5.3 三角函数的性质（精练）（教师版）

5.3三角函数的性质（精练）1．（2023春·北京大兴·高三校考开学考试）将函数的图象沿x轴向右平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得，因为其为偶函数，所以，解得，结合选项,取，可得.故选：A.2．（2023·湖南·校联考模拟预测）函数的最小正周期和最小值分别是（

）A．和 B．和 C．和 D．和【答案】C【解析】，则的最小正周期，当，即时，取到最小值为.故选：C.3．（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值和最小正周期分别是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【解析】函数，故函数的最小正周期等于，当，即，时，函数有最小值等于．故选：D.4．（2023·吉林）下列四个函数中，以为最小正周期的偶函数是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】对于A：函数的图象如下图所示：由图可知，的周期为，且图象关于轴对称，则为偶函数，故A正确；对于BC：函数，的最小正周期都为，故BC错误；对于D：函数的图象如下图所示：由图可知，函数不具有周期性，故D错误；故选：A5．（2023·广西河池·校联考模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．【答案】A【解析】由题意的图象关于直线对称，所以，即，因为，故当时，，故选：A.6．（2023·湖南·校联考二模）函数的图象的一条对称轴方程是，则的最小正值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因为图象的一条对称轴方程是，，解得，故当时，取得最小正值．故选：D7．（2023·天津·统考高考真题）已知函数的一条对称轴为直线，一个周期为4，则的解析式可能为（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中，B选项中，C选项中，D选项中，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值，故是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值，故是函数的一条对称轴，故选：B.8．（2023·宁夏石嘴山·平罗中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的一条对称轴为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象的解析式为，再把所得图象各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.令，则，当时，.故选：C9．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）将函数的图像向右平移个单位长度，可得函数的图像，则的一个对称中心为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，因为的图像向右平移个单位长度得函数的图像，所以，因为的对称中心为，所以当时，，即函数的对称中心为，当时，对称中心为.故选：A.10．（2023·宁夏石嘴山·石嘴山市第三中学校考模拟预测）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（

）A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减【答案】D【解析】函数，即，将其图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数是，当时，，因为余弦函数在上不单调，因此函数在上不单调，AB错误；当时，，因为余弦函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，C错误，D正确.故选：D11．（2023·北京大兴·校考三模）已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以将向右平移个单位得到.故选：D12．（2023·河南鹤壁·鹤壁高中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的为（

）A．的最小正周期为B．的最大值为C．的图像关于直线对称D．将的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数【答案】D【解析】，故的最小正周期为，最大值为，对称轴方程满足，，即，，故ABC皆错误；对于选项D，将的图像向右平移个单位长度后得到，然后，将此图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，是一个奇函数，故D正确，故选：D.13．（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，关于函数的下列说法中错误的是（

）A．周期是 B．非奇非偶函数C．图象关于点中心对称 D．在内单调递增【答案】D【解析】，则，则，故A正确；因为，则，故函数是非奇非偶函数，故B正确；对于C，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故C正确；对于D，因为，所以，则函数在上不单调，故D错误.故选：D.14．（2023·全国·统考高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为在区间单调递增，所以，且，则，，当时，取得最小值，则，，则，，不妨取，则，则，故选：D.15．（2023·宁夏吴忠·高三统考阶段练习）已知函数的定义域为，值域为，则m的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为值域为，所以.又，所以，根据正弦函数的图象可知，解得，所以m的最大值是.故选：C.16．（2023·西藏拉萨·统考一模）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期是B．函数的最大值为C．函数的图象关于直线对称D．函数在上单调递增【答案】D【解析】因为，所以函数的最小正周期，故错误；因为，所以函数的最大值，故错误；因为，不等于的最大值或最小值，所以函数的图象不关于直线对称，故错误；因为，所以，所以函数在上单调递增，故正确.故选:.17．（2023·全国·高三专题练习）函数在内恰有两个最小值点，则ω的范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为函数在内恰有两个最小值点，，所以最小正周期满足所以，所以有：，故选：B18．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（

）A．（） B．（）C．（） D．（）【答案】D【解析】因为恒成立，所以，即，所以或，所以或，当时，，则，与题意矛盾，当时，，符合题意，所以，所以，令，得，所以的单调递增区间为（）.故选：D.19．（2023·四川·校联考模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（

）A．的图象关于直线对称 B．是奇函数C．在上单调递减 D．的图象关于点对称【答案】D【解析】因为函数的图象关于直线对称，所以，所以，又，所以，所以，所以，所以的图象不关于直线对称，故A错误；将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，所以，所以不是奇函数，故B错误；令，得，当时，得函数在上单调递增，所以函数在上不单调递增，故C错误；令，得，当时，可得函数的图象关于点对称，故D正确.故选：D.20．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知函数的部分图象如图，则（

）

A．B．C．点为曲线的一个对称中心D．将曲线向右平移个单位长度得到曲线【答案】D【解析】由图象知：，解得，将点的坐标代入得，由图象可知，点在的下降部分上，且，所以，所以A不正确；将点的坐标代入，得，即，所以，所以，所以B不正确；令，解得，取，则,所以对称中心为，所以C不正确；将曲线向右平移个单位长度得到曲线，所以D正确；故选：D.21．（2023·河南·校联考模拟预测）已知函数的图象在内有且仅有一条对称轴，则的最小值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】B【解析】由，又，则，因为函数的图象在内有且仅有一条对称轴，所以，解得，则，所以，故则的最小值为．故选：B．22．（2023·湖南长沙·长郡中学校考二模）函数恒有，且在上单调递增，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】B【解析】因为恒有，所以当时取得最大值，所以，得.因为在上单调递增，所以,即，得.因为，所以.因为在上单调递增，所以,得.所以，且，，解得，.故.故选：B.23．（2023·广东梅州·统考二模）已知函数，且，当ω取最小的可能值时，（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可知，当取最小值时，最小正周期最大，，所以，而在时取得最大值，故，则，又，所以．故选：D.24．（2023·江西赣州·统考二模）若函数在上单调，且满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】函数在上单调，则，可得，因为，且，所以的对称轴为，又因为，且在上单调，所以的对称中心为，即，注意到对称轴为与对称中心相邻，可得，则，且，解得，因为的对称轴为，则，解得，且，取，则.故选：D.25．（2023春·北京·高三校考开学考试）已知函数在区间上的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】】因为的最小正周期为，由的图像与性质可知，的单调递增区间为,单调递减区间为，当时，即，此时最大值为，故，恒为定值1，当时，即，在单调递增，此时最大值为，又，所以此时的最小值为，当且仅当时取到，当时，且，得到，又，所以，此时最大值为，又，所以此时的最小值为，当且仅当时取到，当时，即，在单调递减，此时最大值为，当时，且，得到，又，所以，此时最大值为，所以当时，又因为在区间上单调递减，故当时，取到最小值，且最小值为，综上可知，的最小值为，当时取到，故选：D.26．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）函数的值域为__________．【答案】【解析】因为，又，所以，则，即函数的值域为.故答案为：.27．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知函数具有下列三个性质：①图象关于对称；②在区间上单调递减；③最小正周期为，则满足条件的一个函数______.【答案】（答案不唯一）.【解析】由③可得，由①可得，再由②可知时，，则，，故为奇数时符合条件，不妨令，则，A=1，此时.故答案为：.28．（2023·上海嘉定·校考三模）若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】原方程等价于即函数，在上有交点，∵，∴，，故，则.故答案为：29．（2023·江苏无锡·江苏省天一中学校考模拟预测）设函数在上的值域为，则的取值范围是______.【答案】【解析】函数的周期，而，当函数在上单调时，，当函数在上不单调时，由正弦函数的图象性质知，当在上的图象关于直线对称时，最小，此时，即，因此，所以的取值范围是.故答案为：30．（2023·全国·模拟预测）已知函数在区间上是单调的，则的取值范围是_________．【答案】【解析】因为，所以，又因为函数在区间上是单调的，所以，所以，解得，由函数在区间上是单调的，可知，即，又，所以或．所以的取值范围是．故答案为：.一、单选题1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数满足，若，且，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以，所以函数关于对称，所以，则，又，所以，所以，由，得，由，得，所以，所以，，，因为，所以.故选：D.2．（2023·河南南阳·南阳中学校考模拟预测）已知函数（，，）的部分图象如图所示，关于该函数有下列四个说法：①的图象关于点对称；②的图象关于直线对称；③的图象可由的图象向左平移个单位长度得到；⑧若方程在上有且只有两个极值点，则的最大值为．以上四个说法中，正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】依题意可得，，，再根据五点法作图可得，解得，．因为，所以的图象关于点对称，故①正确；因为，所以的图象关于直线对称，故②正确；将的图象向左平移个单位长度得到，故③错误；因为，当时且，，因为函数在上有且只有两个极值点，所以，解得，即的最大值为，故④正确；故选：C3．（2023·陕西·西北工业大学附属中学校联考模拟预测）已知函数，则下列说法错误的是（

）A．函数的最小正周期为B．函数在上单调递减C．若，则的值可以是D．函数有4个零点【答案】D【解析】依题意，，作出函数的大致图象如图所示，观察可知，A、B正确；若，可以取，，故C正确；当，当，结合图象可知与有5个交点，故函数有5个零点，故D错误.故选：D4．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的个数是（

）

①函数的最小正周期为2；②点为的一个对称中心；③函数的图象向左平移个单位后得到的图象；④若已知函数在区间有且仅有3个最大值点，则函数在区间上是增函数.A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】由图象可得且，故，故，所以，而，故即，因为，所以即.对于①，，因为，故的周期为1，故的最小正周期不为2，故①错误.对于②，因为，故点为的一个对称中心，故②正确.对于③，函数的图象向左平移个单位后所得图象对应的解析式为：，故③正确.对于④，由可得，故，因为函数在区间有且仅有3个最大值点，故，故，而当时，有，因为在上是增函数，故函数在区间上是增函数，故④正确.故正确说法有②③④，故选：C.5．（2023·北京·101中学校考三模）函数，则（

）A．若，则为奇函数 B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数 D．若，则为奇函数【答案】B【解析】的定义域为，对A：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；对B：若，，，故为偶函数，B正确；对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；对D：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；故选：B6．（2023·全国·统考高考真题）已知为函数向左平移个单位所得函数，则与的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】因为向左平移个单位所得函数为，所以，而显然过与两点，作出与的部分大致图像如下，

考虑，即处与的大小关系，当时，，；当时，，；当时，，；所以由图可知，与的交点个数为.故选：C.7．（2023·全国·高三对口高考）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数图象在区间上单调递减，则m的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】将函数的图象向左平移（）个单位长度，可得到，其减区间满足:，即，所以函数的减区间为又在区间上单调递减，则则且,即且，所以的最小值为：.故选：C.8．（2023·河南郑州·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测）已知函数将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则（

）A．为的一个周期B．的值域为[-1，1]C．的图像关于直线对称D．曲线在点处的切线斜率为【答案】B【解析】对于A，，故不为的一个周期，故A不正确；对于B，令，且，所以原函数变为，当时，，当时，，又，所以，或，所以或，所以的值域为[－1，1]，故B正确；对于C，将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，则，又，故为奇函数，不是偶函数，所以的图像关于直线不对称，故C不正确；对于D，所以故D不正确；故选：B.9．（2023·天津和平·耀华中学校考二模）已知函数的部分图像如图，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的倍，再将所得函数图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则下列关于函数的说法正确的个数为（

）①点是图像的一个对称中心②是图像的一条对称轴③在区间上单调递增④若，则的最小值为

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由图像可知函数的最大值为2，最小正周期满足，即，所以，，，又点在函数的图像上，所以，所以，即，又，所以，，将函数的图像所有点的横坐标伸长到原来的，可得的图像，再将所得函数图像向左平移个单位长度，可得的图像，所以，因为，所以点不是图像的一个对称中心，是图像的一条对称轴，故①错误，②正确；当时，，所以在区间上不单调，故③错误；若，则、分别为函数的最大值、最小值；由函数的最小正周期为可得的最小值为，故④正确.故选：B.10．（2023·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）（多选）设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（

）

A．B．C．与y轴交点坐标为D．与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为【答案】ABD【解析】

由得，如图，因当，，故可判断图①为的图象，图②为的图象，由图可知：当时，，当时，，故，因，故由得，故，，故A正确.又，，所以，，又因，故，故B正确.综上可得，，，故与y轴交点坐标为，C错误.令，即得，故，，得，，故当或时的值最小为，故D正确.故选：ABD11．（2023·广东汕头·金山中学校考三模）（多选）已知函数，且所有的正零点构成一个公差为的等差数列，把函数的图象沿轴向左平移个单位，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的图象，则下列关于函数的结论正确的是（

）A．函数是偶函数B．的图象关于点对称C．在上是增函数D．当时，函数的值域是【答案】BD【解析】因为.由可得，.由已知可得，，所以，.将函数的图象沿轴向左平移个单位，可得的图象，横坐标伸长到原来的2倍得到函数的的图象，所以.对于A项，因为，所以函数不是偶函数，故A项错误；对于B项，因为，所以的图象关于点对称，故B项正确；对于C项，因为，所以.因为函数在上单调递增，在上单调递减，故C项错误；对于D项，因为，所以.因为函数在上单调递增，所以，所以，，故D项正确.故选：BD.12．（2023·江苏镇江·江苏省镇江第一中学校考模拟预测）（多选）已知函数（，）的最小正周期，将函数的图像向右平移个单位长度，所得图像关于原点对称，则（

）A．函数的图像关于直线对称 B．函数在上单调递减C．方程在上有3个解 D．函数在上有两个极值点【答案】ABD【解析】由题意得，则，又，故，所以，则的图像向右平移个单位长度后对应的解析式为，因其过原点，则，结合，可得，所以，A选项，，则的图像关于直线对称，故A正确；B选项，当时，，因为，在上单调递减，所以在上单调递减，故B正确；C选项，当时，，由，可得，所以方程在上有2个解，故C错误；D选项，当时，，因为，，所以函数在上有两个极值点，故D正确；故选：ABD.13．（2023·安徽亳州·蒙城第一中学校考三模）（多选）已知函数的一条对称轴为，则（

）A．的最小正周期为 B．C．在上单调递增 D．【答案】ABD【解析】，因为函数的一条对称轴为，所以，解得：，又因为，所以，则，对于A，函数的最小正周期，故A正确；对于B，，故B正确；对于C，因为，则，又函数在上单调递增，所以在上单调递减，故C错误；对于D，因为，令，当时，，则，所以在上单调递增，则，即，当时，，则，所以在上单调递减，则，即，综上可知：，故D正确，故选：ABD.14．（2023·广东佛山·校考模拟预测）（多选）已知函数是的两个极值点，且，下列说法正确的是（

）A．B．在上的单调递增区间为C．在上存在两个不相等的根D．若在上恒成立，则实数的取值范围是【答案】ACD【解析】，由是的两个极值点，且得的最小正周期，所以，解得，故选项A正确；对于选项B：因为，所以，当时，，而在单调递增，在上为减函数，在上增函数，令，故；，故；故在上的增区间为，，故B错误.对于选项C：当时，，令，故，而在上为减函数，在上为增函数，故在上单调递减，在上单调递增，且，故在上存在两个不相等的根，故选项C正确；对于选项D：因为，所以，故，所以，因为在上恒成立，即在上恒成立，所以，解得：，故选项D正确.故选：ACD.15．（2023·湖南邵阳·邵阳市第二中学校考模拟预测）（多选）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（

）

A．B．在区间上单调递减C．将的图象向左平移个单位所得函数为奇函数D．方程在区间内有4个根【答案】BCD【解析】由图可得：，又，所以，因为，所以，故，又，所以故，所以A错误；因为，所以，所以在区间上单调递减，故B正确；的图象向左平移个单位所得函数为，该函数为奇函数，故C正确；因为，所以，由得：或或或，解得或或或，故有4个根，所以D正确.故选：BCD.16．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列判断正确的是（

）A．若，则的最小值为B．若将的图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为C．若在单调递减，则D．若在上只有1个零点，则【答案】ABC【解析】对于A，由可得关于对称，所以，可得：，因为，所以的最小值为，故A正确；对于B，将的图象向右平移个单位得到，因为为奇函数，所以，则，所以的最小值为，故B正确；对于C，函数的单调减区间为：，则，令，，则，故C正确；对于D，若在上只有1个零点，则，取，令，则，则，时，无零点，故D不正确.故选：ABC.17．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）（多选）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，角的终边与圆心在坐标原点，半径为2的圆交于点，射线绕点O按逆时针方向旋转弧度后交该圆于点B，记点B的纵坐标y关于的函数为．则下列说法正确的是（

）．A．B．函数的图象关于直线对称C．函数的单调递增区间为D．若，，则【答案】BD【解析】由题意可知，而，故，故，则，A错误；当时，，即此时取最小值，故函数的图象关于直线对称，B正确；令，解得，即函数的单调递增区间为，由于的最小正周期为，故和不同，C错误；若，，即，因为，故，则，D正确，故选：BD18．（2023·安徽合肥·合肥市第六中学校考模拟预测）（多选）用“五点法”画函数（，，）在一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表，则下列说法正确的是（

）x00200A．B．不等式的解集为C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递增【答案】AC【解析】由表可知，且，解得，所以，故A正确；令，即，即，，解得，，所以不等式的解集为，，故B错误；又，所以函数的图象关于直线对称，故C正确；由可得，因为在上不单调，所以在区间上不单调，故D错误.故选：AC19．（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（

）A．的值域为B．当且仅当时，函数取得最大值C．的最小正周期是D．在上恰有3个零点【答案】BD【解析】因为，作出函数的图象，如图所示：

所以的值域为，故选项A错误函数的最小正周期是，故选项C错误；当且仅当时，函数取得最大值，故选项B正确；选项D正确．故选：BD．20．（2023·山东潍坊·三模）（多选）将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若是的一个单调递增区间，则（

）A．的最小正周期为 B．在上单调递增C．函数的最大值为 D．方程在上有5个实数根【答案】ACD【解析】函数的图象向右平移个单位长度后得到，所以的最小正周期为，则是的半个最小正周期，又是的一个单调递增区间，所以，即，，解得，，因为，所以，故，的最小正周期，故A正确；令，，解得，，即的递增区间为，，所以在上单调递增，故B错误；，所以，所以函数的最大值为，故C正确；当时，令，则、、、、，即方程在上有5个实数根，故D正确.故选：ACD.21．（2023·江苏南京·南京师大附中校考模拟预测（多选）已知函数在上单调，且的图象关于点对称，则（

）A．的最小正周期为B．C．将的图象向右平移个单位长度后对应的函数为偶函数D．函数在上有且仅有一个零点【答案】ACD【解析】因为函数在上单调，所以的最小正周期满足，即，所以.因为的图象关于点对称，所以，，得，，由，得，因为，所以，.所以.对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，，，所以，故B不正确；对于C，将的图象向右平移个单