专题5.1相交线（举一反三）（华东师大版）（原卷版）

专题5.1相交线【十大题型】【华东师大版】TOC\o"13"\h\u【题型1对顶角、邻补角的识别】 1【题型2由对顶角、邻补角的性质求角的度数】 2【题型3平面内两直线的位置关系】 3【题型4作垂线】 4【题型5由垂线求角度】 6【题型6过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】 7【题型7点到直线的距离】 8【题型8垂线段最短】 9【题型9同位角、内错角、同旁内角的识别】 10【题型10确定同位角、内错角、同旁内角的对数】 11【知识点1对顶角、邻补角的概念】一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角.有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线，并且互补的两个角称为邻补角.【题型1对顶角、邻补角的识别】【例1】（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）在下图中，∠1和∠2是对顶角的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式11】（2023下·湖北荆门·七年级统考期末）图中∠1与∠2互为邻补角的是（）A． B．C． D．【变式12】（2023下·上海·七年级上海市文来中学校考期中）9条不重合的直线相交于一点，构成的对顶角共有对．【变式13】（2023下·安徽淮北·七年级校联考期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角．(1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角；(4)根据（1）（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有n条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？【知识点2对顶角、邻补角的性质】对顶角相等.邻补角互补.【题型2由对顶角、邻补角的性质求角的度数】【例2】（2023下·广西河池·七年级统考期末）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OE把∠AOC分成两部分．

(1)图中∠AOC=∠______，∠AOE+∠______=180°；(2)若∠AOC=80°，∠AOE=3∠COE，求∠DOE的度数．【变式21】（2023下·湖南长沙·七年级校考期末）已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3是邻补角，则∠2+∠3的度数为（）A．90° B．180° C．270° D．360°【变式22】（2023下·内蒙古呼伦贝尔·七年级统考期末）已知直线AB与CD相交于点O．

(1)如图1，若∠AOM=90°，OC平分∠AOM，则∠AOD=_________．(2)如图2，若∠AOM=90°，∠BOC=4∠BON，OM平分∠CON，求∠MON的大小【变式23】（2023下·云南曲靖·七年级统考期末）直线AB,CD相交于点O，OF⊥CD于点O，作射线OE，且OC在∠AOE的内部．(1)①当OE、OF在如图1所示位置时，若∠BOD=20°,∠BOE=130°，求∠EOF的度数；②当OE、OF在如图2所示位置时，若OF平分∠BOE，证明：OC平分∠AOE；(2)若∠AOF=2∠COE，请直接写出∠BOE与∠AOC之间的数量关系．【题型3平面内两直线的位置关系】【例3】（2023下·河北石家庄·七年级统考期末）l1、l2、l3为同一平面内的三条直线，若l1与l2不平行，lA．l1与l3一定不平行 B．l1C．l1与l3一定互相垂直 D．l1【变式31】（2023上·黑龙江佳木斯·七年级校考开学考试）在同一平面内，两条直线的位置关系可能是（）A．相交或垂直 B．垂直或平行C．平行或相交 D．相交或垂直或平行【变式32】（2023上·七年级单元测试）在下列4个判断中：①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行；②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行；③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交；④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．正确判断的个数是（

）A．4 B．3 C．2 D．1【变式33】（2023下·河北保定·七年级统考期末）如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（

）

A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【知识点3垂线】①两条直线相交所成的四个角内有一个角是90°称这两条直线互相垂直.②垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.③它们的交点叫做垂足.④垂线的性质：性质1：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.性质2：直线外一点与直线上各点的连线中，垂线段最短.⑤点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.【题型4作垂线】【例4】（2023下·北京密云·七年级统考期末）下列利用三角板过点P画直线AB的垂线CD，正确的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式41】（2023上·七年级课时练习）在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，正确的是(

)A．B．C．D．【变式42】（2022上·福建泉州·七年级泉州七中校考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点都叫做格点，已知点A、B、C都在格点上，按下列要求画图：（1）连结AC，画射线BC，则三角形ABC的面积是（2）过点C画直线CD，使CD∥AB；过点C画AB的垂线CE，垂足为F；（3）线段的长度是点C到AB的距离；（4）直线CD、CE的位置关系为________【变式43】（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是∠AOB的边OB上的一点（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．

(1)过点P画OB的垂线，交OA于点E；过点P画OA的垂线，垂足为F；(2)线段PF的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段PE、PF、OE这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．【题型5由垂线求角度】【例5】（2022上·山西晋城·七年级校考期末）综合与探究如图，直线AB与CD相交于点O，过点O作OE⊥AB．(1)如图1，∠AOD=40°，直接写出∠EOC的度数；(2)如图2，在∠AOE的内部作射线OF，且∠DOF=∠BOF，此时，∠BOD=7∠EOF，求∠EOC的度数；(3)如图3，在直线AB的下方作∠AOH，且∠AOH<45°，再作OM平分∠AOH，ON平分∠EOH，求∠MON的度数．【变式51】（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）已知∠AOB和∠COD的两边分别互相垂直，且∠COD比∠AOB的2倍少30°，求∠COD的度数．【变式52】（2023上·湖北黄冈·七年级统考阶段练习）如图，直线AB与直线CD相交于点O，OE平分∠BOC，若OF⊥OB，且∠EOF=110°，则∠DOF=．

【变式53】（2023上·江苏南京·七年级南京市第二十九中学校考期末）如图，已知∠AOB画射线OC⊥OA，射线OD⊥OB，试写出∠AOB和∠COD的数量关系，并说明理由.【题型6过一点有且只有一条直线垂直于已知直线】【例6】（2023下·辽宁大连·七年级统考期末）如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（

）

A．两点确定一条直线B．垂线段最短C．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直D．垂直于同一直线的两条直线平行【变式61】（2023上·江苏扬州·七年级统考期末）对于下列说法，正确的是（）A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；C．测量孙浩的跳远成绩，正确做法的依据是“两点之间，线段最短”；D．不相交的两条直线叫做平行线．【变式62】（2023下·河南郑州·七年级郑州市第七十三中学校考阶段练习）如图所示，王师傅为了检验门框AB是否垂直于地面，在门框AB的上端A处用细线悬挂一铅锤，看门框AB是否与铅锤线重合．若门框AB垂直于地面，则AB会重合于AE，否则AB与AE不重合．下面哪个数学知识可以说明这个道理？（

）

A．经过两点有且只有一条直线B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短C．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直【变式63】（2023下·上海黄浦·六年级统考期末）下列方法中，不能用来检验平面与平面垂直的方法是（

）．A．铅垂线 B．两把三角尺 C．合页型折纸 D．长方形纸片【题型7点到直线的距离】【例7】（2023下·陕西西安·七年级西安益新中学校考阶段练习）如图，P是∠AOB的边OB上一点．(1)过P画OA的垂线，垂足为点H；(2)过点P画OB的垂线，交OA于点C，点O到直线PC的距离是线段______的长度．【变式71】（2023上·浙江·七年级统考阶段练习）如图，A、B、C是等边三角形的三个顶点，作直线l，使点A、B、C到直线l的距离之比为2:1:1，则满足条件的直线l共有（

）A．4条 B．3条C．2条 D．1条【变式72】（2023下·河南新乡·七年级校考期中）如图所示，∠BAC=90°,AD⊥BC于D，则下列结论中，正确的个数为（）①AB⊥AC；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD的长度；⑤线段AC的长度是点C到AB的距离；⑥线段CD的长度是点D到AC的距离．A．3个 B．4个 C．7个 D．0个【变式73】（2023上·江苏南京·七年级校联考期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点都叫做格点.已知点A、B、C均在格点上．(1)借助方格纸过点B画线段AC的平行线BD；(2)借助方格纸过点B画线段AC的垂线BE，垂足为E；(3)观察所画图形，点A到直线BE的距离是线段的长度；(4)BD与BE的位置关系是；(5)比较大小：线段AB线段BE（填“＞”、“＜”或“＝”），理由是．【题型8垂线段最短】【例8】（2023下·安徽池州·七年级统考期末）在同一个平面内，P是直线l外一点，A,B,C分别是l上三点，已知PA=1,PB=2，PC=3，若点P到l的距离是ℎ，则（

）A．0<ℎ≤1 B．ℎ=1 C．ℎ=2 D．ℎ=3【变式81】（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图是一条河C是河边AB外一点，M是河边AB上一码头．

(1)若要从C走到码头M，请在图1中作出最短路线示意图．(2)现欲用水管从河边AB将水引到C处，请在图2上作出所需水管最短的铺设方案．【变式82】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图所示的正方形网格，点A、B、C都在格点上，(1)利用网格作图：①过点C画直线AB的平行线CD，并标出平行线所经过的格点D；②过点C画直线AB的垂线CE，并标出垂线所经过的格点E，垂足为点F；(2)线段______的长度是点C到直线AB的距离；(3)比较大小：CF______CB（填>、<或=）【变式83】（2023下·山东济宁·七年级统考期中）如图所示，在△ABC中，AC=5, BC=6, BC边上高AD=4，若点P在边AC【知识点4同位角、内错角、同旁内角】两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线同侧，并在截线的同旁，这样的一对角叫做同位角.两条直线被第三条直线所截，两个角都在两条被截线之间并且在截线的两旁，这样的一对角叫做内错角.两条直线被第三条直线所截两个角都在两条被截线之间并且在截线的同旁，这样的一对角叫做同旁内角.【题型9同位角、内错角、同旁内角的识别】【例9】（2016下·广西玉林·七年级统考期中）如图，下列判断正确的是（）A．∠2与∠5是对顶角 B．∠2与∠4是同位角C．∠3与∠6是同位角 D．∠5与∠3是内错角【变式91】（2023上·河南南阳·七年级校考期末）如图，下列判断：①∠A与∠1是同位角；②∠A与∠B是同旁内角；③∠4与∠1是内错角；④∠1与∠3是同位角．其中正确的是（

）A．①② B．①②④C．②③④ D．①②③④【变式92】（2023上·河南周口·七年级统考期末）如图，找出标注角中的同位角、内错角和同旁内角．【变式93】（2023下·七年级课时练习）如图∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，哪些是同位角？哪些是内错角？哪些是同旁内角？【题型10确定同位角、内错角、同旁内角的对数】【例10】（2023上·河南周口·七年级校考期末）如图所示，同位角有a对，内错角有b对，同旁内角有c对，则a+b−c的值是【变式10