3.1.2函数的表示方法-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第一册讲义

新教材必修第一册3.1.2：函数的表示方法课标解读：函数的表示方法（解析法、列表法、图像法）的概念及应用.（掌握）分段函数的概念及应用.（理解）学习指导：1.函数的三种表示体现了“式”“表”“图”互相结合，体现了数形结合的思想.学习过程中注意把“式”“表”“图”相互转化，特别注意加强“式”与“图”的互相转化，从侧面认识函数的本质.2.学习分段函数，要结合实例体会概念，还要注意书写的规范.知识导图：教材全解知识点1：函数的表示方法辨析比较：例1-1：下列表格中，与能构成函数的是（）答案：C例1-2：已知完成某项任务的时间t与参加次项任务的人数之间适合关系式，当时，；当时，，且参加次项任务的人数不能超过20人.写出函数的函数解析式；用列表法表示此函数；画出函数t的图像.答案：（1），；（2）略（3）略知识点2：分段函数1.分段函数的概念有些函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数称为分段函数。2.分段函数的图象分段函数有几段，它的图像就由几条曲线组成.在同一直角坐标系中，根据每段定义区间和表达式依次画图像，要注意每段图像的端点是空心点还是实心点，将每段图像组合到一起就得到整个分段函数的图象.例2-3：若，则（）2B.3C.4D.5答案：C例2-4：画出下列函数图像：（[]表示不大于的最大整数）.答案：略重难拓展知识点3：函数的图象变换1.函数图像的平移变换函数的图像与函数及函数的图像有怎样的关系呢？我们先来看一个例子.作出函数的图像，观察它们之间有怎样的关系.在同一平面直角坐标系中，它们的图像如图所示：观察图像可知，函数的图像可以由函数的图像向左平移一个单位长度得到；函数的图像可以由函数的图像向下平移一个单位长度得到.由此得到如下规律：函数的图像是由函数的图像沿轴向左或向右平移个单位长度得到，即“左加右减”；函数的图像是由函数的图像沿轴向上或向下平移个单位长度得到，即“上加下减”；2.函数图像的对称变换函数的图像与函数，函数及函数的图象又有怎样的关系呢？我们来看一个例子.作出函数，，，的图像，观察它们之间有怎样的关系.在同一平面直角坐标系中作出①，②，③，④的图像的一部分，如图所示.观察图像可知：函数的图像可由函数的图像作轴的对称变换得到；函数的图像可由函数的图像作轴的对称变换得到；函数的图像可由函数的图像作关于原点的对称变换得到。由此可得如下规律.函数图像的对称变换包括以下内容：函数的图像可由函数的图像作关于轴的对称变换得到；函数的图像可由函数的图像作关于轴的对称变换得到；（3）函数的图像可由函数的图像作关于原点的对称变换得到；3.函数的图像的翻折变换函数图像的翻折的变换是指函数与的图像间的关系.作出函数及的图像，观察它们与函数图像之间有怎样的关系.事实上，，.在不同的平面直角坐标系中，分别作出及的图像，如图所示：通过观察两个图像可知，的图像可由经过下列变换得到：保持的图像在轴上及其上方的部分不变，将轴下方的部分沿轴翻折上去，即可得到的图形.的图像可由下列变换得到：保持的图像在轴上及右侧的图像不变，轴左侧的图像换成将轴右侧的图像沿轴翻折而成的图形，则这两部分就构成了的图像.由此可得如下规律：（1）要作的图像，可先作的图像，然后将轴及其上方的部分保持不变，轴下方的部分沿轴对称地翻折上去即可.（2）要作的图像，可先作的图像，然后保持轴上及其右侧图像不变，轴左侧的图像换成轴右侧的图像沿轴翻折的图像即可.例3-5:将函数的图像向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得的图像对应的函数解析式为（）A.B.C.D.答案：C例3-6：已知函数的图像如图所示，则的图像为（）答案：A例3-7：画出下列函数的大致图象：（1）；（2）.答案：题型与方法题型1：求函数的解析式1.已知函数的类型，求函数的解析式例8：（1）已知一次函数满足，则的解析式为.（2）已知二次函数满足，则该二次函数的解析式为.答案：（1）（2）2.已知的解析式，求的解析式例9：（1）已知，则的解析式为.（2）已知函数，则的解析式为.答案：（1）（2）3.已知中含有形式的函数，求的解析式例10：（1）已知函数满足，则函数的解析式为.（2）已知函数，其中，则函数的解析式为.答案：（1）（2）4.求抽象函数的解析式例11：设是R上的函数，且满足，并且对任意的实数都有，则的解析式为.答案：5.已知函数图像求解析式例12：根据函数的图像，写出函数的解析式.答案：6.列表表征与函数解析式例13：我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地均采用了价格调控等手段来达到节约水资源的目的.某市用水收费的标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费.若每月用水量不超过最低限量，则只付基本费8元和每月定额损耗费c元；若每月用水量超过最低限量，则除了付同上的基本费和定额损耗费外，超过部分每1付元的超额费.已知每户每月的定额损耗费不超过5元.该市一家庭今年第一季度的用水量和支付费用见下表，根据表中的数据求月份用水量/水费/元1992151932233答案：题型2：分段函数1.分段函数求值例14：已知函数.（1）求的值；（2）若，求.答案：（1）（2）.例15：已知，则等于（）.-2B.4C.2D.-4答案：B2.分段函数与不等式例16：分段函数与不等式，若，则的取值范围是.答案：变式训练1：设函数，若则.答案：-9或3变式训练2：已知，则不等式的解集为（）A.[0,1]B.[0,2]C.D.答案：C3.分段函数的实际应用例17：如图，已知底角为45°的等腰梯形ABCD，底边BC长为7cm，腰长为cm，当一条垂直于底边BC（垂足为点F，F不予B重合）的直线从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线从左至右移动（与梯形ABCD有公共点）时，直线把梯形分成两部分，令BF=，试写出直线左边部分图形的面积与关于的函数.答案：题型3：函数图像的相关问题1.函数图像的判断例1：设，下列图形中能表示从集合M到集合N的函数关系的是（）答案:B2.图像的识别例19：函数的大致图形是（）答案：C3.画函数的图像例20：作出下列函数的图像：；.答案：（1）（2）4.利用函数图像求值域例21：设，则函数的值域为.答案：5.数形结合思想的应用例22：若方程有四个互补相等的实数根，则的取值范围是.答案：（-1,3）变式训练3：若函数，则函数的最大值为（）.2B.1C.-1D.无最大值答案：B图像信息题例23：向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图所示，那么水瓶的形状是（）.答案：B变式训练4：小明骑车上学，开始时匀速行驶，图中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间开始加快速度行驶.与以上事件吻合的最好的图像是（）.答案：C易错提醒易错1：求解析式时忽略函数的定义域例24：已知，则函数的解析式为.答案：易错2：画函数图像时忽略等价变形例25：画出函数的图像，并根据图像指出函数的值域.答案：值域为，图像略感知高考考向1：函数解析式的正向及逆向运用例27：设，若，则=（）2B.4C.6D.8答案：C例28：设函数.已知，且，则实数,.答案：-21考向2：识图问题及函数图像的工具性应用例39：函数如图所示，则下列结论成立的是（）A.B.C.D.答案：C例30:已知函数设的取值范围是（）A.[-2,2]B.[,2]C.[,2]D.[,]答案：A基础巩固：1.下列各图中，可以表示函数的图像的是（）2.已知函数的对应关系如下表，函数的图像是如图所示的曲线ABC，其中A（1,3），B（2,1），C（3,2），则（）x123f（x）2303B.2C.1D.03.设函数，则=（）A.B.3C.D.4.已知函数的图像恒过点（1,1），则函数的图像恒过点（）A.（4,1）B.（-3,1）C.（1,-3）D.（1,4）5.已知函数，则函数的图像是（）6.如图，函数的图像是曲线OAB，则的值等于.（1）一次函数，求；（2）已知，若，求能力提升8.已知函数，若，则实数的值等于（）A.-3B.-1C.1D.39.已知函数，若，则函数的解析式为（）A.B.C.D.10.设集合，函数，若，且，则的取值范围是（）A.B.C.D.11.已知定义在区间[0,2]上的函数的图像如图所示，则函数的图像为（）.12.设，定义符号函数则（）A.B.C.D.13.定义两种运算：，则函数的解析式为（