大学物理：机械振动

物体在一定位置附近做往返运动称为机械振动（Vibration）物理量在某一量值附近做周期性的变化都可以称为振动简谐振动是最简单、最基本的振动定义机械振动大学物理§7-1简谐振动(HarmonicVibration)一、弹簧振子（SpringOscillator

）二、简谐运动的基本特征FxOkmx小幅振动满足胡克定律，劲度系数

物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为线性回复力。

令微分方程的解运动方程固有角频率固有周期

，T决定于振动系统的动力学性质三、简谐运动的速度与加速度称为“速度幅”称为“加速度幅”xtoA-ATvtovm-vmatoam-amxtoA-AT四、描述简谐运动的物理量A

—振幅(amplitude)离开平衡位置的最大位移

—

角频率

（或称圆频率）(angularfrequency)在2π秒时间内完成全振动的次数

—

初相

(initialphase)反映初始时刻振动系统的运动状态

周期T

完成一次全振动所经历的时间频率

1秒内完成全振动的次数频率与周期(frequency&period)振动的特征决定于相（相位）：用“相位”描述物体的运动状态用“相位”来比较两个同频率简谐振动的“步调”如何确定初相和振幅？A，

决定于初始条件(t=0)多值函数，由速度方向决定取舍相位差同频率（ω1＝ω2）的两个简谐振动，其相位差等于它们的初相位差，即：同相反相2超前1判别简谐振动的依据1、运动表达式为，其中

A

、

和

是常数。2、作用力的形式为，k

为正常系数。3、动力学方程可写成，为正的常系数，其平方根即为角频率。弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动yxP五、旋转矢量表示法旋转矢量的模为A

t=0时，旋转矢量与x

轴的夹角

旋转矢量的角速度为

矢量端点在x

轴上的投影点作简谐振动旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态此法求相位和初相特别方便yxP例质点沿x

轴作简谐振动，振幅为12cm，周期为2s。当

t=0时,

位移为6cm，且向x

轴正方向运动。求：振动表达式。

t=0.5s时质点的位移、速度和加速度。质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。解：1.设位移表达式为已知A=0.12m,T=2s，初始条件t=0时，

x0=0.06m,v0>0m振动表达式为

由初始条件用解析法求初相

由

v0>0决定取舍m由初始条件用旋转矢量法求初相

当t=0时,

位移为6cm，且向x

轴正方向运动OxAA/2

2.t=0.5s时质点的位移、速度和加速度下面的计算进入程序化yx3.质点从x=-6cm向x轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。

x=-6cm向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需要的时间例

两质点作同方向、同频率的简谐振动，振幅相等。当质点1在x1=A/2处，向

x

轴负方向运动时，另一个质点2在x2=0处，向x

轴正方向运动，质点1超前质点2且相差小于2p。求这两质点振动的相位差。解Ox质点1的振动超前质点2的振动Ol

mgT单摆(simplependulum)小幅振动，§7-2简谐运动的能量v振子动能振子势能xoEpEktxtE孤立谐振子的机械能守恒经典谐振子的总能量与振幅的平方成正比简谐振动系统的势能和动能的平均值，皆等于总能量的一半例

当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？解：当时，动能和势能各占总能量的一半。§7-3简谐运动的合成(superposition)一、同频率同方向简谐运动的合成声源1声源2PP

点的运动就是两个同方向振动的合成x若两个x

方向的简谐振动的角频率都是

同方向且同频率简谐振动的合成仍是简谐振动x

合振动的振幅与初相相互加强与相互减弱1、若两振动同相2、若两振动反相合振幅最大合振幅最小例两个同方向的简谐振动曲线（如图所示）

1、求合振动的振幅。

2、求合振动的振动表达式。解xTt两个简谐振动同方向，同频率

=2π/T，反相合振动振幅合振动初相xo合振动的振动表达式例

两个同方向同频率的简谐振动，其合振动的振幅为20cm，与第一个振动的相位差为。若第一个振动的振幅为，求：1、第二个振动的振幅；2、两个简谐振动的相位差。解：二、两个同方向不同频率简谐振动的合成

设两个同方向的简谐振动频率分别、合振动不是简谐振动

2

1合振幅随时间变化xo拍(beat),拍频(beatfrequency)

2

1拍

——合振动的振幅周期性变化的现象拍频

——合振动的振幅变化的频率1秒内，转圈，而转圈，两者同相或反向的次数，故拍频为设，且频率相近xo合振动表达式设两振动振幅相等，初相相同若频率差很小，可看成振幅随时间缓慢变化的近似谐振动合振动的波形图三、振动方向相互垂直的同频率简谐振动的合成

yx对应不同相位差的合运动轨迹合运动具有稳定封闭的轨迹李萨如图形(Lissajou’sPattern)三、振动方向相互垂直的不同频率简谐振动的合成

（振动1在x方向，振动2在y方向）§7-4阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动（DampingVibration）Ox令：固有频率阻尼因子则：共有三种不同形式的解：阻尼振荡过阻尼临界振荡二、受迫振动（ForceVibration）系统受周期性外力的作用Ox驱动力三、共振（Resonance）A无阻尼小阻尼共振:当驱动力的角频率接近或等于固有频率时，振幅A取极大值，产生共振。§7-5振动的分解与频谱分析任一角频率为w的周期振动x(t)，可以分解为一系列简谐振动的和，这些振动的角频率分别为w和w的整数倍！其