考点01 线段与角（解析版）

考点一线段与角知识点整合一、直线、射线、线段1．直线的性质（1）两条直线相交，只有一个交点；（2）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；（3）直线的基本事实：经过两点有且只有一条直线．2．线段的性质两点确定一条直线，两点之间，线段最短，两点间线段的长度叫两点间的距离．3．线段的中点性质若C是线段AB中点，则AC=BC=AB；AB=2AC=2BC．4．两条直线的位置关系在同一平面内，两条直线只有两种位置关系：平行和相交．5．垂线的性质（1）两条直线相交所构成的四个角中有一个角是直角，则这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线；（2）①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短．6．点到直线的距离从直线外一点向已知直线作垂线，这一点和垂足之间线段的长度叫做点到直线的距离．二、角1．角有公共端点的两条射线组成的图形．2．角平分线（1）定义：在角的内部，以角的顶点为端点把这个角分成两个相等的角的射线（2）性质：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠BOC=∠AOB，∠AOB=2∠AOC=2∠BOC．3．度、分、秒的运算方法1°=60′，1′=60″，1°=3600″．1周角=2平角=4直角=360°．4．余角和补角（1）余角：∠1＋∠2＝90°⇔∠1与∠2互为余角；（2）补角：∠1＋∠2＝180°⇔∠1与∠2互为补角．（3）性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等．5．方向角和方位角在描述方位角时，一般应先说北或南，再说偏西或偏东多少度，而不说成东偏北（南）多少度或西偏北（南）多少度．当方向角在45°方向上时，又常常说成东南、东北、西南、西北方向．考向一直线、射线、线段在解答有关线段的计算问题时，一般要注意以下几个方面：①按照已知条件画出图形是正确解题的关键；②观察图形，找出线段之间的关系；③简单的问题可通过列算式求出，复杂的问题可设未知数，利用方程解决．典例引领1．直线的位置关系如图所示，则下列语句不正确的是（

）A．点在直线上 B．直线两两相交C．点是直线的交点 D．直线经过点【答案】D【分析】本题主要考查点与直线的位置关系，根据直线与点的位置关系即可求解．【详解】解：A.点在直线上是正确的，故选项A不符合题意；B.直线两两相交是正确的，故选项B不符合题意；C.点是直线，的交点，故选项C不符合题意；D.直线不经过点，故选项D符合题意，故答选：D．2．已知点是同一条直线上依次排列的四个不同的点，那么到点的距离之和最小的点（

）A．只有线段的中点 B．只有点或点C．是直线外一点 D．有无数个【答案】D【分析】本题考查点到直线的距离，具体到本题则为线段的性质，即两点之间线段距离最短即可求解，根据题意可知，点到四个点的距离的和最小的点有无数多个．【详解】解：由两点之间线段最短可知，到的距离之和最小的点有无数多个，但此点在直线上．故选：D．3．如图，点C为线段AB上一点，若，，则（

）A．10 B．7 C．5 D．4【答案】D【分析】本题主要考查了线段的和差．熟练掌握线段的和差计算，是解决问题的关键．根据线段是由与组成求解即可．【详解】∵点C在线段AB上，，，∴．故选：D．变式拓展4．如图，线段，点P是线段上一点，且，Q是线段上一点，且，则的值是．【答案】【分析】本题考查线段的n等分点的有关计算，线段的和与差．利用数形结合思想是解题的关键．由题意求得，．根据线段的和与差，计算出的长，作比即可．【详解】，，，，，如图所示，，，，，即，∴，．故答案为：．三、解答题5．请根据要求作图：(1)在图中作线段；(2)在图中作射线；(3)在图中取一点P，使点P到四个点的距离之和最小．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】本题考查了直线，射线，线段的作图，以及两点之间线段最短，熟练掌握线段的性质是解答本题的关键．（1）根据线段的特征作图即可；（2）根据射线的特征作图即可；（2）根据两点之间线段最短解答即可．【详解】（1）如图，线段为所作；（2）如图，射线为所作；（3）如图，点P为所作．6．【问题探究】（1）如图，点，均在线段上且点在点左侧，若，，，则线段的长为．【方法迁移】（2）已知点，均在线段上，若，，，则线段的长为．（用含的代数式表示）【学以致用】（3）已知七年级某班共有人，在本班参加拓展课报名统计时发现，选择围棋课的人数有人，其中未参加围棋课的男生是参加围棋课男生人数的一半，参加围棋课的女生是女生总人数的，求与的数量关系．小聪同学在思考这个问题时联想到了上面的几何问题，并将这个实际问题转化为几何模型来解决，请你建立这个几何模型并求解．（建立几何模型就是画出相应的线段示意图，并分别注明相应线段的实际意义）【答案】（）；（）；（）画出线段图见解析，．【分析】此题考查了线段和差，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解题的关键．（）利用线段和差即可求解；（）利用线段和差即可求解；（）根据题意画出线段图即可求解；【详解】（1）解：∵，，，∴，故答案为：；（）∵，，，∴，故答案为：；（）如图，表示七年级某班人数，表示七年级某班男生人数，表示七年级某班女生人数，表示参加围棋课的男生，表示未参加围棋课的男生，表示未参加围棋课的女生，表示参加围棋课的女生，设，，则，，∵选择围棋课的人数有人，∴，即，解得：，∵，∴．考向二角1．角平分线必须同时满足三个条件：①是从角的顶点引出的射线；②在角的内部；③将已知角平分．2．类似地，也有角的n等分线，如三等分线，如图，∠1=∠2=∠3=∠AOD或∠AOD=3∠1=3∠2=3∠3．典例引领1．如图，甲从A点出发向北偏西方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，则的度数是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了方位角，根据方位角的描述进行求解即可．【详解】解：∵甲从A点出发向北偏西方向走到点B，乙从点A出发向南偏西方向走到点C，∴，故选：C．2．M，N，P，Q，O五点在平面上的位置如图所示，则位于点O南偏西方向上的点是（

）A．点M B．点N C．点P D．点Q【答案】C【分析】本题主要考查了方位角．根据方向角的定义解答即可．【详解】解：A、点M在点O北偏东方向上，故本选项不符合题意；B、点N在点O北偏西方向上，故本选项不符合题意；C、点P在点O南偏西方向上，故本选项符合题意；D、点Q在点O南偏东方向上，故本选项不符合题意；故选：C3．某人下午6点多外出时，看手表两指针的夹角为，下午7点前回家发现两指针的夹角仍为，则他外出的时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题考查钟面角，一元一次方程的实际应用．根据分针每分钟走6度，时针每分钟走0.5度；设他外出的时间为x分钟，则这段时间分针走的角度是6x，时针走的角度是；由于外出时，根据题意，得到分针走的角度=110度+110度+时针走的角度．列出方程进行求解即可．【详解】解：设他外出的时间为x分钟，由题意，得：，解得：．答；他外出的时间是40分钟．故选：C．4．将一副三角尺按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中的大小为（

）

A．100° B．105° C．110° D．120°【答案】B【分析】本题考查了三角板中角度计算问题，由题意得，根据即可求解．【详解】解：如图所示：

由题意得：∴故选：B5．一副三角板按如图所示的方式摆放，则的补角的度数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查利用三角板求度数、补角的定义等知识点，熟记各个三角板的角的度数是解题的关键．先根据直角三角板的度数求得，然后再求补角即可．【详解】解：由图形可得：，∴的补角的度数为：．故选：D．变式拓展6．比较大小：（填“”“”或“”）【答案】【分析】本题主要考查角度的大小比较，熟练掌握度分秒的换算是解题的关键．将换算成度分秒的形式，即可比较大小．【详解】解：，．故答案为：．7．已知一个角的补角为，则这个角的余角为．【答案】【分析】本题考查余角和补角的概念以及角的运算，互余的两个角和为90度，互补的两个角和为180度，由此可解．【详解】解：一个角的补角为，这个角为：，这个角的余角为：，故答案为：．8．如图，是一个平角，平分，则．【答案】【分析】本题考查平角的定义，角平分线的定义，角的和差关系，先根据平角为180度计算出，再根据角平分线的定义求出，最后根据计算即可得出答案．【详解】解：是一个平角，，，平分，，，故答案为：．三、解答题9．如图1，点为直线上一点，过点作射线，，，始终在的右侧，，．(1)如图1，当，平分时，求的度数；(2)如图2，当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转，使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒；(3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值．【答案】(1)(2)或(3)或【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线的位置不确定，进行分类讨论是解题关键．（1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论；（2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可；（3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可．【详解】（1）解：，平分，，，；（2）解：由（1）知，，设旋转时间为，①当点在的右侧时，，，；；②当点在的左侧时，，，；综上，旋转一共用了或；（3）解：为或．当时，如图，，，，，，，，，，平分，，，解得；当时，如图，，，，，，，，，，平分，，，解得；综上，为或．10．已知在的内部，，．(1)如图1，求的度数；(2)如图2，平分，平分，求的大小；(3)如图3，若，射线绕点O以每秒的速度顺时针旋转，与射线重合后停止；同时射线以每秒的速度绕点O顺时针旋转并与射线同时停止．设射线，运动的时间是t秒，当时，求出t的值．【答案】(1)(2)(3)当或时，．【分析】此题考查了角的动态定义，角平分线的计算，解题的关键是掌握相关概念，能用含t的代数式表示旋转角的度数．（1）由可化为，计算即可；（2）根据角平分线的定义得到，，进而得到，计算可得；（3）先求解，再根据射线的运动可知，需要分两种情况；分别画出图形列方程解答．【详解】（1）解：∵，，∴；（2）∵平分，平分，∴，，∴，，∴；（3）∵，，∴，∴；①如图：∴，，而，∴，解得：；②如图：∴，，而，∴，解得：；综上：当或时，．11．已知，射线在的内部，射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线．(1)若平分，求的度数；(2)小明说：当射线绕点O在的内部旋转时，的度数始终保持不变，你认为小明的说法是否正确？说明理由；(3)若、、、中有两条直线互相垂直，请直接写出所有可能的值．【答案】(1)(2)正确，理由见解析(3)或【分析】本题考查角平分线和角三等分线，角的和与差．（1）根据角平分线得到，再根据三等分线可得和的度数，最后利用可得答案；（2）正确，按照（1）的思路计算即可；（3）分和两种情况，再利用角的和差计算即可．【详解】（1）∵，平分，∴，∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，∴，，∴；（2）小明是说法正确，∵射线是靠近的三等分线，射线是靠近的三等分线，∴，，∴；（3）①当时，∵，，∴，∵射线是的三等分线，∴，∴；②当时，∵，，∴，∵射线