定理，三角形面积等知识．分两种情况：当时，根据及将折叠，使点B与点A重合，可得，可得到的面积；当时，过A作于H，设，则，可得，，又，可得，再利用勾股定理可得，可得到的面积．【详解】解：当时，如图：∵，∴，∵将折叠，使点B与点A重合，∴，∴的面积是：；当时，如图，过A作于H，设，∵，∴，∴，∵将折叠，使点B与点A重合，∴，在中，，在中，，在中，，∴，解得：，∴，∴，∴的面积是：．．故答案为：1或．10．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）已知和均为等腰直角三角形，，，点为的中点，已知为直线上的一个动点，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定和性质、垂线段最短，勾股定理，设点是的中点，连接，先证得，得出，根据点到直线的距离可知当时，最小，然后根据等腰直角三角形的性质求得时的的值，即可求得线段的最小值，解题的关键是学会添加辅助线构建全等三角形，利用垂线段最短解决最值问题．【详解】解：设点是的中点，连接，∵，∴，即，∵，为中点，∴，在和中，∵，∴，∴，∵点在直线上运动，当时，最小，∵是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∵，∴，即，∵点是的中点，∴，∴，∴线段的最小值是为，故答案为：．11．（2024上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，等腰，，，是动点，，分别在线段上．当周长最小时，则四边形面积最大值为．【答案】【分析】本题考查等腰直角三角形判定及性质，勾股定理，三角形面积公式．根据题意以点为圆心4为半径作弧交于两点，此时周长最小，，再过点作，利用等腰三角形判定得出为等腰直角三角形，求出的长，再利用三角形面积公式即可得出本题答案．【详解】解：如图，以点为圆心4为半径作弧交于两点，过点作，∴此时周长最小，，∵等腰，，∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，在中应用勾股定理得：，∴四边形面积最大值为：，故答案为：．12．（2023上·江苏盐城·八年级景山中学校考阶段练习）如图，已知直线分别交轴、轴于点、两点，，、分别为线段和线段上一动点，交轴于点，且．当的值最小时，则点的坐标为.【答案】【分析】先求出直线与坐标轴的交点坐标，再利用勾股定理得到，由等腰三角形三线合一的性质，得出，如图，取点，连接、、，得到，，进而得出，，证明，得到，即当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，利用待定系数法求出直线的解析式，其与轴的交点即为点的坐标．【详解】解：直线分别交轴、轴于点、两点，令，则；令，则，解得：，，，，，，，，，，，，如图，取点，连接、、，，，，，，在和中，，，，，当点、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，设直线的解析式为，，解得：，直线的解析式为，令，则，点的坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了一次函数图象和性质，待定系数法求一次函数解析式，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，最短路径问题，一次函数与坐标轴的交点问题等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．13．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）如图，是边长为6的等边三角形，直线于，点是直线上一动点，以为边在的右侧作等边，连接，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含的直角三角形．根据题意确定点的运动轨迹是解题的关键．如图，连接，证明，则，可知点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，由，可得，计算求解即可．【详解】解：如图，连接，∵，是等边三角形，，∴，，，∴，即，∵，∴，∴，∴点在与夹角为的直线上运动，如图，直线即为点的运动轨迹，作于，即为的最小值，∵，∴，∴的最小值为，故答案为：．14．（2023上·山东日照·八年级校考阶段练习）在等腰中，，是的中点，于，交于．则．【答案】【分析】如图，过点作，交的延长线于点，证明，，由，推出，，推出，即可得出答案．【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，∴，∵在等腰中，，，∴，，，∴，，在和中，，∴，∴，，，∵是的中点，∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，即．故答案为：．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等积变换等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题．15．（2024上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市虹桥初级中学校校考阶段练习）如图，在中，，若，则的长为．【答案】2【分析】延长到F，使得，连接．证明，得到，．再证明，，从而得到，，根据，即可求出．【详解】解：如图，延长到F，使得，连接．∵，∴，∵，∴，∴，．∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．故答案为：2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的外角定理，直角三角形的两锐角互余等知识，综合性强，难度较大．熟知相关知识，正确添加辅助线，构造全等三角形，进行角的代换证明是等腰三角形是解题关键．16．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）如图，已知四边形中，，对角线平分，那么为度．

【答案】59【分析】延长，过点D作，，根据条件证明可得，过点D作，证明，，运用三角形内角和即可求解．【详解】解：延长，过点D作，，如图，

∴，∵对角线平分，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴平分，过点D作，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查几何问题，涉及到角平分线的性质、全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是关键．17．（2022上·福建厦门·八年级厦门外国语学校校考期中）如图，中，，的角平分线，相交于点，过作交的延长线于点，交于点，则下列结论：①；②；③；④连接，．其中正确的是．（填序号）【答案】①②③④【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；证明，可判断结论③；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论④．【详解】解：在中，，∴，又∵、分别平分、，∴，，，∴，故结论①正确；∴，又∵，∴，∴，∴，在和中，，∴，∴，，，故结论②正确；∴，在和中，，∴，∴，，∴，故结论③正确；连接，，∵，，，∴，，∵，，∴，∴，∴，∴，故结论④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键．18．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级校考阶段练习）四边形的对角线和交于E，，，，，则的长是．【答案】2【分析】作于H，于G，在上取点F，使，连接，设，先根据三角形的内角和定理和外角性质求得，进而，，利用含30度角的直角三角形的性质求得，，再根据线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质以及等腰三角形的判定与性质得到，，，则，，进而利用可求解．【详解】解：作于H，于G，在上取点F，使，连接，则，∵，∴设，则，∴∵，∴，∴，∴，∴，，设，则，，∴，则，∵，，∴，则，∴，∴，∵，，∴，设，则，，∴，∴，故答案为：2．【点睛】本题考查等腰三角形的判定与性质、三角形的内角和定理和外角性质、含30度角的直角三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，添加合适的辅助线是解答的关键．19．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，点D是边上一点，连接并延长至点E，使得点D恰好是线段的中点，连接，若，则线段所长为．【答案】【分析】本题考查等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理．过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H．根据等腰三角形的性质可得，，又，得到，从而根据角平分线的性质得到．根据勾股定理在中求得，利用的面积可求出．通过“”证得，得到，，进而求得，根据勾股定理在中即可求出的长．【详解】过点A作于点F，过点D作于点G，过点E作于点H，∵，，∴，，∵，∴，∴∵，，∴，∵，，，∴在中，，∵，或，∴即，∴，∵，，∴，∵点D是的中点，∴，∵，∴，∴，，∴，∴在中，．故答案为：三、解答题20．（2024上·浙江金华·八年级校考阶段练习）学完勾股定理后，小宇碰到了一道题：如图，在四边形中，，垂足为，若，，，则的长为．他不会做，去问同桌小轩，小轩通过思考后，耐心地对小宇讲道：“因为，垂足为，那么在四边形中有四个直角三角形，利用勾股定理可得，，”小轩话没讲完，小宇就讲道：“我知道了，原来与之间有某种数量关系．”并对小轩表示感谢．(1)请你直接写出的长．(2)如图，分别在的边和边上向外作等腰和等腰，连接．若，，连接，交于点，当时，求的长；如图，若，，，当时，求的面积．【答案】(1)；(2)①；②．【分析】（）由与垂直，得到四个直角三角形，利用勾股定理可得，代入已知即可求解；（）根据可证明，得，进而得到，即可求出的长；连接交于点，延长，作的延长线于点，同可证，则，，求出的长，即可求出的面积；本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、三角形的面积，掌握等腰直角三角形性质和勾股定理是解题的关键．【详解】（1）解：∵四边形中，，垂足为，∴，，，都为直角三角形，∵，，，根据勾股定理得：，，，，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）如图，∵和都是等腰直角三角形，∴，，∴，∴，∴，又∵，即，∴，∴，由（）可得：，∵，，，∴，∴，，∴，∴；连接交于点，延长，作的延长线于点，如图，同可证，，，∴，∵，，∴，，∵，∴，解得，∴．21．（2023下·山西运城·八年级校联考阶段练习）综合与探究

【解决问题】（1）如图1，和都是等边三角形（），将绕着点顺时针旋转，连接、．①如图2，当点在的延长线上时，_________；②如图3，当点恰好在边上时，_________；③如图4，当点在的延长线上时，求证：．【拓展应用】（2）如图5，在等边中，是外一点，连接、、，若，，，求的面积．【答案】（1）①；②；③见解析；（2）．【分析】（1）①由“”可证，可得，即可求解；②由①可得，由是等边三角形，可得，，又因为，即可求解；③由“”可证，可得，可得结论；（2）由“”可证，可得，由勾股定理可求，由面积和差关系可求解．【详解】解：（1）①和都是等边三角形，，，，，，，，，②由①可知，，，是等边三角形，，，，，③证明：都是等边三角形，，，，，，，（2）如图，以为边作等边，连接，

，是等边三角形，，，，．．，．为直角三角形，∴根据勾股定理得，．过点作于点，过点作于点，，．在等边中，，，∴根据勾股定理可得，，，．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．22．（2023上·河南商丘·八年级校考阶段练习）在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．

(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是，若，则的长为；（用含a的式子表示）(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．①用等式表示与之间的数量关系，并证明；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)互相垂直；(2)①，证明见解析；②，证明见解析【分析】（1）根据三角形内角和定理可得与的位置关系是互相垂直，过点A作于点M，根据等腰三角形性质得到，利用证明，根据全等三角形性质即可得出；（2）当点E与点C不重合时，①过点A作于点M、于点N，利用证明，根据全等三角形性质即可得到；②在上截取，连接，利用证明，根据全等三角形性质得到，，根据角的和差得到，再利用证明，根据全等三角形性质及线段和差即可得到．【详解】（1）解：当点E与点C重合时，，∵，∴，∴，

∴，即与的位置关系是互相垂直，若，过点A作于点M，如图：

则，∵，∴，在与中，∴，∴，即的长为，故答案为：互相垂直；；（2）解：①当点E与点C不重合时，用等式表示与之间的数量关系是：，证明如下：过点A作于点M、于点N，如图：

则，∴，∵，即，∴，∵，，∴，在与中，，∴，∴，∴；②用等式表示线段，，之间的量关系是：，证明如下：在上截取，连接，如图：

∵，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，由①知：，即，∴，∴，∴，在和中，，∴，

∴，∴．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、垂直定义等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质并作出合理的辅助线是解题的关键．23．（2023上·江苏无锡·八年级校考阶段练习）如图，已知点、点．(1)求直线所对应的函数表达式；(2)在直线上有点P，点P到x轴的距离等于4，求点P的坐标；(3)在x轴上是否存在点P，使三角形为等腰三角形，若存在，直接写出P点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)或(3)存在，或或或【分析】（1）待定系数法求直线所对应的函数表达式即可；（2）由点P到x轴的距离等于4，可得点P的坐标的纵坐标满足，即，分当时，当时，两种情况计算求解即可；（3）设，由题意知，分当为底，当为腰两种情况求解：①当为底时，如图，则，即，计算求解即可；②当为腰，为顶点时，如图，则根据，计算求解即可；当为腰，为顶点时，如图，则根据，计算求解即可．【详解】（1）解：设直线所对应的函数表达式为，将点、点代入得，，解得，，∴直线所对应的函数表达式为；（2）解：∵点P到x轴的距离等于4，∴点P的坐标的纵坐标满足，解得，，当时，，解得，，即；当时，，解得，，即；综上所述，点P的坐标为或；（3）解：设，由题意知，分当为底，当为腰两种情况求解：①当为底时，如图，则，∴，解得，，∴；②当为腰，为顶点时，如图，则，由勾股定理得，，当时，，解得，，即；当时，，解得，，即；当为腰，为顶点时，如图，则，∴，即；综上所述，存在，P点坐标为或或或．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，点到坐标轴的距离，等腰三角形的性质，勾股定理，并分类讨论是解题的关键．24．（2024上·陕西西安·八年级西安市航天中学校联考阶段练习）如图，分别过线段的端点、作直线、，且、、的角平分线交于点，过点的直线分别交、于点、．

(1)在图中，当直线时，线段、、之间的数量关系是________；(2)当直线绕点旋转到与不垂直时，在如图两种情况下：图中，线段、、之间的数量关系是________；图中，线段、、之间是否有中同样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．【答案】(1)；(2)；，理由见解析．【分析】（）如图，延长交于点，由角平分线的定义及平行线的性质可得到为等腰三角形，，利用三线合一得到，进而可证明，得到，即可得到；（）如图，延长交于点，同理（）即可求解；．如图，延长交于点，同理即可求解；本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握这些性质定理是解题的关键．【详解】（1）解：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：；（2）解：．理由：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴，故答案为：；．理由：如图，延长交于点，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴为等腰三角形，，∵平分，∴∵，∴，又∵，，∴，∴，∵，∴．25．（2023上·湖北黄石·八年级统考阶段练习）如图，是等边三角形，以直线为轴建立平面直角坐标系，若且、满足，为轴上一动点，以为边作等边，交轴于．(1)如图，求点坐标；(2)如图，为正半轴上一点，在第二象限，的延长线交轴于，当点在轴正半轴上运动时，点坐标是否变化，若不变，求点的坐标，若变化，说明理由；(3)如图，在轴负半轴上，以为边向右构造等边，交轴于点，如果点在轴负半轴上运动时，仍保持为等边三角形，连，试求，，三者的数量关系，并证明你的结论．【答案】(1)(2)点的坐标不发生变化，(3)【分析】利用被开方数的非负性和平方数的非负性，求得a和b，结合等边三角形的性质即可求得；根据等边三角形的性质证明，则有，在中得到，利用，可得点M的坐标；取的中点，连接和．由知，根据直角三角形斜边中线定理可得、、、四点共圆，进一步有，结合等边三角形的性质可证，即可证得．【详解】（1）解：，，，，，，，，．（2）点的坐标不发生变化．理由：如图中，、都是等边三角形，，，，，，，在中，，，，，，．（3）结论：．理由：如图中，取的中点，连接、．由知，，，、、、四点共圆，，，、都是等边三角形，，，，，，．即．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、被开方数的非负性、平方数的非负性、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形性质和直角三角形斜边中线定理．解题的关键利用等边三角形的性质证明全等三角形，并证得共圆．26．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）在中，，点为直线上一点，，，连接交于．

(1)如图1，，为中点，若，，求的长；(2)如图2，延长至点使得，过点作延长线于点，若，，求证：；(3)如图3，，，作点关于直线的对称点，连接，，当最小时，直接写出线段的长．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3).【分析】（1）证明，从而得出，进而求得，从而得出；（2）可证明，从而，，进而证明，从而，进而证明，从而得出结论；（3）取的中点，连接并延长交于，过点作⊥于点，过点作于点，设交于点，可证得，得出，进而可得，，所以当时，最小，作，交的延长线于，连接，利用勾股定理和面积法可得出，，利用含角的直角三角形性质即可求得答案．【详解】（1）解：，，，，在和中，，，，，在中，，又，，；（2）如图1，

延长至点，使得，连接，，，在和中，，，，，，，又，，在和中，，，，，，，；（3）如图3，取的中点，连接并延长交于，过点作于点，过点作于点，设交于点，

可得：，，，，，，，，，，当时，最小，作，交的延长线于，连接，在中，，在中，，，，，，，，，点是的中点，是的中位线，即是的中点，，，，，设，则，在中，，，解得：负值舍去，，，，，，，，中，，，、关于直线对称，．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．27．（2023上·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题背景如图1，在等腰和等腰中，，，，求证：．尝试应用如图2，在等腰中，，，点E是边上一点，点F是上一点，若，，面积为14，求的长．拓展创新M是平面内一点，，，若，，，请你直接写出的长______．【答案】问题情景：证明见解析；尝试应用：；拓展创新：【分析】问题背景：利用边角边公理证明即可得出结论；尝试应用：过点作交延长线于点，连接，通过证明，得到，利用三角形是面积公式，列出关于的方程，解方程即可得出结论；拓展创新：分两种情况：①当点M在直线左侧时，②当点M在直线右侧时，分别求解即可.【详解】问题背景：证明：，．在和中，，．．尝试应用：解：过点作交延长线于点，连接，如图，，，．，．在和中，，．，．，．于点，面积为14，．．解得：，（不合题意，舍去）．．拓展创新：解：分两种情况：①当点M在直线左侧时，作，且使，连接，，如图，则为等腰直角三角形．．，．即：．在和中，，．．，．，．，．．②当点M在直线右侧时，作，且使，连接交直线于N，连接，如图，

同理，，，∴，∴，，∵∴∴∴∴B、M、H在同一直线上，即点M、N重合，∴，综上，的长为或1.【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，依据题目特点构造全等三角形是解题的关键．28．（2024上·河南南阳·八年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动.设点的运动时间为秒.(1)求斜边上的高线长；(2)当在上时，的长为__________，的取值范围是__________.（用含的代数式表示）；若点在的角平分线上，则的值为__________；(3)在整个运动过程中，当是等腰三角形时的值为__________.【答案】(1)斜边上的高线长为；(2)，；；(3)是等腰三角形时的值为或或．【分析】（）过点作于点，利用面积法求解；（）根据点的运动路径及速度可解；过点作于，利用角平分线的性质可知，再证，推出，最后利用勾股定理解即可；（）分和两种情况，利用等腰三角形的性质、勾股定理分别求解即可；本题主要考查了勾股定理在动点问题中的应用，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．【详解】（1）在中，，，，∴，如图所示，过点作于点，，即，∴斜边上的高线长为；（2）∵点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿折线运动，，∴，∴，即，∴，故答案为：，；点在的角平分线上时，过点作于，如图所示，∵平分，，，∴.又∵，∴，∴，则，由（）知，∴，∴，在中，，即，解得，∴点在的角平分线上时，故答案为：；（3）是以为一腰的等腰三角形时，有两种情况：当时，如图所示，则，∴；当时，过点作于点，如图所示，由（）知，，∵，，∴，∴，∴，是以为底的等腰三角形时，的值为，综上，是等腰三角形时的值为或或．29．（2024上·河南南阳·八年级南阳市第三中学校联考阶段练习）小明在对本学期所学内容进行回顾与整理时，发现等腰三角形可以与许多知识产生奇妙的联系：(1)勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“等面积法”给了小明以灵感，当“等面积法”与等腰三角形相联系时，小明发现：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．请你结合图1进行证明．已知：如图中，，P是底边上的任一点（不与B、C重合），于，于，于．求证：；(2)当勾股定理与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图2，现测得，，，，则阴影部分的面积为______平方米；(3)当最值与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图3，在中，，，E，P分别是上任意一点，若，，则的最小值是______；(4)当分类讨论与等腰三角形相联系时，请帮小明完成如下问题：如图4，在长方形中，，延长到点，使，连接．若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度仅沿着向终点运动，连接，设点运动的时间为秒，请直接写出______时，使为等腰三角形．【答案】(1)证明详见解析；(2)144；(3)；(4)秒或4秒或秒．【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等面积求线段关系、勾股定理与逆定理等知识点，解题的关键是：（1）利用等面积法证明即可；（2）先根据勾股定理逆定理证明是直角三角形，过点作于点，根据勾股定理、三线合一的性质求出，然后根据求解即可；（3）过点作，垂足为点，交于点，证明是的垂直平分线，则，此时的值最小，最小值为线段的长，然后根据等面积法求解即可；（4）分或或三种情况讨论即可．【详解】（1）证明：如图，连接，于D，于，于F，，，，又，，，．（2）解：在中，，，，，，，是直角三角形，；过点作于点，，，，在中，，，，，．故四边形展区（阴影部分）的面积是．（3）解：过点作，垂足为点，交于点，，，，是的垂直平分线，，，此时的值最小，最小值为线段的长，在中，，的面积，，，故答案为：．（4）解：根据题意，得若为等腰三角形则或或，当时，，，，，．当时，，，，当时，，，在中，．，．，，．综上所述：当秒或4秒或秒时，为等腰三角形．30．（2024上·江苏南京·八年级南京钟英中学校考阶段练习）学习了三角形全等的判定方法（即“”“”“”“”和直角三角形全等的判定方法（即“”后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．【初步思考】我们不妨将问题用符号语言表示：在和中，，，，然后对是直角、钝角、锐角三种情况探究．【深入探究】(1)如图1，在和中，，，，根据，可以知道．(2)如图2，在和中，，，，，且，都是钝角．求证：．(3)在和中，，，，且，都是锐角．请你用尺规在图3中作出，使和不全等．（不写作法，保留作图痕迹）(4)对于（3），还要满足什么条件，就可以使？请直接填写结论：在和中，，，，且，都是锐角，若，则．【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)见解析；(4)或．【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、尺规作图等知识点，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．（1）直接利用定理得出；（2）首先得出，则，进而得出，再求出；（3）利用已知图形再做一个钝角三角形即可得出答案；（4）利用（3）中方法可得出当时，则．【详解】（1）解：如图①，，在和中，，．故答案为：．（2）证明：如图②，过点作交的延长线于，过点作交的延长线于，，且、都是钝角，，即，在和中，，∴，，在和中，，∴，，在和中，，．（3）解：如图③中，在和，，，，和不全等；（4）解：由图③可知，，，当时，就唯一确定了，则．当，时，即，在和中，，．故答案为：或．31．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）八年级的同学在一次探究试验活动中发现，解决几何问题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线（延长的线段等于中线长）或延长过中点的线段，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中，进而使得问题得以解决．(1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围；(2)如图2，在中，点D是的中点，点M在边上，点N在边上，若．求证：；(3)如图3，和均为等腰直角三角形，且，连接，，点D为边的中点，连接．请直接写出与的数量关系和位置关系．【答案】(1)(2)见解析(3)，【分析】（1）延长至，使，连接，由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论；（3）延长至，使，连接，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出，即可．【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1，是边上的中线，，在和中，，，，在中，由三角形的三边关系得：，，即，；（2）证明：延长至点，使，连接、，如图2：同（1）得：，，，，，在中，由三角形的三边关系得：，；（3）解：，，理由如下：延长至，使，连接，如图3，同（1）得：，，，，，即，，，和是等腰直角三角形，，，，在和中，，，，，．延长交于，，，，，，即，．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线—倍长中线，构造三角形全等是解决问题的关键．32．（2023上·四川成都·九年级四川省成都市玉林中学校考阶段练习）如图1，长方形，，点E是线段BC上一动点（不与B，C重合），点F是线段延长线上一动点，连接交于点G．设，，已知y与x之间的函数解析式如图2所示．

(1)求y与x之间的函数关系式．(2)有学生认为：“的度数不会随着点E的运动而发生变化”．你同意吗？请说明理由．(3)是否存在x的值，使得？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)同意，理由见详解(3)存在，【分析】（1）设与的函数表达式为，根据图像经过，得到关于、二元一次方程组，求解即可，再求出当时的的值即可得出自变量的取值范围；（2）根据勾股定理定理表示出、、再根据勾股定理的逆定理即可得出的度数；（3）设存在的值，使得，根据等边对等角及平行线的性质可得，证明，继而得到，在中利用勾股定理得到关于的方程，求解即可．【详解】（1）解：设与的函数表达式为，图象经过解得∶，与的函数表达式为，当时，得∶，解得∶，与之间的函数关系式；（2）同意，理由如下∶四边形是长方形，，在中，在中．在中，的度数不会随着点的运动而发生变化，（3）设存在的值，使得，由（1）知∶，在和中，在中，，解得∶，存在，使得．【点睛】本题属于四边形综合题，考查矩形的性质，待定系数法确定一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，勾股定理及勾股定理的逆定理，等边对等角，全等三角形的判定和性质等知识，正确分析几何图形的特点、掌握勾股定理定理及勾股定理的逆定理是解题的关键．33．（2021上·江苏南通·八年级统考期中）【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线的一点，连接，，若，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在中，D为上一点，点D，E关于直线对称，连接并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在（1）的条件下，若，，点Q是射线上一点，且点D，Q关于直线的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出的度数；(3)【拓展提升】如图3，在中，，的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接，，当时，的值为．【答案】(1)点B是点D，F关于直线AB的“等角点”；(2)(3)【分析】（1）D、E关于对称，得出，角的等量替换可得即可证明．（2），求出，根据等角点求出，再求出；（3）连接，直线l垂直平分，求出，点P为点O，B关于直线“等角点”，证得O、P、C共线，作于D，平分，平分，即可证得．【详解】（1）点B是点D，F关于直线的“等角点”，理由如下：∵D、E关于对称，∴，，∴，∵，∴，∴点B是点D，F关于直线的“等角点”；（2）如图2，∵，，∴．∵点D，Q关于直线，的“等角点”分别为点B和点C，∴，∴，∴；（3）如图3，连接，∵直线l垂直平分，∴，∴，∵点P为点O，B关于直线“等角点”