2020-2021学年×××学校高一（下）期末数学试卷（理科）（解析版）

2020-2021学年XXX学校高一（下）期末数学试卷（理科）

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

x2+5

1.函数的最小值为（）

_5

A.2B.2c.iD.不存在

2.数列｛aj中，ai=-1,an+i=an-3,则ag等于（）

A.-7B.-8C.-22D・27

AB+BC

3.若aABC外接圆的面积为25TI,则sin（A+B）+sin（B+C）=（）

A.5B.10C.15D.20

4.若aABC是边长为a的正三角形，则标•BC=（）

11

A.2a2B.~~2a2C.a2D.-a2

5.若等差数列｛aj的前15项和为5TI,则cos（34+312）=（）

12/31返

A.-2B.2C.2D.土2

.1

6.已知cos（a-一1）,则sin2a的值为（）

31317_7

A.~32B--32c.D.8

7.已知。为aABC内一点，若对任意kwR有|丞+（k-1）而-k0C|>|0A-0C

则△ABC一定是（）

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

8.在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为（）

△K

倒粮,阳

A.2V2B.V5C.3D.2V5

_———32

9.已知向量a=（3,-2）,b=（x,丫-1）旦0〃15,若x,y均为正数，则学"+]的最

小值是（）

A.—B.—C.8D.24

33

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正

方形，侧面PAD,底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC,贝D点M

在正方形ABCD内的轨迹的长度为（）

A.娓B.272C.nD.

11.给定正数p,q,a,b,c,其中pWq,若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列,

则一元二次方程bx?-2ax+c=0（）

A.无实根B.有两个相等实根

C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根

12.正方体ABCD-A|B]CiD|中，M,N,Q分别是棱DiG，A〕D],BC的中点，点P在

对角线BD|上，给出以下命题：

①当P在BDi上运动时，恒有MN〃面APC；

BPo

②若A,P,M三点共线，则加一二,

BPo

③若前;=管，贝ICQ〃面APC；

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB.

和AQ1所成的角都为60。的直线有n条，则m+n=7.

其中正确命题的个数为（）

二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共20分)

13.cosl400+2sinl300sinl00=.

14.如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢

筋网围成，设每间虎笼的长为xm,宽为ym,现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面

积最大，则区=

15.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点，则直线BE

与平面PAC所成的角为.

16.已知a,b,c为正实数，给出以下结论：

,2

①若a-2b+3c=0,则上一的最小值是3；

ac

②若a+2b+2ab=8,则a+2b的最小值是4；

③若a(a+b+c)+bc=4,则2a+b+c的最小是2近；

④若a2+b2+c2=4,则逐ab+J^bc的最大值是26.

其中正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量(a+c,b)与向量［=

(a-c,b-a)互相垂直.

(1)求角C；

(2)求sinA+sinB的取值范围.

18.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，

(1)求证：BD〃截面PQMN；

(2)若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角.

19.已知数列数J的前项和为Sn.若ai=Lan=3Sn.1+4(n>2).

(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)令bn=log2-^g，Cn=―其中nWN+,记数列&｝的前项和为Tn.求Tn+"^•的值.

72n+12n

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=Z

ABC=90。，E是CD的中点.

(1)证明：CD,平面PAE；

(2)若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P

-CD-A的正切值.

21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若f(x)>0的解集为｛x-3VxV4｝,解关于x的不等式bx?+2ax-(c+3b)<0.

(2)若对任意x£R,不等式f(x)22ax+b恒成立，求■■的最大值.

a'+d

22.函数f(x)满足：对任意a,peR,都有f数0)=af(P)+pf(a),且f(2)=2,数

列｛aj满足a产f(2n)(n£N+).

(1)求数列｛aj的通项公式；

aabnI

(2)令1),cn=----,记Tn=—(ci+c2+...+cn)(n£N+).问：是否存在正

nnLin

整数M,使得当n>M时，不等式储,-■恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；

42

若不存在，请说明理由.

2020-2021学年XXX学校高一（下）期末数学试卷（理

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

2+5

1.函数f（x）=X-/不--的最小值为（）

G+4

A.2B.C.1D.不存在

【考点】函数的最值及其几何意义.

x2+5

【分析】要求函数f（求=-自型的最小值,本题形式可以变为用基本不等式求函数最值,

3+4

用此法时要注意验证等号成立的条件是不是具备.

2+5

【解答】解：由于£6）=看X上=■=X2+4+I\

VA4心+4

令t=yx2+4,则t?2,f(t)=tJ在(2,+8)上单调递增,

f（x）=j的最小值为:堤

VX2+42

故选B.

2.数列｛aj中，ai=-1,an+i=an-3,则ag等于（）

A.-7B.-8C.-22D.27

【考点】等差数列：等差数列的通项公式.

【分析】数列｛a/中,aj=-1,an+f=an-3,可得an+i-厮=-3,利用递推式求出a8,从而

求解；

【解答】解：；数列｛aj中，ai=-1,an+1=an-3,

♦,an+lan=-3,

•*•32-31=-3,

a3-a2=-3,

ag-a7=-3,

进行叠加：a8-ai=-3X7,

a§=-21+1=-22,

故选C；

3.若AABC外接圆的面积为25n,则.小黑：行小=()

sin(A+B)+sin(B+C)

A.5B.10C.15D.20

【考点】正弦定理：运用诱导公式化简求值.

【分析】由已知及圆的面积公式可求三角形的外接圆的半径为R,由正弦定理可得

AB=10sinC,BC=10sinA,从而利用三角形内角和定理化简所求即可得解.

【解答】解：「△ABC外接圆的面积为25n,

设三角形的外接圆的半径为R,则nR2=25n,解得：R=5,

由正弦定理可得：吗=K=2R=10,

sinCsinA

.\AB=10sinC,BC=10sinA,

・______AB+BC________lOsinC+lOsinA_lO(sinC+sinA)_]0

sin(A+B)+sin(B+C)sinC+sinAsinC+sinA

故选：B.

4.若AABC是边长为a的正三角形，则标•丈二()

A.—a2B.--a2C.a2D.-a2

22

【考点】平面向量数量积的运算.

【分析】根据屈、前的夹角为120。，再利用两个向量的数量积的定义，求得要求式子的值.

2

【解答】解：•••△ABC是边长为a的正三角形，则标•前=a・a・cos=一5一，

故选：B.

5.若等差数列｛aj的前15项和为5n,则cos(34+312)=()

A.-1B.C.—D.土返

2222

【考点】等差数列的通项公式.

__71

【分析】lilS15=^(a1+a15)=^(a4+a^^-5,求出冗，由此能求出

COS(34+ai2)的值.

【解答】解：,••等差数列凡｝的前15项和为571,

S]5喏⑸+文)吟区+&12)=5冗，

•X上1T

・•aq+a]2一3八,

27TJT冗1

cos(04+212)=cos———二cos(兀一一—)=-cos----=--.

3332

故选：A.

JT1

6.已知cos(a------)=—,则sin2a的值为()

44

7

C.--D.

88

【考点】二倍角的余弦；运用诱导公式化简求值.

TT

【分析】先利用余弦的二倍角公式求得cos[2(a-0)]的值，进而利用诱导公式求得答

4

案.

3TTT17JT

【解答】解：cos[2(a----)]=2cos2(a-——)-1=2X(―)2-1=--=cos(2a-----)

44482

=sin2a.

n7

/.sin2a=cos(2a------)--------

28

故选C

7.已知。为AABC内一点，若对任意kwR有|布+(k-1)而-k枳示-枳，则

△ABC一定是()

A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.以上均有可能

【考点】三角形的形状判断.

【分析】根据题意画出图形，在边BC上任取一点E,连接AE,根据已知不等式左边绝对

值里的几何意义可得1<前=前，再利用向量的减法运算法则化简，根据垂线段最短可得AC

与EC垂直，进而确定出三角形为直角三角形.

【解答】解：从几何图形考虑：

忘-k箴1序I的几何意义表示：在BC上任取一点E,可得14箴=瓦，

•"-1BA-kBCl=lBA-BEI=IEAI>ICA1'

又点E不论在任何位置都有不等式成立，

•••由垂线段最短可得ACLEC,即NC=90。，

则4ABC一定是直角三角形.

故选A

8.在三视图如图的多面体中，最大的一个面的面积为()

△K

/年图角观图

可

A.2yB.娓C.3D.2泥

【考点】由三视图求面积、体积.

【分析】由三视图知该几何体是三棱锥，由三视图和勾股定理求出棱长，由棱长的大小判断

出面积最大的面，由余弦定理、三角形的面积公式求出最大面的面积.

【解答】解：由三视图可知几何体是三棱锥，如图所示，

且PD，平面ABC,D是AC的中点，PD=2,

底面是等腰直角三角形，AC=BC=2、AC1BC,

PA=PC=BD=^22+1AB=20

2222=3

贝IjPB-^PD+BD=^2+（V5）,

棱长PB最大，其次AB,

则aPAB的面积是各个面中面积最大的一个面,

在4PAB中，由余弦定理得COSNABP=AB2+PB2-AP2

2-AB-PB

8+9-5

=2X2V2X3=T'

兀

VO<ZABP<n,；./ABP=—，

4

则4PAB的面积S=^・AB・PB・sinNABF=£x2j^X3X§=3,

乙乙乙

故选：C.

9.己知向量:=（3,-2）,芯=（X,y-1）且彳〃E，若x,y均为正数，则之+2的最小值

xy

是（）

A.2B.—C.8D.24

33

【考点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示.

【分析】利用向量共线定理可得2x+3y=3,再利用〃乘1法”和基本不等式即可得出.

【解答】解：I］石，A-2x-3（y-1）=0,化为2x+3y=3,_______

.,.-+-=-5-（2x+3y）（-4^-）=v（12+—+^）淮（12+2户但）=8,当且仅当

xy3xy3xy3Vxy

2x=3y=1•时取等号.

•.・之+2的最小值是8.

xy

故选：c.

10.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD是边长为2的为正

方形，侧面PAD，底面ABCD,M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC,则点M

在正方形ABCD内的轨迹的长度为()

【考点】棱锥的结构特征.

【分析】先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平

面AC的交线得到M的轨迹，再由勾股定理求得答案.

【解答】解：根据题意可知PD=DC,则点D符合"M为底面ABCD内的一个动点，且满足

MP=MC"

设AB的中点为E,根据题目条件可知4PAE丝Z\CBE,

，PE=CE,点E也符合"M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC"

故动点M的轨迹肯定过点D和点E,

而到点P与到点C的距离相等的点为线段PC的垂直平分面，

线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线，，M的轨迹为线段DE.

VAD=2,AE=1,/.DE=^22+12=V5-

11.给定正数p,q,a,b,c,其中p¥q,若p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列,

则一元二次方程bx2-2ax+c=0()

A.无实根B.有两个相等实根

C.有两个同号相异实根D.有两个异号实根

【考点】等比数列的性质；等差数列的性质.

【分析】先由p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列，确定a、b、c与p、q的关系,

再判断一元二次方程bx2-2ax+c=0判别式4=422-4bc的符号，决定根的情况即可得答案.

【解答】解：：p,a,q是等比数列，p,b,c,q是等差数列

.*.a2=pq,b+c=p+q.解得b=―——~,C---;

33

/.△=(-2a)2-4bc=4a2-4bc=4pq-—(2p+q)(p+2q)

__82_82,16__8z2_,2—8、2

--7-p-7-q+kPq-7-(p29prqx+q—((P-q)

yyyyy

又；p关q,，--|-(p-q)2<0,即△<(),原方程无实根.

故选A.

12.正方体ABCD-A|BiC]D|中，M,N,Q分别是棱DQi，AQi，BC的中点，点P在

对角线BD]上，给出以下命题：

①当P在BDi上运动时，恒有MN〃面APC；

BPo

②若A,P,M三点共线，则而一=争

BP9

③若西'争则C]Q〃面APC；

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有m条；过点P且与直线AB）

和A©所成的角都为60。的直线有n条,则m+n=7.

其中正确命题的个数为（）

【考点】棱柱的结构特征.

【分析】①利用三角形中位线定理、正方体的性质可得MN〃AC,再利用线面平行的判定

定理即可判断出正误；

npnH1

②若A,P,M三点共线，由D]M〃AB,由平行线的性质可得，」_=_即可判

BPAB2

断出正误；

BPO

③若丽「多由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BDnAC=O,可得四边形OQJM

是平行四边形，于是C|Q〃OM,即可判断出正误.

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有AiC,DiB,AC1，DB|,4条.过

点P且与直线ABi和A,C,所成的角都为60。的直线有且只有2条，即可判断出正误.

【解答】解：①；M,N,分别是棱D|C"A|Di的中点，

；.MN〃A|Ci〃AC,MNC平面APC,ACu平面APC,

...当P在BDi上运动时，恒有MN〃面APC,正确；

②若A,P,M三点共线，②若A,P,M三点共线，由D]M〃AB,

BP9

③若茄7二争由②可得：A，P，M三点共线，设对角线BDnAC=O,连接OM,OQ,

则四边形OQJM是平行四边形，

，C]Q〃OM,

而M点在平面APC内,

...C|Q〃平面APC相交，因此正确；

④若过点P且与正方体的十二条棱所成的角都相等的直线有ACD|B,ACi，DB),4条.

连接BQ,A]C]〃AC,由正方体的性质可得AABiC是等边三角形，则点P取点D|,则直

线AD|,CD]满足条件，

过点P且与直线AB,和A,C]所成的角都为60。的直线有且只有2条，过P且与直线AB1

和AQ1所成的角都为60。的直线有n条，则m+n=6条，因此不正确.

其中正确命题为①②③，其个数为3.

二、填空题：(本大题5个小题，每小题5分，共20分)

13.cos140°+2sin130°sin10°=-.

一2~

【考点】三角函数的化简求值.

【分析】利用诱导公式，积化和差公式，特殊角的三角函数值化简即可得解.

【解答】解：cosl40°+2sinl30°sinl0°

=cos(90°+50°)+2sin(90°+40°)sin(90°-80°)

=-sin50°+2cos40°cos80°

=-cos40°+2Xy[cosl200+cos(-40°)]

=-cos40°+(-—)+cos400

2

二-—1—

2,

故答案为：

2

14.如图，动物园要围成四间相同面积的长方形虎笼，一面可利用原有的墙，其他各面用钢

筋网围成，设每间虎笼的长为xm,宽为ym,现有36m长的钢筋网材料，为使每间虎笼面

积最大，则三=_■

y2'

【考点】基本不等式在最值问题中的应用.

【分析】设出每间虎笼的长和宽，利用周长为定值，根据基本不等式，求出面积最大时的长

与宽的值.

【解答】解：设每间虎笼的长、宽各设计为xm,ym时，可使每间虎笼的面积最大,

则4x+6y=36,S=xy.

V4x+6y=36,A2x+3y=18,

由基本不等式，得1822y2x，3y，

当且仅当2x=3y=9,即x=4.5m,y=3m时,S取得最大值票,

・

••一x—_——3—・

y2

故答案为：

2

15.如图，正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,E为侧棱PC的中点，则直线BE

与平面PAC所成的角为60°.

【考点】直线与平面所成的角.

【分析】在正四棱锥中，连接AC,BD,交于O,连接PO,则POL平面ABCD得到NBEO

是直线BE与平面PAC所成的角，根据条件结合三角形的边角关系进行求解即可.

【解答】解：在正四棱锥P-ABCD中，连接AC,BD,交于O

连接PO，则POL平面ABCD,

则在正四棱锥中，BO_L平面PAC,

则连接OE,DE,

则ZBEO是直线BE与平面PAC所成的角，

•.•正四棱锥P-ABCD的体积为2,底面积为6,

•'•V《X6・PO=2,则高PO=1,

•.•底面积为6,；.BC=&,OC=OB=V3>

则侧棱PB=PC=4]+（付2=括2,

•••E为侧棱PC的中点，.•.取OC的中点H,

则EH±OC,

则EH=*PO=],OH=4OC

贝22=

ljOE=1/OH+EH

在直角三角形BOE中，tan/BEO=*1w^

0E1

则NBEO=60。,

故答案为：60°

16.已知a,b,c为正实数，给出以下结论：

2

①若a-2b+3c=0,则"的最小值是3；

ac

②若a+2b+2ab=8,则a+2b的最小值是4；

③若a(a+b+c)+bc=4,贝！］2a+b+c的最小是2加；

④若a2+b2+c2=4,则泥ab+&bc的最大值是2

其中正确结论的序号是①3④.

【考点】基本不等式.

【分析】变形，利用基本不等式，分别进行判断，即可得出结论.

22

【解答】解：①若a-2b+3c=0,则2b=a+3c》2怎.•.b2\3ac,.23,.的最

acac

小值是3,正确；

2

②设t=a+2b,则t>0,由a+2b+2ab=8得2ab=8-(a+2b)C)2,即8-tW上一,整

理得t2+4t-32N0,解得tN4或tW-8(舍去)，即a+2b》4,所以a+2b的最小值是4.正

确；

③；a,b,c>0,/.a+c>0,a+b>0,Va(a+b+c)+bc=a(a+b)+ac+bc=a(a+b)+c(a+b)

=(a+c)(a+b)=4,2a+b+c=(a+b)+(a+c)22M(a+c)(a+b)=4,；.2a+b+c的最小值为

4,不正确；

(4)^a2+b2+c2=4,贝ij4=a?+申b2+申b2+c2》2^^ab+2^^bc,.,.加ab+亚bcW2«\/7，.•.娓

ab+J^bc的最大值是26，正确

综上所述，正确结论的序号是①②④.

故答案为：①②④.

三、解答题(本大题共6个小题，共70分)

17.在aABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知向量(a+c,b)与向量嗝=

(a-c,b-a)互相垂直.

(1)求角C；

(2)求sinA+sinB的取值范围.

【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用.

【分析】(1)由7,三，得(a+c)(a-c)+b(b-a)=0化简整理得a?+b2-c?=ab代入余弦

定理即可求得cosC,结合C的范围进而求得C.

(2)由第二问得到的A与B的关系式，用A表示出B,代入所求的式子中，利用两角和与

差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化

为一个角的正弦函数，根据A的范围，求出此时正弦函数的值域，可得出所求式子的范围.

【解答】解：(1)由已知可得：(a+c)(a-c)+b(b-a)=0=>a2+b2-c2=ab>

a2b2-c21

:------+--------------——,

2ab2

V0<C<n,

,、K

(2)VC=^

.2兀

・・A+B=W-，

22兀2打

sinA+sinB=sinA+sin(-7—_A)=sinA+sin——cosA-cos-sinA

0o3

=-l-sinA+^-cosA=V3("^■sinA+4'cosA)=V3sin(A+^~),

ZZZZo

•••3<AS</=4<sin(A+3)4l，

66626

/.2^.<sinA+sinB=^/3sin(A+-^-)^5/3.

则sinA+sinB的取值范围是(区，«].

18.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是平行四边形，

(1)求证：BD〃截面PQMN；

(2)若截面PQMN是正方形，求异面直线PM与BD所成的角.

【考点】异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定.

【分析】(1)利用线面平行的判定定理与性质定理即可证明.

(2)由(1)的证明知PN〃BD,可得/NPM(或其补角)是异面直线PM与BD所成的角.再

利用正方形的性质即可得出.

【解答】(1)证明：•.,截面PQMN是平行四边形，，PN〃QM,又PNQ平面BCD,QMc

平面BCD今PN〃平面BCD.

•；PNu平面ABD,平面ABDri平面BCD=BD=PN〃BD,

•.•PNu截面PQMN,BDC截面PQMN,；.BD〃截面PQMN.

(2)解：由(1)的证明知PN〃BD,.•.NNPM(或其补角)是异面直线PM与BD所成的

角.

•.,截面PQMN是正方形，ZNPM=45".

.•.异面直线PM与BD所成的角是45°.

19.已知数列｛aj的前项和为Sn.若a】=l,an=3Sn.i+4(n22).

(1)求数列｛aj的通项公式；

bn

a,其中nWN+,记数列｛/｝的前项和为Tn.求Tn+哼的值.

(2)令bn=log2-^t?>C=--T7

7n2n+12n

【考点】数列的求和；数列递推式.

S],n=l

【分析】(l)根据题意和an.,分别列出式子化简、验证后求出an；

ssn，2

n_n-p

b

(2)由(1)化简和对数的运算法则化简b产log20坦代入Cn=f化简，利用错位相减

72n+I

法和等比数列的前n项和公式求出前n项和Tn，即可求出答案.

【解答】解：⑴由题意得,a!=l,an=3Sn-i+4(n22),

当n=2时，a2=3Si+4=7,

当n22时，由a1]=3Sn-i+4(n22),得an+i=3Sn+4,

两式相减得,an+i=4an(n22),

・,・数列｛aj从第二项起是以4为公比、7为首项的等比数歹U,

则an=a2*4n-2=7X4“-2(22),此时对n=l不成立，

'1,n=l

7X4^2,n>2

(2)由(1)得，bn=log2^^=logj"=2n,

①一②得,乱夺旨导…方一*

20.如图，在四棱锥P-ABCD中，PA_L平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,ZDAB=Z

ABC=90°,E是CD的中点.

（1）证明：CD,平面PAE；

（2）若直线PB与平面PAE所成的角和直线PB与平面ABCD所成的角相等，求二面角P

-CD-A的正切值.

【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定.

【分析】（1）连接AC,推导出CDLAE,PA_LCD,由此能证明CD,平面PAE.

（2）推导出NPEA是二面角的平面角，

过点B作BG//CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF，由此能求出

NBPF为直线PB与平面PAE所成的角.且BG1AE.由此能求出二面角P-

CD-A的正切值.

【解答】证明：（1）连接AC,由AB=4,BC=3,ZABC=90°,得AC=5.

又AD=5,E是CD的中点，.'CDLAE.

•；PAJ_平面ABCD,CDu平面ABCD,APA±CD.

而PAPlAE=A，，CD，平面PAE.

解：（2）平面PAE,/PEA是二面角的平面角，

过点B作BG//CD,分别与AE,AD相交于F,G,连接PF.

由（1）知，BGJ_平面PAE,

NBPF为直线PB与平面PAE所成的角.且BG1AE.

由PA1平面ABCD知，NPBA为直线PB与平面ABCD所成的角.

由题意知ZPBA=ZBPF>.-.RtAPBA^RtABPF,.\PA=BF.

YBCDG是平行四边形.GD=BC=3,.\AG=2.

•••AB=4,BG_LAF,.“GTAB莓『=2加，

于J是DBrF星BG斗2V5晅5”rA医5.

又CD=BG=2^§，.•.CE=V5，AE=7AC2-CE2=2A/5-

PA4

•••tan/PEA=笠T，

AE5

二面角P-CD-A的正切值是

21.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c.

(1)若f(x)>0的解集为{x|-3VxV4},解关于x的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0.

(2)若对任意x£R,不等式f(x)22ax+b恒成立，求■的最大值.

a+c

【考点】二次函数的性质.

【分析】(1)利用f(x)>0的解集为{x|-3<x<4},得出a,b,c的关系，再解关于x

的不等式bx2+2ax-(c+3b)<0.

(2)若对任意x£R,不等式f(x)22ax+b恒成立，得出

fa>0'a>02

仔k丁的最大值・

O99,，即可求

△二(b_2a)2_4a(c-b)40bz+4az-4ac<0a%/

【解答】解：(1)・・・ax2+bx+c>0的解集为{x|-3VxV4},

.,.a<0,-3+4=-—,-3X4—_a,c=-12a(a<C0L

aa

Abx2+2ax-(c+3b)VOq-ax2+2ax+15a<0(a<0)=x2-2x-15<0,

・・・解集为(-3,5).

(2)Vf(x)^2ax+b«ax2+(b-2a)x+c-b20恒成立，

'a〉0(a〉0

=(

A=(b-2a)2-4a(c-b)=C0b2+4a2-4ac40

2

b,4a(c-a)a

.*.0^b2^4a(c-a),

2,22

a+c

1+(-)

a

令V4a(c-a)^b2^0,.\c>a>0=>—>l=>t^0.

a

2

b<：----4-t---------4t---

a2+c2、l+(t+l)2t2+2t+2

,4t

令g(t)=-5------(t^O).

t.2t+2

4

4

当t=0时，g(0)=0,当t>0时，g(t)=2<—7=—=2如-2,

疗+2272+2

k2—

的最大值为2g-2.

a'+c”

22.函数f(x)满足：对任意a,|3GR,都有f(a。)=af(B)+町(a),且f(2)=2,数

n

列｛an｝满足an=f(2)(nSN+).

(1)求数列｛aj的通项公式；

aabn1

(2)令bn=—1),Cn=11,记Tn=—(ci+c2+...+cn)(n£N+).问：是否存在正

nnbn+ln

整数M,使得当n>M时，不等式1-<冬恒成立？若存在，写出一个满足条件的M；

42

若不存在，请说明理由.

【考点】数列与不等式的综合；数列的应用.

【分析】(1)通过代入计算可知an+i=2an+2n+L进而通过构造出首项、公差均为1的等差数

列｛』｝,计算即得结论;

2n

(2)通过⑴可知-/二1—7T>通过放缩可知?-5<<：巾2+...+.<?(n>2),

44(2~1)474

9100

利用等价条件可n>2—=146］，进而整理即得结论.

77

【解答】解：⑴•••数列｛aj满足a『f⑵)(nSN+),

.,.ai=f(2)=2,

又•.•对任意a,peR,都有f(即)=af(p)+pf(a),

n+1nnn+1

.".an+i=f(2)=2f(2)+2f(2)=2an+2,

两边同时除以2什1得:

2n

a

...数歹心上n｝是首项、公差均为1的等差数歹u,

ann

--=n,BPan=n*2；

2n

(2)由(1)可知，bn=M(^2.-1)=2n(2n-1),

nn

I2n(2n-l)2n+1-2111

%+12n+1(2n+1-l)4(2n+1-1)44(2n+1-1)4

/.Ci+C2+...+C<—,

n4

.._1____I____1__1__1____I____

•Cn44(2-1-1)48-2n-447-2n+2n-4

1^->----1(n>2),

7-2n+2n-447-2n

H)

.•.ci+c2+...+cn>—-—-------^2_=n-L---1(n>2),

47,1477'2n47

1-T

—-—<Ci+C2+...+c<—(n>2),

47n4

1110n

•..不等式|Tn-<一直1恒成立等价于3<一仃1，等价于n>2_Q=1464-

42in27।

存在正整数M=146(或147,148,149,...),使得不等式Tn-恒成立.

42

2020-2021学年XXX学校高一（下）期末数学试卷

高一数学（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的

1、设。、b>ceR,且力，则（）

A、a2>b2B、-<yC,lga>lgbD、2~a<Tb

ab

2、下列说法不正确的是（）

A、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻的两个四边形的公共边都互相平行的几

何体叫棱柱

3、圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形

C、直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥

。、圆台平行于底面的截面是圆面

3、设加、〃是两条不同的直线，a、，是两个不同的平面，则（)

A>若加〃a,nilay则B、若milaymHp,则a〃/?

C、若〃2〃〃，〃-La,则加JLaD、若"?〃a,a_L/?,W>JmVp

4、下列各式中，值为1的是()

2

2乃.2""

A>sinl50-cosl5"B、cos---sin—

1212

,71

Ctan22S1+cos

、1-W22.50D、6

2

5、在锐角三角形中，角A、B所对的边分别为a、匕，若2asinB=，则角A等于（）

71兀%或，

A、—D、

6-744

6、已知平面向量。=（1,2）,万=（一2,加），且。〃加，则实数m的值为（）

A、18、4C、-1D、-4

7、