专题06相似三角形的判定与性质重难点题型专训（10大题型）（原卷版）2

专题06相似三角形的判定与性质（10大题型）【题型目录】题型一证明两三角形相似题型二选择或补充条件使两个三角形相似题型三重心的有关性质题型四相似三角形的判定与性质综合题型五利用相似三角形的性质求解题型六证明三角形的对应线段成比例题型七利用相似求坐标题型八在网格中画与已知三角形相似的三角形题型九相似三角形——动点问题题型十相似三角形的综合问题【知识梳理】知识点一、相似三角形的判定预备定理平行于三角形的一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．判定1有两个角对应相等的两个三角形相似．判定2两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．判定3三边对应成比例的两个三角形相似直角三角形的特殊判定若一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．知识点二、相似三角形的性质性质1相似三角形的对应边成比例，对应角相等。性质2相似三角形的周长比等于相似比。∽，则由比例性质可得：类似地，我们还可以得到：相似多边形周长的比等于相似比。性质3相似三角形的面积比等于相似比的平方。∽，则分别作出与的高和，则要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的。如果把两个相似多边形分成若干个相似的三角形，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方。性质4相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线之比等于相似比。要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段。【经典例题一证明两三角形相似】1．（2023上·北京石景山·九年级校考期中）如图，在矩形中，E，F分别是，上的点，若，则一定有（

）．A． B． C． D．2．（2023上·上海闵行·九年级校考期中）如图，已知是中的边上的一点，，的平分线交边于，交于，那么下列结论中错误的个数是（

）（a）；（b）；（c）；（d）．A．0 B．1 C．2 D．33．（2023下·九年级课时练习）如图，不等长的两条对角线相交于点，且将四边形分成甲、乙、丙、丁四个三角形．若，则甲、乙、丙、丁这4个三角形中，一定相似的有．4．（2023下·河北衡水·九年级校考期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．

（1）若平分，则与是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）图中与相似的三角形有（写出两个即可）5．（2023上·河北沧州·九年级校联考期中）如图，矩形中，，，点为边上一动点，交于点．

(1)求证：；(2)当时，求的长．【经典例题二选择或补充条件使两个三角形相似】1．（2023上·北京延庆·九年级统考期中）如图，点是的边上一点，要使得与相似，添加一个条件，不正确的是（）A． B．C． D．2．（2023上·山东滨州·九年级校考期末）如图，在中，是上一点，连接，添加下列条件中的一个，不能判断的是（）A． B． C． D．3．（2022上·黑龙江鸡西·九年级统考期末）如图，在中，是边上一点，连接，要使与相似，应添加的条件是．

4．（2023上·安徽滁州·九年级校联考期末）如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有条．

5．（2022·浙江杭州·统考一模）在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明．问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若（填序号）求证：．【经典例题三重心的有关性质】1．（2023·浙江·统考中考真题）如图，点P是的重心，点D是边的中点，交于点E，交于点F，若四边形的面积为6，则的面积为（）

A．15 B．18 C．24 D．362．（2022上·上海徐汇·九年级校考阶段练习）如图，在中，中线相交于点G，下列说法错误的是（

）

A．点G为的重心 B．C．当为等边三角形时， D．3．（2023上·浙江宁波·九年级宁波市第七中学校联考期中）若抛物线经过原点和点及点，点C是x轴上一点，当的重心G落在抛物线上时，则点G的坐标是．4．（2023上·江苏无锡·九年级校考阶段练习）如图，中，，，点F是的重心，，则．5．（2023上·浙江金华·九年级校考期中）如图在的网格中，的顶点都在格点上，仅用无刻度的直尺在给定的网格中分别按下列要求画图．（请保留画图痕迹，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）

(1)在图1中，画出的重心G；(2)在图2中，画线段，点E在上，使得；(3)图3中，在内寻找一格点N，使，并标注点N的位置．【经典例题四相似三角形的判定与性质综合】1．（2023上·辽宁朝阳·九年级校联考期中）如图，矩形中，对角线、交于点O，于点E，，，（

）cmA．10 B．8 C．9 D．122．（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）如图，点E在正方形的对角线上，于点F，连接并延长，交边于点M，交边的延长线于点G．若，，则（

）A． B． C． D．3．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在中，，点为边上一动点（不与点重合），过点作射线交于点，使．当为直角三角形时，则的长为．

4．（2023上·辽宁沈阳·九年级统考期中）如图，在正方形中，是的中点，并按以下步骤作图：分别以和为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，则的长为．5．（2023上·山东菏泽·九年级统考期中）（1）问题如图1，在四边形中，点为上一点，．求证：．（2）探究如图，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题如图3，在中，，，点以每秒个单位长度的速度，由点出发，沿边向点运动，且满足．设点的运动时间为（秒），当以为圆心，为半径的圆与相切时，请直接写出所满足的等量关系式．【经典例题五利用相似三角形的性质求解】1．（2023上·内蒙古包头·九年级统考期中）如图，在纸片中，，分别在上，连结，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则(

)A． B． C． D．2．（2023上·安徽安庆·九年级统考期中）将一张三角形彩纸按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点F，折痕为．已知，，若以点C，D，F为顶点的三角形与相似，则的长是（）

A． B． C．或4 D．或43．（2011·浙江·九年级统考期中）如图，在中，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若两点同时出发，则当以点为顶点的三角形与相似时，运动时间为s．4．（2023上·浙江绍兴·九年级校联考期中）如图，在中，，点D在边上．连接，将沿直线翻折，点B落在点E处，交边于点F．已知，若为直角三角形，则的面积为．5．（2023上·广西百色·九年级统考期中）在矩形中，E为边上一点，把沿翻折，使点D恰好落在边上的点F处．(1)求证：；(2)若，，求的长．【经典例题六证明三角形的对应线段成比例】1．（2023下·浙江嘉兴·九年级校考开学考试）《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（

）

A． B． C． D．2．（2023·黑龙江哈尔滨·统考二模）如图，在中，AC和BC上分别有一点E和点H，过点E和点H分别作BC和AC的平行线交于点D，DE交AB于点G，DH交AB于点F，则下列结论错误的是（

）

A． B． C． D．3．（2015·山东枣庄·九年级学业考试）如图，在中，若，，，则的长为.

4．（2021·四川自贡·统考一模）如图，在Rt中，，，，以点为圆心，2为半径的圆与交于点，过点作交于点．点是边上的动点．当最小时，的长为．5．（2023·吉林四平·校联考三模）在中，，分别为，上一点，，交于点．

(1)设的面积为，的面积为，且．①如图①，连接．若，求证：；②如图②，若，，求的值．(2)如图③，若，，，，直接写出的值．【经典例题七利用相似求坐标】1．（2022·九年级单元测试）平面直角坐标系中有一直线，先将其向右平移3个单位得到，再将作关于x轴的对称图形，最后将绕与y轴的交点逆时针旋转得到，则直线的解析式为（

）.A． B． C． D．2．（2022·海南·九年级专题练习）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为（－2，6）和（7，0）．将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，平移的距离为（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2021春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是．4．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于点，已知点，，，是线段上一点，连接，若与相似，则的长为．5．（2023·福建厦门·统考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．

(1)上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；(2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标．【经典例题八在网格中画与已知三角形相似的三角形】1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在正方形网格上有个斜三角形：①，②，③，④，⑤，⑥．在②～⑥中，与①相似的三角形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2022秋·河南周口·九年级校考期中）如图，在5×6的方格纸中，画有格点△EFG，下列选项中的格点，与E，G两点构成的三角形中和△EFG相似的是（

）A．点A B．点B C．点C D．点D3．（2022春·九年级课时练习）如图，在边长相等的正方形网格中，A、B、C为小正方形的顶点，则∠ABC=．4．（2021春·全国·九年级专题练习）在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形．如图，请在边长为1个单位的2×3的方格纸中，找出一个格点三角形DEF．如果△DEF与△ABC相似（相似比不为1），那么△DEF的面积为．5．（2023秋·北京通州·九年级校考阶段练习）在中，

(1)如图1，P是上的点，过点P作直线截，使截得的三角形与相似．例如：过点P作交于D，则截得的与相似．请你在图中画出所有满足条件的直线．(2)如图2，Q是上异于点B，C的动点，过点Q作直线截，使截得的三角形与相似，直接写出满足条件的直线的条数．（不要求画出具体的直线）【经典例题九相似三角形——动点问题】1．（2023春·重庆渝中·八年级统考期末）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以的速度从A点出发，沿着A→B的方向运动，设E点的运动时间为t秒（），连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（

）

A．2 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.52．（2023·山西运城·统考二模）如图1，在中，，动点从点出发，沿折线匀速运动至点停止．点的运动速度为，设点的运动时间为（），的长度为（），与的函数图像如图2所示．当恰好平分时，的长为（

）A． B． C． D．3．（2023春·江苏南通·八年级校联考阶段练习）如图，已知矩形，长，宽，P、Q分别是、上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿方向运动，则经过秒，以P、B、Q为顶点的三角形与相似．

4．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）如图，在钝角中，，，点从点出发沿以的速度向点移动，点从点出发沿以的速度向点移动，如果两点同时移动，经过秒时，与相似．

5．（2023秋·福建泉州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动．两点同时出发．速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

(1)求线段的长；(2)设的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．【经典例题十相似三角形的综合问题】1．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，矩形，分别以、为边向内作等边三角形（图1）；分别以、为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．若，则的值为（

）A． B． C． D．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝3，BC＝2，沿对角线AC剪开（如图①）；固定△ADC，把△ABC沿AD方向平移（如图②），当两个三角形重叠部分的面积最大时，移动的距离AA′等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．0.8或1.23．（2023春·四川达州·九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连结AE，将△ABE沿直线AE翻折得到△AFE，EF与AC相交于点M．若AB＝8，BC＝10，且BE＝BC，则点F到直线AD的距离为．4．（2023·山东德州·统考一模）在边长为4的正方形中，E是边上一动点(不与端点重合)，将沿翻折，点A落在点H处，直线交于点F，连接，，分别与AC交于点P、Q，连接，．则以下结论中正确的有________

(写出所有正确结论的序号)．①；②；③；④为等腰直角三角形；⑤若连接，则的最小值为．5．（2023·江苏苏州·统考三模）【问题探究】课外兴趣小组活动时，同学们正在解决如下问题：如图1，在矩形中，点，分别是边，上的点，连接，，且于点，若，，求的值．

(1)请你帮助同学们解决上述问题，并说明理由．【初步运用】(2)如图2，在中，，，点为的中点，连接，过点作于点，交于点，求的值．【灵活运用】(3)如图3，在四边形中，，，，，点，分别在边，上，且，垂足为，则__________________．【重难点训练】1．（2023上·浙江绍兴·九年级校考期中）如图，C是半圆上一点，是直径，将弓形沿翻折交于点D，若，，则的长为（）A． B． C． D．2．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，在中，为坐标原点，直角顶点在轴的正半轴上，反比例函数在第一象限的图象经过的中点，交于点，连接．若，则直线的解析式为（

）A． B． C． D．3．（2023上·浙江绍兴·七年级校联考期中）如图，在中，是斜边的中点，是线段延长线上的一点，连接与交于点．给出下列结论：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③4．（2023上·湖南衡阳·九年级校联考期中）如图，在中，，，，点，分别在边，上，且，若以，，为顶点的三角形与相似，则的长度为（

）A．3 B． C．或4 D．4或5．（2023上·安徽蚌埠·九年级校联考期中）如图，在平行四边形中，E是线段上一点，连结，，与相交于点F，若，则（

）

A． B． C． D．6．（2023上·山东青岛·九年级校考期中）如图，在中，于点M，于点N，P为边中点，连接，则下列结论：①；②；③若，为等边三角形：④当时，．其中正确的是（

）A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③④7．（2023上·上海松江·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，则与的面积之比为．

8．（2023上·河南郑州·九年级校考期中）如图，平行四边形中，点E是边上一点，若，，的面积是8，则的面积为．

9．（2023上·辽宁鞍山·九年级统考期中）如图，已知中，D，E分别是边上的点，，，与的延长线交于点F，，则．10．（2023上·河南许昌·九年级统考期中）如图，等腰三角形中，，底边，点O为的中点．将线段绕点O旋转得到线段，连接．在旋转过程中，当时，的长为．11．（2023上·重庆北碚·九年级西南大学附中校考期中）如图，在中，．是中线，过点作，垂足为点，与相交于点，若，，则的长是．

12．（2021上·广东深圳·九年级统考期中）如图，在正方形中，以为腰向正方形内部作等腰（），