专题05多边形平行四边形（难点）

专题05多边形平行四边形（难点）一、单选题1．过多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成4个三角形，那么这个多边形是（

）A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形【答案】A【分析】根据n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，依此可得n的值．【解析】解：设这个多边形是n边形，由题意得，，解得：，即这个多边形是六边形，故选：A【点睛】本题考查了多边形的对角线，求对角线条数时，直接代入边数n的值计算，而计算边数时，需利用方程思想，解方程求n．2．如图，的对角线相交于O，过点O与分别相交于E，F，若，那么四边形的周长为（

）A．16 B．17 C．18 D．19【答案】A【分析】根据平行四边形的对边相等得：，再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：，根据全等三角形的性质，得：，，故四边形的周长为．【解析】解：四边形是平行四边形，，在和中，，，，，四边形的周长为，故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的判定与性质，根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．3．已知四边形ABCD，有以下四个条件：①；②；③；④．从这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD成为平行四边形的选法种数共有（）A．6种 B．5种 C．4种 D．3种【答案】C【分析】根据平行四边形的判定定理判断即可．【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可构成①③；根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可构成②④；根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可构成①②或③④，一共有4种组合，故选C．【点睛】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．4．如图，正五边形，平分，平分正五边形的外角，则＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出正五边形的一个外角，再求出内角度数，然后在四边形中，利用四边形内角和求出．【解析】∵正五边形外角和为，∴外角，∴内角，∵平分，平分正五边形的外角，∴，，在四边形中，，∴，故选：B．【点睛】本题考查多边形角度的计算，正多边形可先计算外角，再计算内角更加快捷简便，掌握正多边形的内角和与外角的性质是解题的关键．5．如图，是的边上的点，是中点，连接并延长交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（）A．24 B．17 C．13 D．10【答案】B【分析】连接，如图，先根据平行四边形的性质得到，，再证明得到，则可判定四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质得到，接着证明四边形为平行四边形，所以，然后计算得到阴影部分的面积．【解析】解：连接，如图，四边形为平行四边形，，，，是中点，，在和中，，，，，四边形为平行四边形，，，即，，四边形为平行四边形，，阴影部分的面积．故选：B．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质：一组对边平行且相等的四边形为平行四边形；平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角线把四边形分成面积相等的四部分．6．如图，四边形为平行四边形，和平行于x轴，点A在函数上，点B、D在函数上，点C在y轴上，则四边形的面积为（）A．13 B．18 C．21 D．26【答案】C【分析】作轴于E，轴于F，轴于H，由平行四边形的性质可得，再根据反比例函数比例系数的几何意义进行求解即可．【解析】解：作轴于E，轴于F，轴于H，∵四边形为平行四边形，和平行于x轴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．7．如图，在中，，，点E、F分别在上，将四边形沿折叠得四边形，恰好垂直于，若，则的值为（

）A．3 B． C． D．【答案】C【分析】延长交于点H，根据折叠的性质、平行四边形的性质得到，，在中，得到，，由折叠的性质得到是等腰直角三角形，据此即可求解．【解析】解：延长交于点H，∵恰好垂直于，且四边形是平行四边形，∴也垂直于，由折叠的性质得，，，，∴，∴，，在中，，，∴，，∴，由折叠的性质得，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故选：C．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，证明是等腰直角三角形是解题的关键．8．如图，过对角线的交点，交于点，交于点，则：①；②图中共有4对全等三角形；③若，，则；④；其中正确的结论有（）A．①④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】C【分析】根据平行四边形的性质得出，，证明，得出，判断①，根据平行四边形是中心对称图形，得出6对全等三角形，进而判断②，根据三角形三边关系得出的取值范围，判断③，根据全等三角形的性质判断④．【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∴，，∴，∴；故①正确，由平行四边形的中心对称性，全等三角形有：，，，，，共6对，故②错误；∵，∴，∴，∴，故③正确；∵，∴；故④正确；故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质是解题的关键．9．在面积为15的平行四边形中，过点A作垂直于直线于点E，作垂直于直线于点F，若，则的值为（）A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】根据平行四边形面积求出和，有两种情况，求出的值，求出和的值，相加即可得出答案．【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，①如图：由平行四边形面积公式得：，求出，，在和中，由勾股定理得：，把代入求出，同理，即F在的延长线上（如上图），∴，，即；②如图：∵，在中，由勾股定理得：，同理，由①知：，，∴．故选：D．【点睛】此题考查了平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用．10．如图，中，对角线AC与BD相交于点E，，，将沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为，恰好，若点F为BC上一点，则的最短距离是（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】由折叠的性质，可得，，，由和，可得，由平行四边形和折叠的性质可求得，连接，易知是等边三角形，继而可得，然后根据平行四边形和折叠的性质可求得，利用勾股定理可求得，由垂线段最短可知，当时，最短，然后根据勾股定理即可求得答案.【解析】解：由折叠的性质，可得：，，，∵，∴，∴，∵，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴，∴，如图，连接，作，∴是等边三角形，∴，∵四边形ABCD是平行四边形，∴，在中，，∴，由垂线段最短可知，当时，最短，在中，，，∴，∴.故选：C.【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、折叠的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质、垂线段最短等，熟练掌握相关定理是解题的关键.二、填空题11．一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1440°．则原来多边形的边数是______．【答案】9或10或11【分析】先根据多边形的内角和公式求出截去一个角后的多边形的边数，再分情况说明求得原来多边形的解．【解析】解：设多边形截去一个角的边数为，根据题意得：又截去一个角后的多边形的边可以增加1、不变、减少1，原多边形的边数为9或10或11．【点睛】本题考查的是多边形的内角和公式，本题的易错点在于忽略考虑截去一个角后多边形的边数可以不变、增加或者减少．12．边长为整数的正多边形的周长17，则过该正多边形的一个顶点可以画______条对角线．【答案】14【分析】设正多边形的边数为（），边长为，根据边长为整数的正多边形的周长17，求出的值，根据过多边形的一个顶点的对角线的条数为，即可得解．【解析】解：设正多边形的边数为（），边长为，由题意，得：，∴，∵为整数，∴；∴过该正多边形的一个顶点可以画：条对角线；故答案为：【点睛】本题考查多边形的对角线条数．熟练掌握从多边形的一个顶点出发，可以引条对角线，是解题的关键．13．如图，在中，E，F分别在边BC，AD上，有以下条件：①；②；③．若想使四边形AFCE为平行四边形，则还需添加一个条件，这个条件可以是__________（填写相应序号）．【答案】③【分析】①和②都不能证得四边形AFCE是平行四边形；③可以采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证得．【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AB=CD，∠B=∠D，ADBC，AD=BC，如果添加①，点E的位置无法确定，无法判定四边形AFCE的形状；如果添加②，四边形AFCE可能是平行四边形或是等腰梯形；如果③，则AE//CF，∵AFCE，∴四边形AFCE是平行四边形，故③正确，故答案为：③．【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是选择适宜的证明方法：此题③采用两组对边分别平行的四边形是平行四边形．14．在平面直角坐标系中，，点D在直线上，若以A，B，C，D四点为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为______【答案】或或【分析】设点D的坐标为，然后分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，然后根据平行四边形对角线中点坐标相同建立方程组求解即可．【解析】解：设点D的坐标为，当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：，∴，∴点D的坐标为；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：，∴，∴点D的坐标为；当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知：，∴，∴点D的坐标为；综上所述，点D的坐标为或或，故答案为：或或．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．15．如图，在等边中，，射线，点E从点A出发沿射线以的速度运动，点F从点B出发沿射线以的速度运动．如果点E、F同时出发，设运动时间为t，当________s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形．【答案】或5【分析】分别从当点F在C的左侧时与当点F在C的右侧时去分析，由当时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形，可得方程，解方程即可求得答案．【解析】解：①当点F在C的左侧时，根据题意得：，，则，∵，当时，四边形是平行四边形，即，解得：；②当点F在C的右侧时，根据题意得：，，则，∵，∴当时，四边形是平行四边形，即，解得：；故答案为：或5．【点睛】此题考查了平行四边形的判定；注意掌握分类讨论思想、数形结合思想与方程思想的应用是解题的关键．16．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点在第二象限，反比例函数的图象恰好经过点，则的值为______．【答案】【分析】根据平行四边形的性质和点，，的坐标求出点的坐标，再把点的坐标代入即可求解．【解析】解：∵四边形是平行四边形，∴，，∵，，，∴，，解得，，∴，将代入并解得，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．17．如图，已知平行四边形中，AC为对角线，点E在边AB上，，垂足为F，，，，四边形的面积为28，则线段的长为___________．【答案】【分析】根据题意设，利用勾股定理得出，作，再由全等三角形的判定和性质得出，利用平行四边形的性质得出，再由等腰三角形的性质及勾股定理及四边形的面积建立方程求解即可．【解析】解：∵，∴设，∴，∵，∴，作，∴，∵，∴，∴，∵平行四边形，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，，，∵四边形的面积为28，∴，解得：（负值舍去），∴，故答案为：．【点睛】题目主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．18．四边形ABCD为平行四边形，已知AB＝，BC＝6，AC＝5，点E是BC边上的动点，现将△ABE沿AE折叠，点B′是点B的对应点，设CE长为x，若点B′落在△ADE内（包括边界），则x的取值范围为____________．【答案】≤x≤3－2【分析】如图1，当在AD上，易证由四边形为平行四边形，得到；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，利用勾股定理求出BG＝2，可得AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，可求得CE的另一个临界值，问题得解．【解析】解：如图1，当在AD上，此时，，，∴，∵ADBC，∴四边形为平行四边形，∴；如图2，过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC交BC的延长线于点H，当在DE上，此时∠AEB＝∠AEB＝∠DAE，∴DA＝DE＝，在Rt△ABG和Rt△ACG中，∴∴BG＝2，∴AG＝3＝DH，在Rt△DEH中，由勾股可得：EH＝3，∴CE＝3－2；综上：x的取值范围为：≤x≤3－2．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，翻折变换，勾股定理，找到临界状态求出x的长是解题的关键．三、解答题19．一个多边形，它的内角和比外角和的4倍多，求这个多边形的边数？并求出该多边形共可以引出几条对角线？【答案】边数是11，对角线为44条【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和是，外角和是，列出方程，求出的值，再根据对角线的计算公式即可得出答案．【解析】解：根据题意，得设这个多边形为n边形，则，解得：．对角线总条数：则这个多边形的边数是11，对角线为44条．【点睛】本题考查了对多边形内角和定理和外角和的应用，及对角线的计算公式．注意：边数是的多边形的内角和是，外角和是．20．如图，是等边三角形，是边上的高，将绕点逆时针旋转得到，连接并延长交的延长线于点，连接，，．(1)求的度数；(2)求证：四边形为平行四边形．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据等边三角形性质得，再根据旋转性质证出是等边三角形，最后根据三角形内角和定理求解即可；（2）根据含角直角三角形和等边三角形的性质得出，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可．【解析】（1）解：是等边三角形，，，，又绕点逆时针旋转得到，，，是等边三角形，，，；（2）证明：在中，，，，，即，又，四边形为平行四边形．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含角直角三角形的性质和平行四边形的判定等知识点，熟练掌握平行四边形的判定条件是解题的关键．21．观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题．(1)将下面的表格补充完整：正多边形的边数3456…∠α的度数…(2)根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)；；；；18；(2)不存在，理由见解析【分析】（1）根据多边形内角和公式求出多边形的内角和，再根据三角形内角和定理可得正边形中的；（2）根据表中的结果得出规律，根据正边形中的得出方程，求出方程的解即可．【解析】（1）解：填表如下：正多边形的边数345618的度数故答案为：，，，，18；（2）解：不存在，理由如下：假设存在正边形使得，得，解得：，又是正整数，所以不存在正边形使得．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是掌握多边形的内角和．22．在平面直角坐标系中，为原点，，点，点E是边中点，把绕点A顺时针旋转，得，点，B旋转后的对应点分别为D，C．记旋转角为．(1)如图①，当点D恰好在上时，求点D的坐标；(2)如图②，若时，求证：四边形是平行四边形．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）由题意得，由旋转的性质得，过作于，求出，，得到，进而得出答案；（2）延长交于，证是等边三角形，得出，由旋转性质得，得出，再求出，证出即可得出结论．【解析】（1）解：∵，点，∴，，∴得，由旋转的性质得，，过D作于M，如图①所示：则在中，，，∴，，；（2）证明：延长交于，如图②所示：在中，点为的中点，，，，是等边三角形，，，，由旋转的性质得，．，，由旋转的性质知，，，，，，，四边形是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的判定、坐标与图形性质、旋转的性质、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、直角三角形斜边中线的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握平行四边形的判定和旋转的性质是解题的关键．23．综合与实践【问题情境】（1）如图1，在平行四边形中，，，，的平分线分别与直线CD交于点E，F，则的长为__________；【知识拓展】（2）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．①当点E与点F重合时，求的长；②当点E与点C重合时，求的长．【综合运用】（3）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点E，F在C，D中间，且点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，如图2，图3所示，求的值．【答案】（1）2；（2）①，②；（3）的值为或【分析】（1）利用平行四边形的性质，角平分线的定义及等角对等边求出，即可求解；（2）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；②证明出即可完成求解；（3）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用，以及点C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．【解析】解：【问题情境】（1）∵，的平分线分别与直线CD交于点E，F，∴，∵四边形是平行四边形，，，∴,∴，∴，∴,∴，故答案为：2；【知识拓展】（2）①如图①所示：∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∵平分，∴，∴，∴，同理：，∵点E与点F重合，∴；②如图②所示：∵点E与点C重合，∴，∵，∴点F与点D重合，∴；【综合运用】（3）分两种情况：①如图2所示：同（2）得：，∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，∴，∴；②如图3所示：同（2）得：，∵，∴；综上所述，的值为或.【点睛】本题属于探究型应用题，综合考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等边对等角等内容，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解等，本题综合性较强，要求学生有较强的分析能力，本题涉及到的思想方法有分类讨论和数形结合的思想等．24．如图一次函数与反比例函数的图象交于，两点．(1)求一次函数和反比例函数的解析式(2)求的面积．(3)根据图象直接写出时,的取值范围;(4)已知点,设点是坐标平面内一个动点,当点,,,为顶点的四边形是平行四边形时,请直接写出符合条件的所有点的坐标.【答案】(1)；(2)8(3)或(4)点的坐标为或或【分析】（1）将代入可得m，将和代入可求出一次函数的解析式；（2）设直线与轴相交于点，根据即可求的面积；（3）观察函数图象，利用数形结合思想即可求解；（4）分三种情况，根据平行四边形的对角顶点关于对角线交点对称即可求解．【解析】（1）解：，在反比例函数的图象上，，反比例函数的解析式是．，解得，，一次函数与反比例函数的图象交于、两点．，解得，一次函数解析式为；（2）解：设直线与轴相交于点，令，得，的坐标是，，．（3）解：观察函数图象可知，当时，直线在图象的上方，另外，当时，直线在第二象限，在第三象限，因此直线在图象的上方，综上可知，当时，x的取值范围为：或；（4）解：当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中，为边时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；当平行四边形中为边，为对角线时，如下图所示，,，，即，点D的横坐标为，纵坐标为，点D的坐标为；综上，点的坐标为或或．【点睛】本题考查求反比例函数解析式、求一次函数解析式、根据图象求不等式的解集、平行四边形的性质等，第4问有一定难度，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，注意分情况讨论，避免漏解．25．如图1，中，，为上一点，交于点．(1)求证：．(2)如图2，过作交延长线于，为上一点，，连接、．求证：．(3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【分析】（1）根据，可得，再根据等腰三角形的性质可得的，从而得到，进而得到，即可；（2）先证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，进而得到，可证得，即可；（3）过点作于点P，过点F作于点Q，则，先证明，可得，从而得到，再证明，可得，然后根据是等腰直角三角形，可得到的长，即可．【解析】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2）证明：由（1）得：，∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图，过点作于点P，过点F作于点Q，则，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键．26．如图，在中，为对角线上的两点，且于点M，于点N，连结．(1)求证：四边形是平行四边形．(2)当时，，求的长．(3)在（2）的条件下，连结，将四边形沿翻折，C，D的对应点分别为，当与的一边平行（或重合）时，求的长．【答案】(1)见解析(2)(3)1或【分析】（1）利用平行四边形的性质证明可得从而可得结论；（2）先证明，再证明作交于点G，可得是等腰直角三角形，设，则，由勾股定理从而可得答案；（3）①如图，当时，与重合，连