湖南省长沙市某中学2023-2024学年高二年级上册期末考试数学试题（含简单答案）

长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试

数学试题

分量：150分时量：120分钟

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1+i

z------

1.若复数1—i,则z的共辗复数N=（）

A.-iB.iC.-1D.1

2.H=4,W=3,a-b—6A/2»则〃与b的夹角为（）

兀兀一兀3兀

A.—B.―C.-D.—

4634

3.一个口袋内装有4个小球，另一个口袋内装有3个小球，所有这些小球的颜色互不相同，从两个口袋内

分别取一个小球，则不同的取法数为（）

A.7B.16C.9D.12

4.集合A={x|x(x—2)20},集合8=之0>,则“xeA”是“xeB”的()

A,充分不必要条件B,必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

5.函数〃x）=ln（尤2—2%—15）的单调递增区间是（）

A.（-co,l）B.（1,+oo）C.（5,+oo）D.[5,+oo）

6.直线/：X+y=2,圆C:/+y2—2x—2y—2=0.则直线/被圆。所截得的弦长为（)

A.2B.4C.2A/3D.«

7.函数了二人5由（〃比一0）（人＞0,外＞0,0＜0＜兀）的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A.y=2sinI2%--^-B.y=2sin(^x~~

D.j=sinf2x-j

8.已知函数〃％）=（%+1心—a,若函数有两个零点，则实数a取值范围是（）

D,4,+℃

二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.长沙市周南中学高二某班有45人，其中男生、女生的人数及其团员人数如下表所示.

团员非团员合计

男生16925

女生14620

合计301545

记事件A：“在班级里随机选一人，选到男生”

事件B：“在班级里随机选一人，选到团员”

下列说法正确的是（）

A.事件A的对立事件为：“在班级里随机选一人，选到女生”

B.事件A与事件B互斥

C尸（A）g尸（5）=|

D.事件A与事件B相互独立

10.己知函数/（x）=；x3—4x+4,下列说法正确的是（）

A.函数在点（0,4）处切线的斜率为—4

B.函数/（%）在点（3,1）处切线方程为y=5x-14

C.函数图象上瞬时变化率为1的点有3个

D.函数八％）的极大值点为x=—2,极小值点为x=2

11.直线/经过抛物线C:：/=4x的焦点，且与抛物线。相交于4（%,%）、5（%，%）两点，下列说法正确

的是（）

A.X[X2=1,yxy2=-4

B.直线/的斜率为1时，AB=2及

C.的最小值为6

D.以A3为直径的圆与。的准线相切

12.如图，在棱长为2的正方体ABC。-4与中，尸在线段8。上运动（包括端点），下列选项正确的

有（）

A.APVB.C

B.PD上BC

TT

c.直线PG与平面A8C2所成角的最大值是1

D.PC+PD的最小值为2有

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.从7件不同的礼物中选出3件分别送给3位不同的同学，则不同方法的种数为.

14.请写出同时满足下列条件的一个函数解析式.

①周期为2；②偶函数

15.著名的“汉洛塔”问题中，地面直立着三根柱子，在1号柱上从上至下、从小到大套着〃个中心带孔的圆

盘，将一个柱子最上方的一个圆盘移动到另一个柱子，且保持每个柱子上较大的圆盘总在较小的圆盘下面，

视为一次操作.设将几个圆盘全部从1号柱子移动到3号柱子的最少操作数为4，则%=

16.设点A3分别为双曲线C:三—5=1(。〉0/〉0)的左、右焦点，点分别在双曲线C的左、

右支上，若丽=5而，MB且|说|<|福|，则双曲线的离心率为.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17.已知。，"c分别为AABC的三个内角A,3,C的对边，且asinB=J%cosA.

(1)求A的值；

(2)若。=2,且的面积为求6,c.

18.为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A3两组，每组

100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，3组小鼠给服乙离子溶液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓

度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比，根据试验数据分别得到如

图直方图：

甲离子残留百分比直方图乙离子残留百分比直方图

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于4.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.85.

(1)求乙离子残留百分比直方图中。泊的值且估计甲离子残留百分比的中位数；

(2)从A组小鼠和8组小鼠分别取一只小鼠，两只小鼠体内测得离子残留百分比都高于5.5的概率为多

少.

19.如图，在四棱锥P—ABCD中，尸底面ABCD,四边形ABCD是直角梯形，AD1DC,AB//DC,

PC=AB=2AD=2CD=2,点E在棱PB上.

p

(1)证明：平面E4C_L平面尸5C；

(2)当E为PB的中点时，求二面角。一AC—E的余弦值.

20.已知等差数列｛。"｝满足4+%=6，%+。4=12,数列也｝满足〃=22_1.且有4=%.记｛4｝的

前n项和为Sn.

(1)求数列｛%｝、｛〃｝的通项公式；

(2)若数列cn=an-bn,求｛cn｝前〃项和Tn.

21.己知圆、：(x+iy+y2=1,圆N:(九一l『+y2=9动圆尸与圆M外切并且与圆N内切，圆心尸的轨

迹为曲线C.

(1)求曲线C方程；

(2)设不经过点Q(0,、回)的直线/与曲线C相交于A3两点，直线Q4与直线的斜率均存在且斜率

之和为-2,直线AB是否过定点，若过定点，写出定点坐标.

22.已知函数/(X)=X1IIY—2X,有两个不相等的正实数百,%，使得/(%)=/(%).

(1)求函数八％)的单调区间；

2

(2)证明：2e<x；+x2<e.

长沙市周南中学2023-2024学年高二上学期期末考试

数学试题简要答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符

合题目要求的.

【1题答案】

【答案】A

【2题答案】

【答案】A

【3题答案】

【答案】D

【4题答案】

【答案】B

【5题答案】

【答案】C

【6题答案】

【答案】B

【7题答案】

【答案】B

【8题答案】

【答案】A

二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

【9题答案】

【答案】AC

【10题答案】

【答案】ABD

[11题答案】

【答案】AD

【12题答案】

【答案】ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

【13题答案】

【答案】210

【14题答案】

【答案】/(x)=cos7a(答案不唯一)

【15题答案】

【答案】①7