2024-2025学年北师大版九年级数学上册专项复习：平行四边形中的动点问题（压轴题）解析版

平行如边形中的动点问题

♦思维方法

正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从

可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。

逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发

进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采

用间接证明。

分类讨论思想：当问题所给的对象不能进行统一研究时，我们就需要对研究对象进行分类，然后对每

一类分别进行研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结果，得到整个问题的解答。分类讨论的分类并

非是随心所欲的，而是要遵循以下基本原则：

1.不重（互斥性）不漏（完备性）；

2.按同一标准划分（同一性）；

3.逐级分类（逐级性）。

♦典例分析

【典例1］在矩形4BCD中，AB=8,BC^16,E、尸是直线AC上的两个动点，分别从/、C两点同时出

发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为1秒，其中（0<t<10）.

图1图2

(1)如图1,M、N分别是48、CD中点，当四边形EMFN是矩形时，求f的值.

(2)若G、，分别从点4、C沿折线8—C,C—£>—4运动，与£、尸相同的速度同时出发.

①如图2,若四边形EGFH为菱形，求才的值;

②如图3,作47的垂直平分线交4。、BC于点P、Q,当四边形PGQH的面积是矩形2BCD面积的贝”的

值是

③如图4,在异于G、〃所在矩形边上取尸、Q,使得PD=BQ,顺次连接尸、G、。、H,请直接写出四边

形PGQH周长的最小值是.

【思路点拨】

(1)根据条件证明四边形EMFN是平行四边形，连接MN,求出/的值即可；

(2)①连接GH,CH,根据菱形的性质和题中条件证出4"="C,从而得到4"2=64+(16—4/7)2即可求

解；

②连接4Q,根据题中条件和①中结论证明aAPG三△CQH(SAS),从而得到GQHP是平行四边形，即可求

出答案；

③根据求最小路径的方法作出点G关于BC的对称点。，过点G，作GK1DC于K,连接G7f,QG',再根据"三

角形两边之和大于第三边''即可求解.

【解题过程】

(1)解：•.・四边形ABCO是矩形，

：.AB||CD,AB=CD

=乙NCF,

,：M、N分别是/B、CO中点，

：.AM=CN,

■:E、/是直线AC上的两个动点，分别从/、。两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度,

：.AE=CF=23

△AME=△CNF(SAS),

・•.ME=NF,乙AEM=Z-CFN,

•,ZMEF=乙EFN,

.-.ME||FN,

.•.四边形EMFN是平行四边形，

如图1,连接MN,

•.•四边形4BCD是矩形，M、N分别是AB、CD中点，、，

.•・四边形MBCN是矩形，

■:AB=8,BC=16,

.-.MN=BC=16,AC=V82+162=8后

•.•四边形EMFN是平行四边形，

:.当EF=MN=16时，四边形EMFN是矩形,

■,-8V5-4t=16或4t—8V5=16,

解得t=2而-4或2通+4；

(2)解：①由(1)知：AF=CE,

.-.AF+EF=AE,CE+EF=CF,

：.AE=CF,

如图2,连接GH,CH,

图2

•.•四边形EGFH菱形，

.-.AC1GH,0E=OF,

：.0A—OC,

.-.AH=HC,

-HC2=CD2+DH2,AB=8,BC=16,

：.AH2=64+(16-XH)2,

.-.AH=HC=10,

:.DH=6,

.-.CD+DH=6+8=14,

②如图3,连接AQ,如图所示,

APD

图3

由①同理得：AQ=CQ=10,BQ=6,

由①知：AP=10,

.-.AP=CQ,

•；G、，分别从点/、C沿折线N-8-C,C-O-N运动,

■,AG=CH,

又MGAP="CH=90°,

AAPG=ACQH(SAS),

：.GP=QH,

同理可证PH=GQ,

••・四边形GQHP是平行四边形，

1c

•・•四边形GQ”尸的面积是矩形ABC。面积的获

c_15c

••白口GQHP—/矩形/BCO，

,・2SAPGQ—及'S矩形/Reo=访x8x16=60,

:，S&PGQ=30,

=^X8X16-30=34,

11

xAGx10+-X6x(8-AG)=34,

：.AG—5,

••t—I；

故答案为：I；

③如图4,作点G关于BC的对称点过点G，作GK1DC于K,连接G77,QG',贝ijBG=&？=CK,QG=G'

Q，

.-.HK=CH+CK=AG+BG=8,

■：G'K=16,

:.G'H=V82+162=8V5,

由②知：四边形PGQH是平行四边形，

四边形PGQH的周长=2QH+2GQ=2QH+2QG'>2G'H,

当G，，Q,，三点共线时，四边形PGQH周长有最小值，且最小值是2GH=16店.

故答案为：16店.

♦学霸必刷

1.（22-23九年级上•福建漳州•期中）如图，在中，N8=90。，AC=40cm,44=60。，点。从

点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点/出发沿ZB方向以2cm/秒的速度向点

8匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点。、£运动的时间是，秒（0<

t<10）.过点。作DF1BC于点尸，连接DE、EF,当△DEF为直角三角形时，/的值为（）

2020

A.5B.yC.5或8D.5或8或彳

【思路点拨】

利用已知条件证出四边形AFED是平行四边形，再对△DEF为直角三角形分三种情况进行讨论.

【解题过程】

解：由题意得4。9。=90。/。=30。,£）。=43

DF—23

又48=90。,即OF||48,

・•・四边形/FED是平行四边形，

当为直角三角形时，有三种情况如下：

①当""=90。时，四边形4FED是平行四边形，

EF||AD,

••・/.ADE=/-DEF=90°,

・・・=60°,

A.AED=30°,

・•・AD=^AE=t,

又vAD=40—4t,

••・t=40—4t,

解得t=8；

②当NEDF=90。时，四边形E8FD是矩形，

Rt△力ED中，NA=60°,则乙4DE=30。,

・•・AD=2AE=43

即4t=40—43

解得t=5；

③若=90。,此种情况不存在

所以t=8或t=5

故选：C.

2.（2023•河北•二模）如图，在四边形4BCD中，N&=NB=90。，AD=8cm,BC=6cm,点P从点。出发，

以Icm/s的速度向点2运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时,

两个动点同时停止运动.设点P的运动时间为t（单位：s）,下列结论正确的是（）

APD

BM

A.当t=3s时，四边形4BMP为矩形B.当t=4s时，四边形CDPM为平行四边形

C.当CD=PM时，t=3sD.当CD=PM时，t=3s或5s

【思路点拨】

对于选项A、B,分别计算当t=3s与t=4s时相应线段的长度结合平行四边形的判定方法判断即可；对于

C、D选项，^CELAD,MFLAD,垂足分别为E、F,如图，证明Rt△OCEwRt△PMF(HL),得出

PF=DE=2cm,进而得出关于f的方程，解方程判定即可.

【解题过程】

解：当t=3s时，PD=3cm,PA=8—3=5cm,BM=3cm,

：,APWBM,

・•・四边形ZBMP不为矩形，故选项A结论错误；

当t=4s时，PD=4cm,BM=4cm,CM=6—4=2cm,

.♦.DPWCM,

・•・四边形CDPM不为平行四边形，故选项B结论错误；

当CO=PM时，作CE1/D,MF14O,垂足分别为E、F,如图，

：.AD||BC,

・•・四边形都是矩形，

：.CE=FM=AB,BC=AE=6cm,

・•・当CO=PM时，RtA△PMF(HL),DE=8-6=2cm,

：.PF=DE=2cm,

••,PF=\BM-AP\=|t-(8-t)|=|2t-8|,

—8|=2,

解得：t=5或t=3,故选项C错误、选项D正确；

故选：D.

3.（22-23八年级下•全国•期末）如图，在正方形48C。中，点E从点8出发，沿边BC方向向终点C运动,

DFL4E交融于点尸，以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP,连接CP,则N凡4E+NEPC的度数的变化情

B.一直减小后增大

C.一直不变D.先增大后减小

【思路点拨】

作PH1BC交的延长线于H,证明CP是NDCH的角平分线，由NF4E+乙EPC=乙PEH+/.EPC="CH即

可解决问题.

【解题过程】

解：作PH1BC交BC的延长线于”,

•.•四边形ABC。是正方形,

:.AD=AB=BC,/.DAF=4ABE=4DCB=Z.DCH=90°,

■：DF1AE,

:.^BAE+^DAE=90°,/.ADF+/.DAE=90°,

.-.Z.BAE—A.ADF,

△4。尸三△BAE(ASA),

：.DF=AE,

•.•四边形DFEP是平行四边形，

：.DF=PE,DFWPE,乙DFE=LDPE,

：.AE1PE,AE=PE,

-^BAE+^AEB=90°,Z-AEB+乙PEH=90°,

：.LBAE=乙PEH,

-Z.ABE=AH=90°,AE=PE,

・•.△ABE=△EHP(AAS)，

.-.PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：/PCH=45°,

•.ZDCH=90°,

"DCP=乙PCH,

・・・CP是WCH的角平分线，

・•・点P的运动轨迹是的角平分线，

-Z-BAE=乙PEH,

：.Z.FAE+乙EPC=乙PEH+乙EPC=乙PCH,

而NPCH=%DCH=45°,

:./.FAE+NEPC一直不变，

故选：C.

4.(2023•河北保定•一模)如图，在菱形4BCD中，AB=6cm,zB=120°,P为对角线力C上的一个动点，

过点P作4C的垂线，交2D或CD于点E,交或BC于点尸，点P从点力出发以gcm/s的速度向终点C运动，设

运动时间为t(s),以EF为折线将菱形ABC。向右折叠，若重合部分面积为4gcm2,求/的值，对于其答案,

甲答：t=2,乙答：t=3,丙答：t=4,则正确的是()

A.只有甲答的对B.甲、乙答案合在一起才完整

C.甲、丙答案合在一起才完整D.三人答案合在一起才充整

【思路点拨】

由菱形的性质推出ND/C的度数，通过分类讨论的方法得到含有特殊角的直角三角形4G。、APE.CPE以及

等边三角形石凡4、EFC,利用面积公式进而列出有关时间t的一元二次方程，通过解方程求出

【解题过程】

解：如图，连接交ZC于点G

・•.AD=CD=BC=AB=6cm

BD1AC,/.ADC=/-ABC=120°

1

/.DAC=-(180°-Z.ADC}=30°

在RtZXAGD中，DG=^AD=3cm

AG=V3DG=3V3cm

•・•DA=DC,BD1AC

AC=2AG=6V3cm

由题意可知，AP=(V3t)cm(0<t<6)

如图所示，重合部分S△EFA=S△EFA'=4V3cm2

AP

・••EP=——=tcm

V3

/.DAB=180°一4B=60°,EF1AC

・•.△EF4为等边三角形

EF=2EP=(2t)cm

・•・S△EFA=S△EFA'=|xEFxXP=1x2txV3t=4V3cm2(0<t<6)

•••t=2

如图所示，重合部分S△EFC=4V3cm2

BBf

在Rt^CPE中，EFLAC,^LDCA=30°

CP=AC-AP=(6V3-V3t)cm

CP

EP=—=(6—t)cm

vZ.DCB=180°=60°,EFLAC

・•.△EFC为等边三角形

・•・EF=2EP=(12-2t)cm

•••s△EFC=|XFFxCP=|x(12-2t)X(6V3-V3t)=4V3cm2(0<t<6)

•••t=4

."=4或1=2,即甲、丙答案合在一起才完整.

故答案选C.

5.（22-23八年级下•湖北武汉•期中）如图，在四边形/BCD中，AD\\BC,=90。，AB=8cm,

AD=24cm,BC=26cm.点尸从点/出发，以2cm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以3cm/s

的速度向点8运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.若运动ts时PQ=CD,

则运动时间t的值是!

【思路点拨】

分两种情况：①PD=CQ时，则四边形CDPQ为平行四边形；②PDHCQ时，过点P作PS||CD交BC于S,

PM1BC于则四边形PDCS为平行四边形，四边形力BMP为矩形；分别计算即可.

【解题过程】

解：由题意可知，AP=2t,DP=24-2t,CQ=3t,BQ=26-3t,

若PQ=CD,分两种情况：

@PD=“时，

■：PD||CQ,

••・四边形CDPQ为平行四边形，

：.PQ=CD,

.'.24—2t—3t,

解得：t=K

@PDH“时，

过点尸作PS||CD交BC于S,PMIBC于跖则四边形PDCS为平行四边形，四边形/BMP为矩形;

：.PQ=PS,MS=CM-CS=26-2t-(24-2t)=2(cm),

••.QS=2Ms=4(cm),

.'.3t—4=24—2t,

解得：”等，

综上所述，当f的值为g或g时，PQ=CD.

故答案为：告或g

6.（22-23八年级下•河南郑州•期末）如图，在CM8CD中，对角线AC,B。相交于点。，点E在4。上，

AE=5cm,BE=13cm,Z.EBD=Z.DBC,点尸是BC的中点，若点P以lcm/s的速度从点4出发，沿力。向点E

运动，点N同时以2cm/s的速度从点C出发，沿CB向点F运动，点P运动到点E时停止运动，点N也同时停止运

动，当点P运动s时，以点P,F,N,E为顶点的四边形是平行四边形.

【思路点拨】

要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，则需PE=FN,据此先表示出PE、FN,结合题意可得

PE=5—t,FN=2t—CF或FN=CF—2t,据此可知需求得CF的长，由于F是BC的中点，可将答案.

【解题过程】

解：四边形48CD是平行四边形，

：.AD||BC,AD=BC,

Z-ADB=Z.CBD,

•・,乙EBD=Z-DBC,

・•・Z.EBD=乙EDB,

EB=ED=13cm,

,:AE=5cm,

・•・AD=18cm,

•・•点F是BC的中点，

•1•BC=AD=18(cm),CF=BF=2BC=9(cm),

•••点P的速度为lcm/s,则点P从点A到点E的时间为5+1=5(s),

・・•点N移动的距离为5x2=10(cm),

要使点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，贝UPE=NF即可，

设当点P运动t秒时，点P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，

根据题意，当点N在点尸的右边，四边形PENF是平行四边形，如图所示，

当点N在点F的左边，四边形PEFN是平行四边形，如图所示,

・•・当点P运动4秒或获秒时，以P、F、N、E为顶点的四边形是平行四边形，

故答案为：4或半

7.（22-23八年级下•河南郑州•期末）如图，等边三角形ABC的边长为lOczn,动点M从点8出发，沿

的方向以3cm/s的速度运动，动点N从点C出发，沿Cf4TBic的方向以2cm/s的速度运动，且动点跖N

同时出发，其中一点到达终点时，另一点随之停止运动.那么运动到第秒时，点/,M,N以及

△ABC的边上一点。恰能构成一个平行四边形.

A

【思路点拨】

分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解.

【解题过程】

解：①当owtw3点以N、。的位置如图所示:

A

BDc

•・•四边形4VoM是平行四边形，

；,DM=AN,DMWAN,DN\\AB,

・"MDB=ZC=60°,(NDC==60°,

•••乙NDC=zC,

・•.ND=NC,

DM+DN=AN+NC=AC=10,即：3t+2t=10,

解得：t=2,

②当与<tW5时，点〃、N、。在同一直线上，不能构成四边形,

③当5<tW与时，点M、N、。的位置如图所示：

四边形4VoM是平行四边形，

；,DN=AM,AMWDN,

••・乙NDB=(ACB=60°,

・・・△4BC为等腰三角形，

:•乙B=60°,

乙NDB—Z,B—60°,

・•・ND=NB,

NB+MC=AM+CM=10,即：3t-10+2t-10=10,

解得：t=6,

④当?<t<10时，点M、N、D的位置如图所示:

A

D

BM

则BN=20—2t,BM=30-3t,

由题意可知，ABNM为等边三角形,

■■.BN=BM,即：20-2t=30-3t,

解得：t=10,

此时M、N重合，不能构成四边形，

综上所述，f的值为2或6,

故答案为：2或6.

8.(23-24八年级下•重庆巴南•阶段练习)如图1,在平行四边形2BCD中，AD1CD,AB=8,AD=^,M

是一动点，从点。出发，沿。一A—B—C运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发

的另一动点，沿C—。运动，以2个单位每秒的速度向终点。点运动，点M和点N同时出发，运动时间为/

秒(M,N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止).

(1)若M、N出发f秒后，四边形MBCN为平行四边形，求f；

(2)若△4MC的面积为8,请求出/的值；

(3)如图2,点尸是线段4D中点，E是直线CD上另一动点(位于N点右边)，且线段NE在移动过程中始

终保持长度为2不变，请探究并直接写出FN+NE+BE的最小值.

【思路点拨】

本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质；

(1)根据平行四边形的性质可得MBIICN,MB=CN,MN\\CB,MN=BC,得到M应在线段4B上，N应

在线段CD上，再根据运动速度表示MB、CN,列方程求解即可；

(2)根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可；

(3)将BE向左平移到BN,作尸N关于CD对称的线段kN,FN+NE+BE=F，N+2+B，NNFE+2.当三

点共线时有最小值.

【解题过程】

(1)•••四边形MBCN为平行四边形，

:.MB\\CN,MB=CN,MN\\CB,MN=BC,

动点M应在线段48上，N应在线段CD上，.

•••在平行四边形力BCD中，AB=8,AD=4,

.-.CD=AB=8,BC=AD=4.

由题意得t秒后，MB=8+4—4t=12—4t,CN=2t,0<t<4.

.'•12—4t=2t.

：.t=2.

(2)①当点M在力D上时，OWt<l,AM=4-4t,

•••△4MC的面积为8,SAAMC=\AM-CD,

.-.|(4-4t)-8=8.

・•.t=I.

②当点〃■在上时，1<t<3,AM=4t-4,

・・・△4MC的面积为8,SAAMC=-BC,

-4)-4=8.

••・t=2.

③当点M在BC上时，3<t<4,MC=16-4t,

•••△AMC的面积为8,SAAMC=|MC-AB,

-4t)-8=8.

7

t=5.

17

・,•综上可知t==2或力=

(3)如图将BE向左平移到BW,作/W关于CD对称的线段FW,则FT)=FO=弓4。=2出归=NE=2,

F'

图2

；.FN+NE+BE=F'N+2+B'N>F'B'+2.,

.•.当BQF\N三点共线时有最小值.

■：AB'=48—8B'=8—2=6,4F'=40+=4+2=6,

.-.F'B'=6V2

.-.FN+NE+BE=F'N+2+B'N>F'B'+2有最小值6五+2.

9.(23-24九年级上•陕西渭南•阶段练习)如图，在直角梯形4BCD中，AD\\BC,ZC=90°,BC=14,

DC=8,AD=20.动点尸从点。出发，沿射线。力的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点。从点C

出发，在线段C8上以每秒1个单位长的速度向点3运动，点P,。分别从点。，C同时出发，当点0运动

到点3时，点尸随之停止运动.设运动的时间为秒).

(1)当t=2时，求△BPQ的面积；

(2)当f为何值时，以4,B,P,。为顶点的四边形为平行四边形？

(3)(2)中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当0速度不变，求出P点速度？

【思路点拨】

(1)若过点于M,则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=8,由QB=14-t,由三角形面

积公式得出△BPQ的面积=#MxQB=56-4t；

(2)由题意得出4P=BQ,分两种情况，由题意得出方程，解方程即可得出答案;

(3)作BN14。于，则四边形BCDN是矩形，得出CN=BC=14,BN=DC=8,由勾股定理得出2B=10,

由力p=4B=10,贝i]20—2t=10,t=5；由BQ=4B=10,贝也4一t=10,t=4；得出(2)中的平行四边

形不会是菱形；当Q速度不变，设P点速度为每秒支个单位长，则力P=20—4久=10,解得％=|即可.

【解题过程】

(1)解：过点P作PM1BC于M,如图1所示：则四边形PDCM为矩形.

.-.PM=DC=8,

■.■QB=BC-CQ=14-t,

△BPQ的面积=|QB•PM=|(14-t)X8=56-4t(0<t<10).

把t=2代入得：aBP。的面积=56-8=48；

(2)-AOWBC,

当2P=BQ时，以4B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形时，当点P在4点右侧时,

解得：t=6,

当点P在4点左侧时，AP'=2t-20,

•'•21—20=14—t,

解得：t=学

综上所述，当t=6秒或半秒时，以4B,P,Q为顶点的四边形为平行四边形；

(3)(2)中的平行四边形不会是菱形；

理由如下：

作BN1AD于N,如图2所示：

图2

则四边形BCDN是矩形，

•­,DN=BC=14,BN=DC=8,

•••AN=AD-DN=6,

AB=J4N2+BN2=〃2+82=10,

当月P=BQ=AB=10时，(2)中的平行四边形是菱形，

由4P=AB=10,贝i」20-2t=10,t=5；

由BQ=4B=10,贝i|14—t=10,t=4；

(2)中的平行四边形不会是菱形；

当Q速度不变，设P点速度为每秒x个单位长，

则力P=20-4%=10,

解得：x=|，

即当Q速度不变，P点速度为每秒/单位长时，(2)中的平行四边形是菱形.

10.(22-23八年级下•四川宜宾•期末)已知，如图，O为坐标原点，四边形CMBC为矩形，4(10,0),C(0,

4),点。是02的中点，动点P在线段BC上以每秒2个单位长的速度由点C向8运动.设动点尸的运动时

间为/秒.

斗

「EB

-----------•------------->

ODAX

(1)当t为何值时，四边形PODB是平行四边形？

(2)在直线CB上是否存在一点0,使得。、D、0、尸四点为顶点的四边形是菱形？若存在，求f的值，并

求出。点的坐标；若不存在，请说明理由.

【思路点拨】

(1)BP=BC-PC=10-2t,四边形PODB是平行四边形时PB=OD=5,列一元一次方程即可求解；

(2)分0点在P的右边，0点在尸的左边且在BC线段上，0点在P的左边且在BC的延长线上三种情况,

根据菱形的性质、勾股定理分别求解即可.

【解题过程】

(1)解：•••四边形tMBC为矩形，4(10,0),C(0,4)，

,.BC=0A=10,AB=0C=4,

•・・点。是的中点，

：,0D==5,

由运动知，PC=2t,

；,BP=BC-PC=10-2t,

•・•四边形PODB是平行四边形，

：.PB=0。=5,

.•.10—2t=5,

=2.5；

图1

•・・四边形。DQP为菱形，

・・.。0=op=PQ=5,

・•・在Rt^OPC中，由勾股定理得：PC=7OP2-OC2=5/52-42=3,

：.2t—3,

=1.5,

•••CQ=PC+PQ=3+5=8,OC=4,

・・・Q(8,4)；

②当0点在尸的左边且在BC线段上时，如图2,

图2

•.•四边形。DPQ为菱形，

：.0D=0Q=PQ=5,

.•.在RtZkOQC中，由勾股定理得：CQ="Q2_0C2=片_42=3,

.•■<2(3,4),

■：CP=CQ+PQ=3+5=8,

：.2t=8,

1・t=4；

③当。点在P的左边且在8c的延长线上时，如图3,

•.•四边形。DPQ为菱形，

：.0D=0Q=PQ=5,

.•.在RtaOQC中，由勾股定理得：CQ="Q2_0C2=近2_42=3,

.•■(2(-3,4),

■：CP=PQ—CQ=5—3=2,

：.2t=2,

.•.t=1；

综上可知，。、D、。、P四点为顶点的四边形是菱形时，有三种情况：t=1.5,Q(8,4)；t=4,(2(3,4);

t=l,Q(-3,4).

11.(23-24九年级上•广东茂名•期中)如图所示，在菱形2BCD中，NB=60。，△4EF是等边三角形.

(1)如图1,点£、F分别在菱形的边8C、CD上滑动，且E、尸不与B、C、。重合.求证：BE=CF；

(2)如图2,点E是CB延长线上一点，连BF.

①求证：BF=AB+BE；

②若4。=6,BE=2,求的长.

【思路点拨】

(1)证明△ABC、△ACD为等边三角形，得出乙4CF=60。，AC=AB,可证明△ABE三△ACF(ASA),即

可求得BE=CF；

(2)①连接力C,证明△B4F三△CAE(SAS),由全等三角形的性质可得出BF=CE,则可得出结论；②过

点4作4G1BC于点G,由勾股定理可得出答案.

【解题过程】

:./.D=NB=60°,AB=BC=CD=AD,

：.△力DC和△力BC为等边三角形，

：./.ACF=NB=^BAC=60°,AC^AB,

•・・△ZEF是等边三角形，

-.AEAF=60°,

.・Z1+Z-EAC=60°,Z2+乙EAC=60°,

/.z.1=z2,

(zl=z2

在△Z8E和△/CF中，｛AB=AC,

V^LABE=AACF

・•.△ABE=△ZCF(ASA),

；,BE=CF；

(2)①证明：如图，连接4C,

由(1)和已知可得：△4BC和△4EF为等边三角形,

：.AE=AF,4C=4B=BC,Z.EAF=Z.BAC=60°,

：.Z-CAE=Z.BAF,

(AF=AE

在△84F和△C/E中，］/-BAF=L.CAE,

IAB=AC

ABAF=ACAE(SAS),

；.BF=CE,

；.BF=CE=CBBE=AB+BE,

即B尸=+

②解：过点a作4GLBC于点G,

由前面结论可知：AC=AB=BC=AD,

又:AO=6,BE=2,

-，BG=|/1B=|x6=3,

■■■AG=7AB2—BG2=V62-32=3疗

EG=BG+8E=3+2=5,

■■AE=7AG2+EG2=V27+25=2V13,

・・・△4EF为等边三角形，

■■.EF=AE=2V13.

12.(23-24九年级上•山东青岛•阶段练习)如图，在菱形2BCD中，AB=4cm,N4DC=120。，点E.F同

时从力、C两点出发，分别沿4B、CB方向向点B匀速移动(到点B停止)，点E的速度为lcm/s,点F的速度

为2cm/s.

4D

BF-C

(1)经过多少秒△DEF为等边三角形？

(2)经过多少秒四边形BEDF的面积为3g.

【思路点拨】

(1)设经过f秒△DEF为等边三角形，延长4B至点M,使BM=AE,连接FM,易得=EM,

AADE=Z.MEF,通过证明△4DE三△MEF(SAS),推出力E=MF=BM,则△BFM为等边三角形，进而得

出力E=BF,列出方程求解即可；

(2)设经过f秒四边形BEDF的面积为38，过点。作DG1BC于点G,作于点X,易得

DH=DG=2V^cm,求出S菱形/BCD=8V3cm2,^AADE=V^t，^/\DCF=2V^t,根据四边形BEDF的面积为

3V3,得出S菱形《BCD—S^ADE—S^DCF=列出方程求解即可.

【解题过程】

(1)解：设经过/秒△DEF为等边三角形,

延长2B至点使=连接FM,

,;BM-AE,

.-.BE+AE=BE+BM,即4B=EM,

••・四边形力BCD为菱形,

：.AB=AD,

：.AD—EM,

-Z.ADC=120°,

.•.乙4=60°,

・・・△O£T为等边三角形，

"DEF=60°,DE=EF,

MDEM=4/+Z.ADE=(DEF+乙MEF,

：.Z-ADE=Z-MEF,

(DE=EF

在△40E和△MEF中，｛Z-ADE=乙MEF,

IAD=EM

△ADE=△MEF(SAS),

：.AE=MF=BM,

,%=60°,

・・/FBM=60°,

・・.△BFM为等边三角形，

.・.BF=BM,

：,AE=BF,

,：AE=tcm,CF=2tcm,AB=4cm,

；.BC=AB—4cm,则BF=(4—2t)cm,

•'•t—4—21,

解得：t=*

4

・•.经过E秒△DEF为等边三角形.

(2)解：设经过f秒四边形BEDF的面积为3遍,

过点。作DG1BC于点G,作DH14B于点77,

AD

•・•四边形ZBCD为菱形，AB=4cm,乙40c=120°,

.,.AD=AB=BC=4cm,Z,A=Z,C=60°,

：,Z.ADH=30°,

.'.AH==2cm,

根据勾股定理可得：DH=yjAB2—AH2=2V3(cm)

同理可得：DG=2V3cm,

・•.S菱形/Be。=BCDG=4x2V3=8V3(cm2),

'：AE=tcm,CF=2tcm,

・•・S"OE=^AE-DH=V3t,S^DCF=*F-DG=2^3,

•・•四边形加的面积为3四，

••,S菱形-S&WE—S^DCF=3小,

即8遮-V3t-2V3t=3V3,

解得：t=*

经过I秒四边形BEDF的面积为3遍.

13.(2023•陕西西安•一模)如图，平行四边形4BCD中，AB=6cm,BC=8cm,NB=60。，G是CD的中点,

E是边4。上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF.

(1)求证：四边形CED尸是平行四边形；

(2)®AE=时，四边形CEDF是矩形;

@AE=时，四边形CEDF是菱形.

【思路点拨】

(1)^ACFG=^EDG,推出FG=EG,根据平行四边形的判定推出即可；

(2)①求出△MBAw/kEDC,推出NCED=N4MB=90。，再根据矩形的判定推出即可;

②证△CDE是等边三角形，推出CE=DE,再根据菱形的判定推出即可.

【解题过程】

(1),•,四边形4BCD是平行四边形，

.-.BCWAD,

•••Z-FCG=Z.EDG,

・・・G是CD的中点，

•••CG—DG,

(Z.FCG=乙EDG

在△CFG和△OEG中，］CG=DG,

JCGF=乙DGE

.*.△CFG=△DEG(ASA),

••・FG=EG,

又・.•CG=DG,

四边形CEDF是平行四边形.

(2)①当4E=5cm时，平行四边形CEDF是矩形，理由如下：

如图，过4作于M,

Z-B=60°,AB=6,

・•.BM=^AB=3,

-AE=5,

^DE=AD-AE=3=BM,

(BM=DE

在△MBA和△EOC中，=2LCDA,

IAB=CD

.­.△M^=AEDC（SAS）,

・♦・（CED=Z.AMB=90°,

•・•四边形CEOF是平行四边形，

・•・平行四边形CEDF是矩形，

故答案为：5.

②当4E=2sn时，四边形CEDF是菱形，理由如下：

・・・四边形A8C0是平行四边形，

AD=8,CD=AB=6,乙CDE==60°,

•・•AE=2f

・•.DE=AD-AE=6,

DE=CD,

•・.△CDE是等边三角形，

•••CE—DE,

•••四边形CEDF是平行四边形，

・•.平行四边形CEDF是菱形，

故答案为：2.

14.（23-24八年级上•山东潍坊・期末）如图，在四边形力BCD中，AB\\CD,AADC=90°,AB=18cm,

BC=13cm,CD=23cm,动点P从点/出发，以lcm/s的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发，以2cm/s

的速度沿折线B—C向终点。运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时

间为t秒.

（1）用含t的式子表示PB；

（2）当t为何值时，直线PQ把四边形4BCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？

（3）只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形PBCQ为菱形，则点Q的运动速度应为多少？

【思路点拨】

本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质.

(1)根据尸点的速度以及时间结合力B的长表示即可；

(2)只有。点在CD上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形PQCB是平行四边形，②四边形4DQP是

平行四边形，进行解答即可；

(3)设。的速度为xcm/s,Q在CD边上，此时PBCQ可为菱形，满足PB=BC=CQ,建立方程解决即可.

【解题过程】

(1),尸从/点以lcm/s向8点运动

•••ts时，AP=tx1=t(cm)

1•■AB=18cm

•1•BP=AB—AP=(18—t)cm；

(2)BC—13cm

Q在BC上运动时间为13+2=6.5(s)

BC+CD=23+13=36(cm)

•••Q运动时间最长为36+2=18(s)

二6.5sWtW18s时，Q在CD边上

此时，直线PQ把四边形4BCD分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况：

①四边形PQC8是平行四边形，如图所示：

­：AB||CD^PB||CQ

二只需PB=CQ即可，由(1)知：PB=(18—t)cm

•••Q以2cm/s的速度沿折线B—C—D向终点D运动，

•••运动时间为ts时，CQ=2t-BC=(2t-13)cm

***18—t—2t—13

解得：”看

②四边形ADQP是平行四边形，如图所示:

••・只需AP=DQ,四边形40QP是平行四边形

由（1）知，AP-tcm

则0Q=CD+CB-2t=（36-2t）cm

.­,36—2t=t

解得：t=12

综上所述：当t=苧s或12s时，直线PQ把四边形ABC。分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形；

（3）设0的速度为xcm/s,由（2）可知，0在CD边上，此时四边形PBCQ可为菱形

•••PB||CQ

■■只需满足P8=8C=CQ即可

由（1）知：PB=（18-t）cm

由（2）知：CQ=（xt-13）cm,BC=1cm

•••18—t=13,xt—13=13

解得：t=5s,x=5.2cm/s

当。点的速度为5.2cm/s时，四边形PBCQ为菱形.

15.（22-23八年级下•广东珠海•期中）如图，在四边形力BCD中，AD\\BC,Z.B=90°,AB=8cm,

AD=24cm,BC=30cm,点P从点/出发，以Icm/s的速度向点。运动；点。从点C同时出发，以3cm/s

的速度向点8运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为，秒.

（1）当t=6s时，请判定四边形PQCD的形状_（直接填空）

（2）当PQ=CD时，求才的值.

（3）连接DQ,是否存在为等腰三角形？若存在请直接写出f值，若不存在，说明理由.

【思路点拨】

(1)根据题意有：AP=t,QC=3t,进而有PD=4D—4P=24—t,BQ=BC-QC=30-3t,当

t=6s时，可得PD=QC,结合PDIIQC,即可作答；

(2)分四边形PQCD是平行四边形和四边形PQCD是等腰梯形两种情况，结合题意计算，得到答案；

(3)分三种情况讨论：当△QDC为等腰三角形，且QD=DC时，过D点DH，BC于H；当△QDC为等腰三

角形，且QC=OC时；当△QDC为等腰三角形，且QD=QC时，根据等腰三角形的性质结合勾股定理列出

关于f的方程，解方程即可求解.

【解题过程】

(1)根据题意有：AP=t,QC=3t,

■,■AB=8,AD=24,

.-.PD=4。-AP=24-t,BQ=BC-QC=30-3t,

当t=6s时，PD=24-t=18,QC=3t=18,

.-.PD=QC,

­：AD||BC,

■­PD||QC,

.•・四边形PQC。是平行四边形；

(2)当PQ=CD,四边形PQCD是平行四边形时，

即有：PD=QC,

贝i]24—t=3t,

解得，t=6(s)；

当PQ=CD时，四边形PQC。是等腰梯形时，

过尸点作于过。点DN1BC于N,如图，

根据力DIIBC,NB=90。，DN1BC,可得四边形力DNB是矩形,

则BN=4。=24,AB=DN=8,

即NC=BC—BN=30—24=6,DC=yjDN2+NC2=10,

•.・梯形PQCD为等腰梯形，PM1BC^M,

・・.NC=QM=6,PD=MN,

根据（1）有4P=t,QC=3t,PD=24-t,BQ=30-3t,

-MN=CQ-QM-NC=3t-12,

.'•3t—12=24—tf

解得t=9（s）,

综上所述：1=6$或1=95时，PQ=CD.

（3）存在，理由如下：

根据（1）有4P=t,QC=3t,PD=24-t,BQ=30-3t,

根据（2）有DC=10,

当△QDC为等腰三角形，且QD=DC时，

过。点。于〃，如图，

根据（2）可知：HC=6时，

△QDC为等腰三角形，

.-.QC=2HC=12,

.•-12=33解得t=4,

即此时t=4；

当△QDC为等腰三角形，且QC=DC时，如图,

即此时t=y;

当△QDC为等腰三角形，且QD=QC时，

过。点DP1BC于P,过0点QG1DC于G,如图,

根据（2）同理可知四边形2DPB四边形是矩形,

：.AB=DP=8,

•'△DQC=；xDCxQG=gxQCxDP,DC=10,QC=3t,

八「QCxDP3tx812t

-^G=^^=-=—

•••QD=QC,QG1.DC,

・••GC=5,

•・•在RtZ\QGC中，QC2=QG2+CG2,

.-.9t2=（技）2+52,

解得：”得，

综上所述：当t为4或者与或者得时，△QDC为等腰三角形.

16.（23-24八年级上•吉林长春・期中）如图，在口/lBCD中，力B=10,BC=40,BC边上的高为8.点P从点4

出发，沿4。以每秒5个单位长度的速度运动.点Q从点B出发沿B-C-8以每秒8个单位长度的速度运动.

P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，P、Q两点同时停止运动.设点运动的时间为t（秒）（t力。）,

连结PQ.

（1）直接写出点Q与点C重合时t的值.

（2）当点Q沿B—C运动时，求QC的长（用含珀勺代数式表示）.

（3）当PQ1BC时，求t的值.

（4）当PQ=10时，直接写出t的值.

【思路点拨】

（1）由题意可得8t=40,即可；

（2）根据题意可得BQ=83从而得到QC=BC—BQ=40—8如即可;

(3)分两种情况，点0沿B—C运动时，如图，过点/作力M1BC于点则四边形4MQP是矩形；点。

沿C—B运动时，如图，过点C作CNL4D于点N,则四边形CNPQ是矩形，即可解决问题；

(4)分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出/的值即可.

【解题过程】

(1)解：点0与点C重合时，

由题意得：8t=40,

解得：t=5,

即点。与点C重合时，f的值为5；

(2)解：当点。沿B—C运动时，

由题意得：BQ=8t,

：.QC=BC—BQ=40-8t,

即QC的长为40—8t；

(3)解：①•••四边形ABC。是平行四边形，

：.AD=BC=40,CD=AB=10,4B||CD,AD||BC,

分两种情况：

点。沿B—C运动时，如图，过点N作4M1BC于点河，则四边形2MQP是矩形，

APD

BMQ