专题08不等式及不等式组(原卷版+解析)

第08讲不等式及不等式组结合具体问题，了解不等式的意义探索不等式的基本性质能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组解集能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：不等式及其性质 3考点2：一元一次不等式解法及其解集表示 9考点3：一元一次不等式组解法及解集表示 15考点4：一元一次不等式的实际应用 22课堂总结：思维导图 34分层训练：课堂知识巩固 35

考点1：不等式及其性质①不等式及其相关概念：（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.②不等式的性质：性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，<.

｛不等式的定义★｝下列各式：①：②；③；④，不等式有个．A．1 B．2 C．3 D．4｛不等式的性质★｝若，则A． B． C． D．｛不等式的性质★｝已知实数，满足，且，，则的取值范围．

｛不等式的定义★｝现有以下数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有A．5个 B．4个 C．3个 D．1个｛不等式的性质★｝、、、四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是A． B． C． D．｛不等式的性质★｝根据不等式的性质，下列变形正确的是A．由得 B．由得 C．由得 D．由得｛不等式的性质★｝已知，且，，若，则的取值范围是．｛不等式的性质★｝已知实数，，，满足，．若，则的最大值为．｛不等式的性质★｝已知实数、满足，且，，设，则的取值范围是．（2021•临沂）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4（2019•济南）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是A． B． C． D．（2021•内江）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为．

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示①一元一次不等式定义：用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.②解法：（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.（2）解集在数轴上表示:x≥ax＞ax≤ax＜a

｛解不等式★｝已知、为常数，若的解集是，则的解集是A． B． C． D．｛不等式的解集★★｝关于的不等式组有解，则的值不可能是A．0 B．1 C． D．｛不等式的解集★★｝已知不等式组的整数解有三个，则的取值范围是A． B． C． D．｛不等式的解集★｝满足的数在数轴上表示为A． B． C． D．｛一元一次不等式的定义★｝若是关于的一元一次不等式，则的值为．

｛不等式的解集★★｝关于的不等式组无解，则的取值范围是A． B． C． D．｛不等式的解集★｝不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．｛一元一次不等式的定义★｝已知是关于的一元一次不等式，则的值为．｛不等式的解集★｝不等式的解集为．

（2021•深圳）不等式的解集在数轴上表示为A． B． C． D．（2020•天水）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为A． B． C． D．（2021•眉山）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是．

考点3：一元一次不等式组解法及解集表示①定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．②解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

｛不等式的定义★｝下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个｛不等式组的解集★★｝在关于的不等式组恰好有3个整数解，那么的取值范围是．｛不等式组的解集★★｝若关于的不等式组，恰有2个整数解，则的取值范围为．｛解不等式组★｝解下列不等式组并在数轴上表示它们的解．（1）；（2）．

｛不等式组的解集★★｝求不等式组的非负整数解．｛不等式组的解集★★｝已知不等式不等式组的整数解有3个，则的取值范围为．｛不等式组的解集★★｝若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是．｛解不等式组★｝解不等式组：．｛解不等式组★｝解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．

（2021•日照）若不等式组的解集是，则的取值范围是A． B． C． D．（2021•潍坊）不等式组的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．（2021•呼和浩特）已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是A． B． C． D．（2021•宁夏）解不等式组：．

考点4：一元一次不等式的实际应用（1）一般步骤审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

｛不等式的应用★★｝据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为元．｛不等式的应用★★｝小明同学所在班级举行了生态文明知识小竞赛，试卷一共有25道题．评分办法是答对一题记4分，不答记0分，答错一道扣2分，小明有3道题没答，但成绩超过60分，则小明至少答对了道题．｛不等式的应用★★｝为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为人．｛不等式的应用★★｝方方驾驶汽车匀速地从甲地去乙地，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时）．且全程速度限定为不超过120千米小时．若他以80千米小时的平均速度行驶，则需6小时到达目的地，若方方必须要在5小时内（包括5小时）到达乙地，那么行驶的平均速度的范围是．｛不等式的应用★★｝为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了1710个笔记本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类包裹进行邮寄，一个甲类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹里有15个笔记本、2支钢笔和7副三角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，并且甲类包裹的数量大于31个，丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为副．｛不等式的应用★★｝（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？｛不等式的应用★★｝（2020•邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进、两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，小丹准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？｛不等式的应用★★｝为响应《青岛市“互联网全民义务植树”倡议书》的号召，某校学生会组织七年级和八年级共60名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植3棵树，八年级学生平均每人植5树棵，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需名．｛不等式的应用★★｝某商店以每辆300元的进价购入100辆自行车，并以每辆360元的价格销售，一段时间后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时已售出自行车的数量至少为辆．｛不等式的应用★★｝某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打折．｛不等式的应用★★｝用长为的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度，要使靠墙的一边长不小于，那么与墙垂直的一边长的取值范围为．｛不等式的应用★★｝我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为，则最初购进灯笼对．｛不等式的应用★★｝（2019•德阳）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为型发电机和型发电机共45台，其中型发电机数量比型发电机数量多5台．（1）问甲车间每天生产、两种型号发电机各多少台？（2）乙车间每天产量为50台，其中型发电机20台，型发电机30台，现有一订单需型发电机720台和型发电机台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出所有的可能值．（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的、两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为A．1 B．2 C．3 D．4（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为6．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固1．（2022•南岸区自主招生）不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．2．（2022春•安阳县期末）将不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是A． B． C． D．3．（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是A．若，，则 B．若，则， C．若，，则 D．若，则4．（2022•余姚市模拟）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是A． B． C． D．5．（2022秋•南岗区校级期中）不等式组的解集是．6．（2022•襄州区模拟）某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪有1道题设答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是7．（2021秋•雁峰区期末）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了道题．8．（2022春•宁武县期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为．9．（2022春•鼓楼区校级期末）已知，则（用“”或“”号填空）．10．（2022•朝阳区一模）不等式组的解集为．11．（2022•信阳模拟）不等式组的最大整数解为．12．（2022•岱岳区三模）若关于的不等式可化为，则的取值范围是．1．（2022春•淮北月考）已知，下列式子不成立的是A． B． C． D．2．（2022春•沭阳县月考）对于任意实数，我们用表示不小于的最小整数．如：，，，若，则的取值范围是A． B． C． D．3．（2022春•渝中区校级月考）下列说法中错误的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则4．（2022秋•浦江县月考）若，则下列式子正确的是A． B． C． D．5．（2022秋•鄞州区期中）不等式的正整数解有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个6．（2022秋•九龙坡区期中）若关于的不等式组的解集为，且关于、的二元一次方程组的解满足，则满足条件的所有整数的和为A． B． C．0 D．37．（2022春•滨海县月考）下列说法中，错误的是A．不等式的正整数解只有一个 B．是不等式的一个解 C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的解集是8．（2022秋•九龙坡区校级月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为A．5 B．8 C．9 D．159．（2021秋•钱塘区期末）若不等式组有解，则的取值范围是A． B． C． D．10．（2022•南谯区开学）如果不等式的解集是，则的取值范围是A． B． C． D．11．（2022•南京模拟）若关于的不等式组的整数解只有3个，则的取值范围是A． B． C． D．12．（2022春•玉林期末）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有A．7种 B．6种 C．4种 D．3种13．（2022春•武邑县校级期末）已知题目：解关于的不等式组，其中“□”内的数字印刷不清，嘉淇看了标准答案后，说此不等式组无解，则“□”处不可以是A． B． C．8 D．914．（2022春•思明区校级期末）已知关于，的方程组，其中，给出下列结论：①是方程组的解；②若，则；③若，则的最小值为；④若时，则；其中正确的有A．①② B．①③ C．①②③ D．①③④15．（2022春•巩义市期末）如图所示，，，，四人在公园玩跷跷板，根据图中的情况，这四人体重从小到大排列的顺序为A． B． C． D．1．（2022春•九龙坡区校级月考）若数使关于的方程有非负数解，且关于的不等式组恰好有三个偶数解，则符合条件的所有整数的和是A． B． C． D．2．（2021秋•雁峰区期末）若不等式组的解集是，则的取值范围是A． B． C． D．3．（2022春•如东县期中）定义：表示不大于的最大整数，例如：，，．以下结论：①当时，的值是1；②；③；④是方程的唯一解，其中正确的有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个4．（2022秋•柯桥区期中）对于三个数、、的最小的数可以给出符号来表示，我们规定，，表示、、这三个数中最小的数，例如：，，，，，．若，2，，则的取值范围是A． B． C． D．5．（2022秋•坪山区校级期中）高斯函数，也称为取整函数，即表示不超过的最大整数．例如：，．则下列结论：①：②；③若，则的取值范围是；④当时，的值为0，1，2．其中正确结论的个数是A．1 B．2 C．3 D．46．（2022秋•九龙坡区校级月考）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为A．5 B．8 C．9 D．157．（2022春•玉林期末）小华去商店购买、两种玩具，共用了12元，种玩具每件1元，种玩具每件3元．若每种玩具至少买一件，且种玩具的数量不少于种玩具的数量，则小华的购买方案有A．7种 B．6种 C．4种 D．3种8．（2022春•鱼台县期末）非负数，满足，记，的最大值为，最小值，则A．6 B．7 C．14 D．219．（2019春•金牛区期末）如果关于的不等式组的整数解仅有1，2，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有个；如果关于的不等式组（其中，为正整数）的整数解仅有，，，，那么适合这个不等式组的整数，组成的有序数对共有个．（请用含、的代数式表示）10．（2019•霞山区校级自主招生）按下面程序计算，若开始输入的值为正数，最后输出的结果为656，则满足条件所有的值是．11．（2018•黔东南州模拟）某文化用品商店计划同时购进一批、两种型号的计算器，若购进型计算器10只和型计算器8只，共需要资金880元；若购进型计算器2只和型计算器5只，共需要资金380元．（1）求、两种型号的计算器每只进价各是多少元？（2）该经销商计划购进这两种型号的计算器共50只，而可用于购买这两种型号的计算器的资金不超过2520元．根据市场行情，销售一只型计算器可获利10元，销售一只型计算器可获利15元．该经销商希望销售完这两种型号的计算器，所获利润不少于620元．则该经销商有哪几种进货方案？第08讲不等式及不等式组结合具体问题，了解不等式的意义探索不等式的基本性质能解数字系数的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的不等式组解集能根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单问题★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴

TOC\o"1-1"\h\u考点1：不等式及其性质 3考点2：一元一次不等式解法及其解集表示 9考点3：一元一次不等式组解法及解集表示 15考点4：一元一次不等式的实际应用 22课堂总结：思维导图 34分层训练：课堂知识巩固 35

考点1：不等式及其性质①不等式及其相关概念：（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.②不等式的性质：性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，>；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，<.

｛不等式的定义★｝下列各式：①：②；③；④，不等式有个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】主要依据不等式的定义：用“”、“”、“”、“”、“”等不等号表示不相等关系的式子是不等式来判断．【解答】解：根据不等式的定义，只要有不等符号的式子就是不等式，所以为不等式有②；③，有2个．故选：．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．｛不等式的性质★｝若，则A． B． C． D．【分析】通过举特例用排除法即可得出答案．【解答】解：选项，如，，，故该选项不符合题意；选项，当时，，故该选项不符合题意；选项，当时，；当时，；综上所述，；故该选项符合题意；选项，当时，，故该选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了不等式的基本性质，体现了分类讨论的数学思想，分和两种情况来比较大小是解题的关键．｛不等式的性质★｝已知实数，满足，且，，则的取值范围．【分析】根据，可以得到与的关系，根据，，可以得到的取值范围，从而可以得到的取值范围．【解答】解：，且，，，解得，，，，故答案为：．【点评】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是利用数学中转化的数学思想将的取值范围转为求关于的代数式的取值范围．

｛不等式的定义★｝现有以下数学表达式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中不等式有A．5个 B．4个 C．3个 D．1个【分析】运用不等式的定义进行判断．【解答】解：③是等式，④是代数式，没有不等关系，所以不是不等式．不等式有①②⑤⑥，共4个．故选：．【点评】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：，，，，．｛不等式的性质★｝、、、四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是A． B． C． D．【分析】根据图形可得不等式组，由，可得，然后把代入中，联立可得．【解答】解：根据题意可得，由，可得，然后把代入中，可得，，，，．故选：．【点评】本题考查了不等式组的应用．解题的关键是采用代入法解不等式，并能使用统一的不等号进行连接．｛不等式的性质★｝根据不等式的性质，下列变形正确的是A．由得 B．由得 C．由得 D．由得【分析】根据不等式的性质，可得答案．【解答】解；、，时，，故不符合题意；、由得，故符合题意；、由得，故不符合题意；、由得，故不符合题意；故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，注意不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．｛不等式的性质★｝已知，且，，若，则的取值范围是．【分析】分别求得、的取值范围，然后再来求的取值范围．【解答】解：，，而，，又，①，再由得，又，，，，②，①②得：，的取值范围是，故答案为：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握不等式的基本性质是解答本题的关键．｛不等式的性质★｝已知实数，，，满足，．若，则的最大值为34．【分析】由得，与相加得，由及，可得的最大值为16，从而得出的最大值．【解答】解：由得，由得，及，，的最大值为16，的最大值．故答案为：34．【点评】本题考查了不等式的性质运用．关键是由已知等式得出的表达式，再求最大值．｛不等式的性质★｝已知实数、满足，且，，设，则的取值范围是．【分析】先把变形得到，由得到，解得，所以的取值范围为，再用变形得到，然后利用一次函数的性质确定的范围．【解答】解：，，，，解得，又，，，当时，；当时，，．故答案为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式，基本步骤为：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．也考查了代数式的变形和一次函数的性质．（2021•临沂）已知，下列结论：①；②；③若，则；④若，则，其中正确的个数是A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．【解答】解：，当时，，当时，，当时，，故①结论错误，当时，，当时，，当时，，故②结论错误；，，，故③结论错误；，，，，故④结论正确；正确的个数是1个．故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质的内容是解此题的关键．（2019•济南）实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列关系式不成立的是A． B． C． D．【分析】根据数轴判断出、的正负情况以及绝对值的大小，然后解答即可．【解答】解：由图可知，，且，，，，，关系式不成立的是选项．故选：．【点评】本题考查了实数与数轴，实数的大小比较，利用了两个负数相比较，绝对值大的反而小．（2021•内江）已知非负实数，，满足，设的最大值为，最小值为，则的值为．【分析】设，则，，，可得；利用，，为非负实数可得的取值范围，从而求得，的值，结论可求．【解答】解：设，则，，，．，，为非负实数，，解得：．当时，取最大值，当时，取最小值．，．．故答案为：．【点评】本题主要考查了不等式的性质，非负数的应用，设是解题的关键．

考点2：一元一次不等式解法及其解集表示①一元一次不等式定义：用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.②解法：（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.（2）解集在数轴上表示:x≥ax＞ax≤ax＜a

｛解不等式★｝已知、为常数，若的解集是，则的解集是A． B． C． D．【分析】根据的解集是得出且，求出，把代入得出根据求出，再求出不等式的解集即可．【解答】解：的解集是，且，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的性质，能求出和是解此题的关键．｛不等式的解集★★｝关于的不等式组有解，则的值不可能是A．0 B．1 C． D．【分析】由题意可得，，对比选项即可得出答案．【解答】解：不等式组有解，，，，，，的值不可能是．故选：．【点评】本题主要考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的应用是解决本题的关键．｛不等式的解集★★｝已知不等式组的整数解有三个，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据不等式组的整数解有三个，确定出的范围即可．【解答】解：不等式组的整数解有三个，，故选：．【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式解集的确定方法是解本题的关键．｛不等式的解集★｝满足的数在数轴上表示为A． B． C． D．【分析】表示不等式与不等式的公共部分．实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，大于向右小于向左．两个不等式的公共部分就是不等式组的解集．【解答】解：由于，所以表示的点应该是空心点，折线的方向应该是向右．由于，所以表示1的点应该是实心点，折线的方向应该是向左．所以数轴表示的解集为：故选：．【点评】此题考查了在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集．在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．｛一元一次不等式的定义★｝若是关于的一元一次不等式，则的值为1．【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．【解答】解：是关于的一元一次不等式，，解得，故答案为：1．【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．

｛不等式的解集★★｝关于的不等式组无解，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】关于的不等式组无解，根据：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了，求出的取值范围是多少即可．【解答】解：关于的不等式组无解，则的取值范围是．故选：．【点评】此题主要考查了不等式的解集，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．｛不等式的解集★｝不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．【分析】根据不等式解集的表示方法，可得答案．【解答】解：由，得，故选：．【点评】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆点表示．｛一元一次不等式的定义★｝已知是关于的一元一次不等式，则的值为．【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可．【解答】解：是关于的一元一次不等式，，解得．故答案为：．【点评】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．｛不等式的解集★｝不等式的解集为．【分析】不等式移项，合并，把系数化为1，即可求出解集．【解答】解：不等式，移项得：，解得：．故答案为：．【点评】此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．

（2021•深圳）不等式的解集在数轴上表示为A． B． C． D．【分析】先移项、合并同类项解出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可．【解答】解：因为，所以，在数轴上表示为：故选：．【点评】此题考查一元一次不等式的解法及在数轴上表示不等式的解集，关键是解出不等式的解集．（2020•天水）若关于的不等式只有2个正整数解，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】先解不等式得出，根据不等式只有2个正整数解知其正整数解为1和2，据此得出，解之可得答案．【解答】解：，，则，不等式只有2个正整数解，不等式的正整数解为1、2，则，解得：，故选：．【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式的基本步骤和依据，并根据不等式的整数解的情况得出某一字母的不等式组．（2021•眉山）若关于的不等式只有3个正整数解，则的取值范围是．【分析】首先解关于的不等式，求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解，即可得到一个关于的不等式组求得的范围．【解答】解：解不等式得：，根据题意得：，即，故答案是：．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解．正确解不等式，求出正整数是解答本题的关键．解不等式应根据不等式的基本性质．

考点3：一元一次不等式组解法及解集表示①定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．②解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分

｛不等式的定义★｝下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】利用一元一次不等式组定义解答即可．【解答】解：①是一元一次不等式组；②是一元一次不等式组；③含有两个未知数，不是一元一次不等式组；④是一元一次不等式组；⑤，未知数是3次，不是一元一次不等式组，其中是一元一次不等式组的有3个，故选：．【点评】此题主要考查了一元一次不等式组，关键是掌握几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．｛不等式组的解集★★｝在关于的不等式组恰好有3个整数解，那么的取值范围是．【分析】表示出不等式组的解集，根据不等式组恰好有3个整数解，确定出的范围即可．【解答】解：不等式组整理得，关于的不等式组恰好有3个整数解，整数解为0，1，2，，解得：．故答案为：．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解本题的关键．｛不等式组的解集★★｝若关于的不等式组，恰有2个整数解，则的取值范围为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组整数解的个数可得答案．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，不等式组的整数解有2个，，故答案为：．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．｛解不等式组★｝解下列不等式组并在数轴上表示它们的解．（1）；（2）．【分析】（1）先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可；（2）先根据不等式的性质求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可．【解答】解：（1），解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是，在数轴上表示为：；（2），解不等式①，得，解不等式②，得，所以不等式组的解集是，在数轴上表示为：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．

｛不等式组的解集★★｝求不等式组的非负整数解0、1、2．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，所以不等式组的非负整数解为0、1、2．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．｛不等式组的解集★★｝已知不等式不等式组的整数解有3个，则的取值范围为．【分析】分别求出每个不等式的解集，再根据不等式整数解的个数可得关于的不等式组，解之即可．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的整数解有3个，，解得，故答案为：．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．｛不等式组的解集★★｝若关于的一元一次不等式组恰有3个整数解，则的取值范围是．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据不等式组的整数解个数得到关于的不等式组，解之即可．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组恰有3个整数解，整数解为2、1、0，，解得，故答案为：．【点评】本题考查的是一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．｛解不等式组★｝解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．｛解不等式组★｝解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：，解不等式①得，解不等式②得，不等式组的解集为．将不等式的解集表示在数轴上如下：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

（2021•日照）若不等式组的解集是，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，且不等式组的解集为，，故选：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（2021•潍坊）不等式组的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为，故选：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．（2021•呼和浩特）已知关于的不等式组无实数解，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】分别解两个不等式，根据不等式组无实数解，得到关于的不等式，解之即可．【解答】解：解不等式得：，解不等式得：，关于的不等式组无实数解，，解得：，故选：．【点评】本题考查一元一次不等式组的解，正确找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．（2021•宁夏）解不等式组：．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，则不等式组的解集为．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．

考点4：一元一次不等式的实际应用（1）一般步骤审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案

｛不等式的应用★★｝据了解，受国庆节期间火爆上映的六部影片的影响，而其相关著作也受到广大书迷朋友的追捧．已知某网上书店《长津湖》的销售单价与《我和我的父辈》相同，《铁道英雄》的销售单价是《五个扑水的少年》单价的3倍，《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元；若自电影上映以来，《长津湖》与《五个扑水的少年》的日销售量相同，《我和我的父辈》的日销售量为《铁道英雄》日销售量的3倍，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，且《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，则当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，《长津湖》的单价为28.75元．【分析】设出未知数，表示四部小说的单价、数量、总价，分别根据题意，列出相应的方程或不等式，确定未知数的值，或未知数的取值范围，最后根据“当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时”求出相应的《长津湖》的单价即可．【解答】解：设《长津湖》的单价为元本，《五个扑火的少年》单价为元本，则《我和我的父辈》的单价也为元本，《铁道英雄》的单价为元本，设《长津湖》的销售量为本，《铁道英雄》的销售量为本，则《五个扑火的少年》的销售量为本，《我和我的父辈》的销售量为本，单价、数量、总价之间的关系可用下表表示：《长津湖》与《铁道英雄》的日销售量和为450本，，即，，《长津湖》的日销售量不低于《铁道英雄》的日销售量的且小于230本，，，，，又《长津湖》与《五个扑水的少年》的单价和大于50元且不超过60元，，《长津湖》与《铁道英雄》的日销售额之和比《我和我的父辈》、《五个扑水的少年》的日销售额之和多2205元，，即：，，，，即，当《长津湖》、《铁道英雄》这两部小说日销售额之和最多时，即最大，也就是的值最小，此时最大，的最小值为180，代入，得，，即，又，即，，需取最大值，，故答案为：28.75．【点评】考查一次函数、一元一次不等式的应用等知识，根据题意设未知数，建立相应的方程和不等式求出未知数的值或取值范围是解决问题的关键．｛不等式的应用★★｝小明同学所在班级举行了生态文明知识小竞赛，试卷一共有25道题．评分办法是答对一题记4分，不答记0分，答错一道扣2分，小明有3道题没答，但成绩超过60分，则小明至少答对了18道题．【分析】小明答对了道题，则答错了道题，根据总分答对题目数答错题目数结合成绩超过60分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中最小正整数即可得出结论．【解答】解：设小明答对了道题，则答错了道题，依题意，得：，解得：．为正整数，的最小值为18．故答案为：18．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．｛不等式的应用★★｝为了加强学生的交通意识，保证学生的交通安全，某附中和交警大队联合举行了“交通志愿者”活动，选派部分同学和家长志愿者到学校东门和南门的若干个交通路口协助警察维持交通秩序，若每个路口安排4人，那么每个路口安排完后还剩下18人，若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人，则这个中学一共选派的同学和家长志愿者的总人数为50人．【分析】设共到个交通路口协助警察维持交通秩序，则选派的同学和家长志愿者的总人数为人，根据“若每个路口安排6人，那么每个路口安排完后还剩下人数不足4人，若每个路口安排7人，只有最后一个路口不足7人”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，结合为整数即可确定的值，再将其代入中即可求出结论．【解答】解：设共到个交通路口协助警察维持交通秩序，则选派的同学和家长志愿者的总人数为人，依题意得：，解得：．又为整数，，．故答案为：50人．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．｛不等式的应用★★｝方方驾驶汽车匀速地从甲地去乙地，设小汽车的行驶时间为（单位：小时），行驶速度为（单位：千米小时）．且全程速度限定为不超过120千米小时．若他以80千米小时的平均速度行驶，则需6小时到达目的地，若方方必须要在5小时内（包括5小时）到达乙地，那么行驶的平均速度的范围是．【分析】由方方必须要在5小时内（包括5小时）到达乙地且全程速度限定为不超过120千米小时，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出行驶的平均速度的范围．【解答】解：依题意得：，解得：．故答案为：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．｛不等式的应用★★｝为支持贫困山区的希望工程，某学校组织学生准备了1710个笔记本，664支钢笔及若干副三角板．学生们将这些学习用品分成了甲、乙、丙三类包裹进行邮寄，一个甲类包裹里有10个笔记本、8支钢笔和6副三角板，一个乙类包裹里有15个笔记本、2支钢笔和7副三角板，一个丙类包裹里有20本笔记本、8支钢笔和10副三角板．已知甲、乙、丙三类包裹都为正整数，并且甲类包裹的数量大于31个，丙类包裹的数量大于33个，那么所有包裹里三角板的总数为870副．【分析】设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，由准备了1710个笔记本，664支钢笔列出、、的三元一次方程组，用表示、，进而由的取值范围和列出的不等式组求的取值范围，再根据、与的关系式和、为正整数求得的整数值，从而求出、的值，再进行计算即可．【解答】解：设甲类包裹有个，乙类包裹有个，丙类包裹有个，根据题意得：，②①得，解得：，将代入②得：，，，，，解得：，为正整数，且为正整数，，，所有包裹里三角板的总数为：（副．故答案为：870．【点评】本题主要考查了一元一次不等式组及三元一次方程组的应用，关键是正确列出不等式组和方程组，正确求不定方程的特殊解．｛不等式的应用★★｝（2021•黑龙江）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具．已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元．（1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？（2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，设购进甲种农机具件，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？（3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，该粮食生产基地计划将节省的资金全部用于再次购买甲、乙两种农机具（可以只购买一种）请直接写出再次购买农机具的方案有哪几种？【分析】（1）设购进1件甲种农机具万元，乙种农机具万元．由题意：1件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元，列出方程组求解即可．（2）根据甲、乙两农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元又不超过12万元，列出不等式组求解．总资金甲农机具的总费用乙农机具的总费用；（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，由题意得，求出其整数解即可得出结果．【解答】解：设购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元．根据题意得：，解得，答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元．（2）设购进甲种农机具件，购进乙种农机具件，根据题意得：，解得：．为整数．可取5、6、7．有三种方案：方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件．方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件．方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件．设总资金为万元．．，随着的减少而减少，时，（万元）．方案一需要资金最少，最少资金是10万．（3）设节省的资金用于再次购买甲种农机具件，乙种农机具件，由题意得：，其整数解：或，节省的资金全部用于再次购买农机具的方案有两种：方案一：购买甲种农机具0件，乙种农机具15件．方案二：购买甲种农机具3件，乙种农机具7件．【点评】本题考查二元一次方程组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出等式关系式即可求解．考察一元一次不等式组的应用，利用题目的已知条件列出不等式关系式．利用一次函数的性质解决极值问题．｛不等式的应用★★｝（2020•邵阳）2020年5月，全国“两会”召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，小丹准备购进、两种类型的便携式风扇到地摊一条街出售．已知2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元．（1）求型风扇、型风扇进货的单价各是多少元？（2）小丹准备购进这两种风扇共100台，根据市场调查发现，型风扇销售情况比型风扇好，小丹准备多购进型风扇，但数量不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元．根据以上信息，小丹共有哪些进货方案？【分析】（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，根据“2台型风扇和5台型风扇进价共100元，3台型风扇和2台型风扇进价共62元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，根据“购进型风扇不超过型风扇数量的3倍，购进、两种风扇的总金额不超过1170元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为正整数即可得出各进货方案．【解答】解：（1）设型风扇进货的单价是元，型风扇进货的单价是元，依题意，得：，解得：．答：型风扇进货的单价是10元，型风扇进货的单价是16元；（2）设购进型风扇台，则购进型风扇台，依题意，得：，解得：，又为正整数，可以取72、73、74、75，小丹共有4种进货方案，方案1：购进型风扇72台，型风扇28台；方案2：购进型风扇73台，型风扇27台；方案3：购进型风扇74台，型风扇26台；方案4：购进型风扇75台，型风扇25台．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．

｛不等式的应用★★｝为响应《青岛市“互联网全民义务植树”倡议书》的号召，某校学生会组织七年级和八年级共60名同学参加植树活动，七年级学生平均每人植3棵树，八年级学生平均每人植5树棵，为了保证植树总数不少于220棵，则八年级学生参加活动的人数至少需20名．【分析】设需要八年级名学生参加活动，则参加活动的七年级学生为名，由植树总数不少于220棵，建立不等式求出其解即可．【解答】解：设需要八年级名学生参加活动，则参加活动的七年级学生为个，由题意，得，解得：．至少需要20个八年级学生参加活动．故答案为：20．【点评】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，解答时由植树总数不少于220棵建立不等式是关键．｛不等式的应用★★｝某商店以每辆300元的进价购入100辆自行车，并以每辆360元的价格销售，一段时间后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，这时已售出自行车的数量至少为84辆．【分析】设已售出辆自行车，两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，等量关系为：销售收入总成本，列出不等式即可．【解答】解：设两个月后自行车的销售款已超过这批自行车的进货款，已售出辆自行车，由题意得：，解得：，因为取整数，所以，故答案为84．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系，属于基础题．｛不等式的应用★★｝某种商品的进价为1000元，出售时标价为1500元，由于该商品积压，商店决定打折出售，但要保证利润率不低于，则至多可打八折．【分析】设该商品打折销售，利用利润标价折扣率进价，结合要保证利润率不低于，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出该商品至多可打八折．【解答】解：设该商品打折销售，依题意得：，解得：，该商品至多可打八折．故答案为：八．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．｛不等式的应用★★｝用长为的铁丝围成如图所示的图形，一边靠墙，墙的长度，要使靠墙的一边长不小于，那么与墙垂直的一边长的取值范围为．【分析】先设与墙垂直的一边的长为米，根据铁丝长40米，墙的长度米，靠墙的一边不小于25米，列出不等式组，求出的取值范围即可．【解答】解：设与墙垂直的一边的长为米，根据题意得：，解得：；故答案为：；【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意本题要用数形结合思想．｛不等式的应用★★｝我国过年历史悠久，在传承发展中已形成了一些较为固定的习俗，有许多还相传至今，如买年货、扫尘、贴对联、吃年夜饭、守岁、拜岁、拜年、舞龙舞狮、拜神祭祖、祈福攘灾、游神、押舟、庙会、游锣鼓、游标旗、上灯酒、赏花灯等．某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，灯笼的对数正好是“福”字贴画数量的，每张“福”字贴画进价是4元，每对灯笼的进价是50元（灯笼成对出售），商店将“福”字贴画以高出进价的售出，将灯笼每对按高出进价的售出，最后留下了35件物品未卖出，并把这批物品免费送给了自己的亲戚朋友，最后商店经过计算总利润率为，则最初购进灯笼41对．【分析】根据题意，可以设最初购进灯笼对，则购进“福”字贴画为件，留下的35件物品有对灯笼，有件“福”字，然后再根据题意题意，即可列出相应的不等式组，从而可以求得最初购进灯笼多少对．【解答】解：设最初购进灯笼对，则购进“福”字贴画为件，留下的35件物品有对灯笼，有件“福”字，某商店新进一批“福”字贴画和数对灯笼（灯笼一对为2件），共超过250件但不超过300件，，解得，为整数，，灯笼和“福”字的总进价为：（元，每对灯笼的售价为：（元，“福”字的单价是：（元个），总的售价为：（元，最后商店经过计算总利润率为，，解得，，，解得，为整数，，当时，（舍去）；当时，，由上可得，最初购进灯笼41对，故答案为：41．【点评】本题考查一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式组，利用不等式的性质解答．｛不等式的应用★★｝（2019•德阳）某机电厂有甲乙两个发电机生产车间，甲车间每天产量为型发电机和型发电机共45台，其中型发电机数量比型发电机数量多5台．（1）问甲车间每天生产、两种型号发电机各多少台？（2）乙车间每天产量为50台，其中型发电机20台，型发电机30台，现有一订单需型发电机720台和型发电机台，但由于受原材料供应限制，两车间不能同时生产，厂里决定由甲乙两车间先后用30天完成订单任务，求甲车间至少需安排生产多少天？由于甲车间还有其他生产任务，最多只能安排27天参加此订单生产，求出所有的可能值．【分析】（1）设甲车间每天生产型号发电机台，则每天生产型号发电机台，根据甲车间每天生产的型发电机数量比型发电机数量多5台，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设甲车间需安排生产天，则乙车间需安排生产天，根据工作总量工作效率工作时间结合生产型发电机不少于720台，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，结合甲车间最多安排27天参加生产可得出甲车间可能生产的天数，再结合即可求出结论．【解答】解：（1）设甲车间每天生产型号发电机台，则每天生产型号发电机台，依题意，得：，解得：，．答：甲车间每天生产型号发电机25台，每天生产型号发电机20台．（2）设甲车间需安排生产天，则乙车间需安排生产天，依题意，得：，解得：，甲车间至少安排生产24天．甲车间最多安排27天参加生产，甲车间可以生产的天数为24，25，26，27．，所有的可能值为660，650，640，630．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．（2021•攀枝花）某学校准备购进单价分别为5元和7元的、两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】设购进种笔记本为本，则购进种笔记本为本，由题意：种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，列出不等式组，解不等式组，取正整数解即可．【解答】解：设购进种笔记本为本，则购进种笔记本为本，由题意得：，解得：，为正整数，的取值为34，、35、36、37，则不同的购买方案种数为4种，故选：．【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，找出数量关系，列出一元一次不等式组是解题的关键．（2020•宁夏）《西游记》、《三国演义》、《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某兴趣小组阅读四大名著的人数，同时满足以下三个条件：（1）阅读过《西游记》的人数多于阅读过《水浒传》的人数；（2）阅读过《水浒传》的人数多于阅读过《三国演义》的人数；（3）阅读过《三国演义》的人数的2倍多于阅读过《西游记》的人数．若阅读过《三国演义》的人数为4，则阅读过《水浒传》的人数的最大值为6．【分析】设阅读过《西游记》的人数是，阅读过《水浒传》的人数是，均为整数），根据给定的三个条件，即可得出关于，的二元一次不等式组，结合，均为整数即可得出的取值范围，再取其中最大的整数值即可得出结论．【解答】解：设阅读过《西游记》的人数是，阅读过《水浒传》的人数是，均为整数），依题意，得：，，均为整数，最大可以取6．故答案为：6．【点评】本题考查二元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出二元一次不等式组是解题的关键．（2019•福建）某工厂为贯彻落实“绿水青山就是金山银山“的发展理念，投资组建了日废水处理量为吨的废水处理车间，对该厂工业废水进行无害化处理．但随着工厂生产规模的扩大，该车间经常无法完成当天工业废水的处理任务，需要将超出日废水处理量的废水交给第三方企业处理．已知该车间处理废水，每天需固定成本30元，并且每处理一吨废水还需其他费用8元；将废水交给第三方企业处理，每吨需支付12元．根据记录，5月21日，该厂产生工业废水35吨，共花费废水处理费370元．（1）求该车间的日废水处理量；（2）为实现可持续发展，走绿色发展之路，工厂合理控制了生产规模，使得每天废水处理的平均费用不超过10元吨，试计算该厂一天产生的工业废水量的范围．【分析】（1）求出该车间处理35吨废水所需费用，将其与370比较后可得出，根据废水处理费用该车间处理吨废水的费用第三方处理超出部分废水的费用，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；（2）设一天产生工业废水吨，分及两种情况考虑，利用每天废水处理的平均费用不超过10元吨，可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出结论．【解答】解：（1）（元，，．依题意，得：，解得：．答：该车间的日废水处理量为20吨．（2）设一天产生工业废水吨，当时，，解得：；当时，，解得：．综上所述，该厂一天产生的工业废水量的范围为．【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．

课堂总结：思维导图

分层训练：课堂知识巩固1．（2022•南岸区自主招生）不等式的解集在数轴上表示正确的是A． B． C． D．【分析】根据在数轴上表示的不等式的解集的方法得出答案即可．【解答】解：不等式的解集在数轴上表示为：故选：．【点评】本题考查在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解集在数轴上的表示方法是正确判断的前提．2．（2022春•安阳县期末）将不等式组的解集在数轴上表示出来正确的是A． B． C． D．【分析】分别表示出不等式组的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．【解答】解：不等式组，由①得：，由②得：，不等式组的解集为，数轴表示为：．故选：．【点评】此题考查了解一元一次方程组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．3．（2022•禅城区校级三模）下列结论中，正确的是A．若，，则 B．若，则， C．若，，则 D．若，则【分析】根据不等式的基本性质判断，选项；根据有理数的乘法法则判断，选项．【解答】解：选项，当时不成立，故该选项不符合题意；选项，也可能是，，故该选项不符合题意；选项，若，，则，故该选项符合题意；选项，当时不成立，故该选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．4．（2022•余姚市模拟）北京2022冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”受到大家的喜爱，某网店出售这两种吉祥物礼品，售价如图所示．小明妈妈一共买10件礼品，总共花费不超过900元，如果设购买冰墩墩礼品件，则能够得到的不等式是A． B． C． D．【分析】设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融礼品件，根据“冰墩墩单价冰墩墩个数雪容融单价雪容融个数”可得不等式．【解答】解：设购买冰墩墩礼品件，则购买雪容融礼品件，根据题意，得：，故选：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是理解题意，找到其中蕴含的不等关系．5．（2022秋•南岗区校级期中）不等式组的解集是．【分析】先求出每个一元一次不等式的解集，再求出它们的公共部分即为不等式组的解集．【解答】解：，解①得：，解②得：，不等式组的解集为．故答案为：．【点评】本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的解法步骤并正确求解是关键．6．（2022•襄州区模拟）某次知识竞赛一共有20道题，答对一题得5分，不答得0分，答错扣2分．小聪有1道题设答，竞赛成绩超过80分，则小聪至少答对的题数是17道．【分析】设小聪答对了道题，则答错道题，利用竞赛成绩答对题目数答错题目数，结合竞赛成绩超过80分，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，再取其中的最小整数值即可得出结论．【解答】解：设小聪答对了道题，则答错道题，依题意得：，解得：，又为正整数，的最小值为17，即小聪至少答对的题数是17道．故答案为：17道．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．7．（2021秋•雁峰区期末）一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），则他至少答对了24道题．【分析】设小明答对了道题，由题意：一次普法知识竞赛共有30道题，规定答对一题得4分，答错或者不答扣一分，在这次竞赛中小明获得优秀（不低于90分），列出一元一次不等式，解不等式即可．【解答】解：设小明答对了道题，由题意得：，解得：，即小明至少答对了24道题，故答案为：24．【点评】本题考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．8．（2022春•宁武县期末）已知是关于的一元一次不等式，则的值为2．【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出的值．【解答】解：不等式是关于的一元一次不等式，，且，解得：（舍去）或，则的值为2，故答案为：2．【点评】此题考查的是一元一次不等式，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．9．（2022春•鼓楼区校级期末）已知，则（用“”或“”号填空）．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：，．故答案为：．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质，不等式两边同时乘（或除以）同一个负数时，不等号方向的改变是解题的关键．10．（2022•朝阳区一模）不等式组的解集为．【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．【解答】解：由，得：，由，得：，不等式组的解集为，故答案为：．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．11．（2022•信阳模拟）不等式组的最大整数解为1．【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大的整数解即可．【解答】解：不等式组整理得：，解得：，则不等式组的最大整数解为1．故答案为：1．【点评】此题考查了一元一次不等式组的整数解，正确求出不等式组的解集是解本题的关键．12．（2022•岱岳区三模）若关于的不等式可化为，则的取值范围是．【分析】根据不等式的性质，不等式的两边都除以，不等号方向发生改变，所以得到，求出即可．【解答】解：关于的不等式可化为，，．故答案为：．【点评】本题主要考查对解一元一次不等式，不等式的性质等知识点的理解和掌握，能根据不等式的解集得出是解此题的关键．1．（2022春•淮北月考）已知，下列式子不成立的是A． B． C． D．【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：、在不等式的两边同时加上1得，原变形成立，故此选项不符合题意；、在不等式的两边同时加上100得，原变形成立，故此选项不符合题意；、在不等式的两边同时乘以得，原变形不成立，故此选项符合题意；、在不等式的两边同时除以2022得，原变形成立，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了不等式的性质，掌握①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变是解题的关键．2．（2022春•沭阳县月考）对于任意实数，我们用表示不小于的最小整数．如：，，，若，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据表示不小于的最小整数，可得，然后进行计算即可解答．【解答】解：，，，，故选：．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，实数大小比较，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．（2022春•渝中区校级月考）下列说法中错误的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则【分析】根据不等式的性质判断即可．【解答】解：．若，则，正确，故本选项不合题意；．若，则，正确，故本选项不合题意；．若，当时，，错误，故本选项符合题意；．若，则，正确，故本选项