2024-2025学年高中数学第二章统计2.2.1用样本的频率分布估计总体分布学案含解析新人教版必修3

PAGE2．2用样本估计总体2．2.1用样本的频率分布估计总体分布内容标准学科素养1.理解用样本的频率分布估计总体分布的方法.2.会列频率分布表，画频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图.3.能够利用图形解决实际问题.提升数学运算发展数据分析应用数学建模授课提示：对应学生用书第34页[基础相识]学问点一频率分布表及频率分布直方图预习教材P65－70，思索并完成以下问题为了了解全市居民日常用水量的整体分布状况，采纳抽样调查的方式，获得100位居民2024年的月均用水量如下表(单位：t)：3．12.52.02.01.51.01.61.81.91.63．42.62.22.21.51.20.20.40.30.43．22.72.32.11.61.23.71.50.53.83．32.82.32.21.71.33.61.70.64.13．22.92.42.31.81.43.51.90.84.33．02.92.42.41.91.31.41.80.72.02．52.82.32.31.81.31.31.60.92.32．62.72.42.11.71.41.21.50.52.42．52.62.32.11.61.01.01.70.82.42．82.52.22.01.51.01.21.80.62.2(1)上述100个数据中的最大值和最小值分别是什么？由此说明样本数据的改变范围是什么？提示：最大值是4.3，最小值是0.2，数据的改变范围为0.2～4.3.(2)样本数据中的最大值和最小值的差称为极差，假如将上述100个数据按组距为0.5进行分组，那么这些数据共分为多少组？提示：(4.3－0.2)÷0.5＝8.2.因此可以将数据分为9组．(3)以组距为0.5进行分组，上述100个数据共分为9组，各组数据的取值范围可以如何设定？提示：[0，0.5)，[0.5，1)，[1，1.5)，…，[4，4.5)．(4)如何统计上述100个数据在各组中的频率？如何计算样本数据在各组中的频率？你能将这些数据用表格反映出来吗？提示：分组频数累计频数频率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)正正正150.15[1.5，2)正正正正丅220.22[2，2.5)正正正正正250.25[2.5，3)正正140.14[3，3.5)正一60.06[3.5，4)40.04[4，4.5]丅20.02合计1001.00学问梳理1.用样本估计总体的两种状况(1)用样本的频率分布估计总体分布．(2)用样本的数字特征估计总体数字特征．2．频率分布直方图的画法3．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到了频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数也在增加，组距减小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称之为总体密度曲线，它反映了总体在各个范围内取值的百分比．学问点二茎叶图预习教材P70，思索并完成以下问题某赛季甲、乙两名篮球运动员每场竞赛的得分状况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.(1)你能理解这个图是如何记录这些数据的吗？提示：中间的数字表示得分的十位数，旁边的数字分别表示两个人得分的个位数．(2)你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？提示：从图中看出乙运动员的发挥更稳定.学问梳理1.茎叶图的制作方法将全部两位数的十位数字作为茎，个位数字作为叶，茎相同者共用一个茎，茎按从小到大的依次从上向下列出．2．茎叶图的优缺点在样本数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好．它不但可以保留全部信息，而且可以随时记录，这对数据的记录和表示都能带来便利．但是当样本数据较多时，茎叶图就显得不太便利，因为每一个数据都要在图中占据一个空间，假如数据许多，枝叶就会很长．[自我检测]1．一个容量为80的样本中，数据的最大值为152，最小值为60，组距为10，应将样本数据分为()A．10组 B．9组C．8组 D．7组解析：由题意可知，eq\f(152－60,10)＝9.2，故应将数据分为10组．答案：A2．从一群学生中抽取一个肯定容量的样本，对他们的学习成果进行分析．已知不超过80分的为10人，其累积频率为0.5，则样本容量是()A．20 B．40C．80 D．60解析：样本容量＝eq\f(10,0.5)＝20.答案：A3．如图是一个班的语文成果的茎叶图(单位：分)，则优秀率(90分以上)是__________，最低分是__________．解析：由茎叶图知，样本容量为25，90分以上的有1人，故优秀率为eq\f(1,25)＝4%，最低分为51分．答案：4%51授课提示：对应学生用书第35页探究一频率分布直方图的绘制[阅读教材P65－67]题型：绘制频率分布直方图方法步骤：第一步，求极差；其次步，确定组距与组数；第三步，将数据分组；第四步，列频率分布表；第五步，画频率分布直方图．[例1]2024年高考已经结束，我校为了了解和驾驭高考考生的实际答卷状况，随机地取出了100名考生的数学成果，数据如下(单位：分)：135981021109912111096100103125971171131109210210910411210512487131971021231041041281091231111031059211410810410212912697100115111106117104109111891101218012012110410811812999909912112310711191100991011169710210810195107101102108117991181061199712610812311998121101113102103104108(1)列出频率分布表；(2)画出频率分布直方图和折线图．[解析]100个数据中，最大值为135，最小值为80，极差为135－80＝55.取组距为5，则组数＝eq\f(55,5)＝11.(1)频率分布表如下：分组频数频率频率/组距[80，85)10.010.002[85，90)20.020.004[90，95)40.040.008[95，100)140.140.028[100，105)240.240.048[105，110)150.150.030[110，115)120.120.024[115，120)90.090.018[120，125)110.110.022[125，130)60.060.012[130，135]20.020.004合计10010.2注：表中加上“频率/组距”一列，这是为画频率分布直方图打算的，因为它是频率分布直方图的纵坐标．(2)依据频率分布表中的有关信息画出频率分布直方图及折线图，如图所示．方法技巧1.在列频率分布表时，极差、组距、组数有如下关系：(1)若eq\f(极差,组距)为整数，则eq\f(极差,组距)＝组数；(2)若eq\f(极差,组距)不为整数，则eq\f(极差,组距)的整数部分＋1＝组数．2．组距和组数的确定没有固定的标准，将数据分组时，组数力求合适，使数据的分布规律能较清晰地呈现出来，组数太多或太少都会影响了解数据的分布状况，若样本容量不超过100，依据数据的多少常分为5～12组，一般样本容量越大，所分组数越多．跟踪探究1.某班50名同学参与数学测验，成果的分组及各组的频数如下(单位：分)：[40，50)，2；[50，60)，3；[60，70)，10；[70，80)，15；[80，90)，12；[90，100]，8.(1)列出样本的频率分布表．(2)画出频率分布直方图．解析：(1)频率分布表如下：分组频数频率[40，50)20.04[50，60)30.06[60，70)100.2[70，80)150.3[80，90)120.24[90，100]80.16(2)频率分布直方图如下：探究二频率分布直方图的应用[例2](1)某班50名学生在一次百米跑测试中，成果全部介于13s与19s之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成果大于等于13s且小于14s；其次组，成果大于等于14s且小于15s；…；第六组，成果大于等于18s且小于等于19s，如图所示是按上述分组方法得到的频率分布直方图．设成果小于17s的学生人数占全班总人数的百分比为x，成果大于等于15s且小于17s的学生人数为y，则从频率分布直方图(如图所示)中分析出x和y分别为()A．0.9，35B．0.9，45C．0.1，35 D．0.1，45(2)为了了解高一年级学生的体能状况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形的面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，其次小组的频数为12.①其次小组的频率是多少？样本容量是多少？②若次数在110以上(含110次)为达标，则该校全体高一年级学生的达标率是多少？[解析](1)由频率分布直方图知x＝0.34＋0.36＋0.18＋0.02＝0.9，∵eq\f(y,50)＝0.36＋0.34＝0.7，∴y＝35.(2)①频率分布直方图是以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小的，因此其次小组的频率为eq\f(4,2＋4＋17＋15＋9＋3)＝0.08.又因为其次小组的频率＝eq\f(其次小组的频数,样本容量)，所以样本容量＝eq\f(其次小组的频数,其次小组的频率)＝eq\f(12,0.08)＝150.②由直方图可估计该校高一年级学生的达标率为eq\f(17＋15＋9＋3,2＋4＋17＋15＋9＋3)×100%＝88%.[答案](1)A(2)见解析方法技巧频率分布直方图的意义(1)频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各组内的频率大小．(2)在频率分布直方图中，各小矩形的面积之和等于1.(3)eq\f(频数,相应的频率)＝样本容量．跟踪探究2.某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30]．依据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()A．56 B．60C．120 D．140解析：由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，故每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.故选D.答案：D探究三茎叶图[例3]某中学高二(2)班甲、乙两名学生自进入中学以来，每次数学考试成果状况如下(单位：分)：甲：95，81，75，91，86，89，71，65，76，88，94，110，107.乙：83，86，93，99，88，103，98，114，98，79，78，106，101.画出两人数学成果的茎叶图，并依据茎叶图对两人的成果进行比较．[思路探究]题中可以用十位数字为茎，个位数字为叶作茎叶图．然后由茎叶图的特点分析两人的成果．[解析]甲、乙两人数学成果的茎叶图如图所示：从这个茎叶图上可以看出，乙同学的得分状况是大致对称的，中位数是98；甲同学的得分状况，也大致对称，中位数是88.乙同学的成果比较稳定，总体状况比甲同学好．方法技巧1.绘制茎叶图的关键是分清茎和叶，如本题中数据是两位数，十位数字为“茎”，个位数字为“叶”；假如是小数时，通常把整数部分作为“茎”，小数部分为“叶”，解题时要依据数据的特点合理选择茎和叶．2．利用茎叶图进行数据分析时，一般从数据分布的对称性、中位数、稳定性等几个方面来考虑．跟踪探究3.如图是某年青年歌手大奖赛中七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(图中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和一个最低分后，甲、乙两名选手得分的平均数分别为a1，a2，则肯定有()A．a1＞a2B．a2＞a1C．a1＝a2D．a1，a2的大小与m的值有关解析：依据茎叶图可知，去掉一个最高分和一个最低分后，甲的平均分为a1＝80＋eq\f(5＋4＋5＋5＋1,5)＝84，乙的平均分为a2＝80＋eq\f(4＋4＋6＋4＋7,5)＝85，故a2＞a1.答案：B授课提示：对应学生用书第37页[课后小结]1．列频率分布直方图的步骤：(1)计