第12讲一元二次方程的根与系数的关系-2023年新九年级数学暑假课（北师大版）

第12讲一元二次方程的根与系数的关系掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.一.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.二.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1、x2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程的两根为、，则①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数；当△≥0且，时，两根同为负数．②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．要点：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．考点1：利用一元二次方程根与系数的关系求值例1．若、是一元二次方程的两根，则的值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可．【解析】解：∵、是一元二次方程的两根，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若、是一元二次方程的两根，则，，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．例2．设方程的两个根为，，则的值是（

）A． B． C．2 D．4【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【解析】解：由一元二次方程根与系数的关系得：．故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟记，．考点2：通过化简、变形利用一元二次方程根与系数的关系求值例3．已知关于的一元二次方程有两个实数根，，若，则的值为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系代入求解即可得到答案．【解析】解：由题意可得，，，∵，∴，解得，故选A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系：，．例4．已知、是方程的两个实数根，则的值是（

）A．2016 B．2018 C．2022 D．2024【答案】A【分析】根据一元二次方程的解得出，根据一元二次方程根与系数的关系得出，代入代数式即可求解．【解析】解：∵、是方程的两个实数根，∴，，即，∴，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，掌握以上知识是解题的关键．例5．若方程的两个实数根为、，则的值为（

）A．7 B．3 C．－5 D．9【答案】C【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案．【解析】解：∵方程的两个实数根为、，∴，，∴，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知：若是一元二次方程的两个根，则，；是解本题的关键．例6．已知，是一元二次方程的两个实数根，则=（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，，对分式进行运算，代入求解即可．【解析】解：，是一元二次方程的两个实数根则，，，故选B【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系以及分式的运算，解题的关键是掌握一元二次方程根与系数的关系，，是一元二次方程的两个实数根，则，．例7．设，是一元二次方程的两个根，那么的值等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，，进而推出，再推出，代入即可得到答案．【解析】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，，。∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义和根与系数的关系，正确推出是解题的关键．考点3：利用一元二次方程根与系数的关系求参数例8．若关于x的一元二次方程的两个根互为相反数，则m的值为（

）A．3或 B． C．3 D．2或【答案】A【分析】利用根与系数的关系，则这两个根的和为零，从而得，解方程即可．【解析】设一元二次方程的两个根分别为、，由题意得：，由一元二次方程根与系数的关系得：，解方程得：，，此时，判别式的值，符合题意．故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，关键是由根与系数的关系得到关于m的一元二次方程．例9．若关于的一元二次方程的两根互为倒数，则（

）A．3 B．1 C． D．【答案】B【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．【解析】解：设、是的两根，∴根据根与系数的关系，可得：，∵方程的两根互为倒数，∴可得，∴，解得：，∵方程有两个实数根，∴，当时，，∴符合题意，当时，，∴不符合题意．∴，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．例10．是方程的两个实根，若恰成立，则的值为（

）A． B．或 C． D．或1【答案】A【分析】根据根与系数的关系，结合判别式的取值范围，进行求解即可．【解析】解：是方程的两个实根，则：，解得：，，∴整理得：，解得：或，∵，∴；故选A．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系．熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．解题时要注意判别式的符号．考点4：利用一元二次方程根与系数的关系分析、判断命题真假例11．关于x的方程（x﹣1）（x+2）＝p2（p为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（）A．两个正根B．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值大C．两个负根D．一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小【答案】D【分析】方程整理为一般形式，设两根分别为a，b，利用根与系数的关系表示出a+b与ab，判断即可．【解析】解：设方程两根设为a，b，方程整理得：x2+x﹣2﹣p2＝0，∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1＜0，ab＝﹣2﹣p2＜0，则一个正根，一个负根，正根的绝对值比负根的绝对值小．故选：D．【点睛】此题考查了根与系数的关系，绝对值，以及根的判别式，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．例12．有两个关于x的一元二次方程：，，其中a+c=0，以下列四个结论中，①如果，那么方程M和方程N有一个公共根为1；②方程M和方程N的两根符号异号，而且它们的两根之积必相等；③如果2是方程M的一个根，那么一定是方程N的一个根；④如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必定是．其中错误的结论的个数是（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】当时，得出，得出即可判断①；根据根与系数的关系，由即可判断②；将代入方程中可得出，方程两边同时除以4可得出，由此可得出是方程的一个根，即可判断③；设相同的根为，将其代入两方程中作差后可得出，解之可得出，进而可得出两方程有相同的根，即可判断④．【解析】解：，方程的一个根为1，方程有一个根为1，如果，那么方程和方程有一个公共根为1，结论①正确；，，，，方程和方程的两根之积必相等，结论②正确；是方程的一个根，，即，是方程的一个根，结论③正确；设相同的根为，则，①②得：，．，，，，，．即有相同的根，结论④错误．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，逐一分析四条选项的正误是解题的关键．考点5：利用一元二次方程根与系数的关系比较根的大小例13．设，是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先将一元二次方程化成一般式，再根据根与系数关系得出x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，，然后根据，得出m1<0，n>0，即可求解．【解析】解：∵x2+x+n=mx，∴x2+（1m）x+n=0，∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根．∴x1+x2=(1m)=m1，x1x2=n，∵，∴x1+x2<0，x1x2>0，∴m1<0，n>0，∴m<1，n>0，故选：C．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系“，是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则x1+x2=，x1x2=”是解题的关键．例14．关于x的方程有两个不相等的实数根，，则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．当时， D．当时，【答案】C【分析】将原式整理为一元二次方程的一般式，根据关于x的方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根，运用根的判别式可判断A选项；运用根于系数的关系可判断选项B；运用求根公式可判断选项C、D．【解析】解：(x−2)(x−3)=m整理为x2−5x+6−m=0，A、∵关于x的方程(x−2)(x−3)=m有两个不相等的实数根，∴b2−4ac＞0，即(−5)2−4×1×(6−m)＞0，解得：m＞，故此选项正确，不符合题意；B、根据根于系数的关系可得：x1+x2=，∴，故此选项正确，不符合题意；C、当m>0时，，，∴当m>0时，x1<2<3<x2，故此选项错误，符合题意；D、由C可知此选项正确，不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，解题的关键是熟知根的判别式以及根与系数的关系．考点6：解答证明题例15．已知关于x的方程：．(1)求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个实数根，，满足，求a的值．【答案】(1)见解析(2)或3【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，从而得到，再由，可得到关于a的方程，即可求解．【解析】（1）解：根据题意得：，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）解：根据题意得：，∴，即，∵，∴，解得：或3，即a的值为或3．【点睛】本题考查一元二次方程的根；熟练掌握判别式确定根的存在情况，灵活应用根与系数的关系是解题的关键．例16．关于的一元二次方程：(1)若方程有两个不等的实数根，求的取值范围；(2)若、是方程的两根，且．求的值．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由根的判别式可得答案；（2）将，代入，计算可得答案．【解析】（1）解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根，，；（2）解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，，，，，，．【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）熟练掌握“当时，方程有两个不等实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，得出关于的一元二次方程．例17．已知关于的方程(1)求证：无论取什么实数，这个方程总有两个相异的实数根；(2)若这个方程的两个实数根满足，求的值及相应的．【答案】(1)详见解析(2)，，；，，【分析】（1）证明方程有两个相异的根，即求根的判别式，根据一元二次方程根的判别式即可求解；（2）根据韦达定理，两根之和，两根之积的关系即可求解．【解析】（1）证明：由题意得，在一元二次方程中，，，，∴∴，∵，即，∴无论取什么实数，方程总有两个相异的实数根．故证明过程如上述所示．（2）解：据题意得，，，，，，∵方程总有两个不相等的实数根，∴异号或有一个为，由，当时，，即，解得，此时，方程为，解得，；当，时，，解得，此时，方程为，解得，，故答案是：，，；，，．【点睛】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，理解和掌握一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，韦达定理是解题的关键．例18．阅读下列材料并完成练习题：已知一元一次方程的两个实数根分别为和∵∴对比系数可得：，类比上面的证明方法：(1)如果一元三次方程的两个实数根分别为，，，______，______，______．(2)已知方程，求值：______．【答案】(1)，，(2)【分析】（1）将一元三次方程按照一元二次方程的方式因式分解为，再将其按照多项式乘以多项式的方式展开，最后得到，，，由此即可求解；（2）由（1）的结论代入即可求得，，，再将变形为，由此即可求解．【解析】（1）解：根据材料提示得，，∴，，，∴，，，故答案为：，，．（2）解：根据（1）的结论得，一元三次方程中，，，，，∴，，，且，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查根据一元二次方程的韦达定理推理一元三次方程中根与系数的关系，掌握一元二次方程中根与系数的关系，多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键．例19．阅读下列材料：韦达定理：若一元二次方程的两根分别为．则，．阅读下面应用韦达定理的过程：若一元二次方程的两根分别为．求的值．解：该一元二次方程的判别式，由韦达定理可得：，，解答下列问题：(1)设方程的两根分别为，不解方程，利用韦达定理求代数式的值；(2)若关于x的一元二次方程的两实数根分别为，且，利用韦达定理求k的值．【答案】(1)(2)1【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系，可得，再代入，即可求解；（2）利用一元二次方程根与系数的关系和根的判别式，可得，，从而得到，再由可得到关于k的方程，即可求解．【解析】（1）解：∵，∴设方程的两根分别为，由韦达定理得：，∴；（2）解：∵关于x的一元二次方程的两实数根分别为，∴，∴，由韦达定理得：，∵，∴，即，∴，解得：（舍去）或1，所以k的值为1．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．一、单选题1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若是方程的两个实数根，则的值为（

）A．3或 B．或9 C．3或 D．或6【答案】A【分析】结合根与系数的关系以及解出方程进行分类讨论即可得出答案．【解析】解：∵，∴，,则两根为：3或1，当时，，当时，，故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系以及解二元一次方程，正确解出方程进行分类讨论是解题的关键．2．（2022·四川宜宾·统考中考真题）已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为（

）A．0 B．－10 C．3 D．10【答案】A【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m5=0，即m2+2m=5，代入即可求解．【解析】解：∵m、n是一元二次方程的两个根，∴mn=－5，m2+2m5=0，∴m2+2m=5，∴=5－5=0，故选：A．【点睛】本题考查代数式求值，一元二次方程根与系数关系，方程解的意义，根据一元二次方程根与系数关系和方程解的意义得出mn=5，m2+2m=5是解题的关键．3．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）已知关于的一元二次方程的两根分别记为，，若，则的值为（

）A．7 B． C．6 D．【答案】B【分析】根据根与系数关系求出=3，a=3，再求代数式的值即．【解析】解：∵一元二次方程的两根分别记为，，∴+=2，∵，∴=3，∴·=a=3，∴a=3，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的根与系数关系，代数式的值，掌握一元二次方程的根与系数关系，代数式的值是解题关键．4．（2022·湖北武汉·统考中考真题）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（

）A．2或6 B．2或8 C．2 D．6【答案】A【分析】根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可．【解析】解:∵关于x的一元二次方程有两个实数根,∴,∴∵是方程的两个实数根,∵，又∴把代入整理得,解得,故选A【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）由根与系数的关系结合，找出关于m的一元二次方程．5．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（

）A．4045 B．4044 C．2022 D．1【答案】A【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解．【解析】解：解：∵，是方程的两个实数根，∴，，故选A【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．二、填空题6．（2023·四川宜宾·统考中考真题）若关于x的方程两根的倒数和为1，则m的值为___________．【答案】2【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．【解析】解：设方程的两个根分别为a，b，由题意得：，，∴，∴，解得：，经检验：是分式方程的解，检验：，∴符合题意，∴．故答案为：2．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．7．（2022·四川巴中·统考中考真题）、是关于的方程的两个实数根，且，则的值为________．【答案】【分析】，然后根据方程的解的定义以及一元二次方程根与系数的关系，得到关于k的一元一次方程，即可解得答案．【解析】解：∵是方程的根∴，∴∴k=4故答案是4．【点睛】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的问题是本题的解题关键．8．（2022·湖北鄂州·统考中考真题）若实数a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，且a≠b，则的值为_____．【答案】【分析】先根据题意可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到a+b=4，ab=3，再根据进行求解即可．【解析】解：∵a、b分别满足a2﹣4a+3＝0，b2﹣4b+3＝0，∴可以把a、b看做是一元二次方程的两个实数根，∴a+b=4，ab=3，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．9．（2022·山东日照·统考中考真题）关于x的一元二次方程2x2+4mx+m=0有两个不同的实数根x1，x2，且，则m=__________．【答案】/0.125【分析】根据根与系数的关系得到x1+x2=2m，x1x2=，再由x12+x22=变形得到（x1+x2）22x1x2=，即可得到4m2m=，然后解此方程即可．【解析】解：根据题意得x1+x2=2m，x1x2=，∵x12+x22=，∴（x1+x2）22x1x2=，∴4m2m=，∴m1=，m2=，∵Δ=16m28m＞0，∴m＞或m＜0时，∴m=不合题意，故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．10．（2022·四川内江·统考中考真题）已知x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，且＝x12+2x2﹣1，则k的值为_____．【答案】2【分析】根据一元二次方程根与系数的关系以及解的定义得到x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，再根据＝x12+2x2﹣1，推出＝4﹣k，据此求解即可．【解析】解：∵x1、x2是关于x的方程x2﹣2x+k﹣1＝0的两实数根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝k﹣1，x12﹣2x1+k﹣1＝0，∴x12＝2x1﹣k+1，∵＝x12+2x2﹣1，∴＝2（x1+x2）﹣k，∴＝4﹣k，解得k＝2或k＝5，当k＝2时，关于x的方程为x2﹣2x+1＝0，Δ≥0，符合题意；当k＝5时，关于x的方程为x2﹣2x+4＝0，Δ＜0，方程无实数解，不符合题意；∴k＝2，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．三、解答题11．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．【答案】(1)见解析(2)或．【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．12．（2020·湖北·中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）若，求k的值．【答案】(1)；(2)【分析】(1)根据建立不等式即可求解；(2)先提取公因式对等式变形为，再结合韦达定理求解即可．【解析】解：(1)由题意可知，，整理得：，解得：，∴的取值范围是：．故答案为：．(2)由题意得：，由韦达定理可知：，，故有：，整理得：，解得：，又由(1)中可知，∴的值为．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程判别式、根与系数的关系、韦达定理、一元二次方程的解法等知识点，当＞0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当＜0时，方程没有实数根．13．（2019·湖北黄石·统考中考真题）已知关于的一元二次方程有实数根.（1）求的取值范围.（2）若该方程的两个实数根为、，且，求的值.【答案】（1）.（2）.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；（2）由根与系数的关系可得出x1+x2=6，x1x2=4m+1，结合|x1x2|=4可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x26x+（4m+1）=0有实数根，∴△=（6）24×1×（4m+1）≥0，解得：m≤2；（2）∵方程x26x+（4m+1）=0的两个实数根为x1、x2，∴x1+x2=6，x1x2=4m+1，∴（x1x2）2=（x1+x2）24x1x2=42，即3216m=16，解得：m=1．【点睛】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用根与系数的关系结合|x1x2|=4，找出关于m的一元一次方程．一、单选题1．方程的两根为，，下列各式正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根据根与系数的关系直接求解即可．【解析】根据题意有：，，故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系：若方程的两根为，，则，．2．已知x2﹣2x﹣5＝0的两个根为x1、x2，则x1+x2的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣5 D．5【答案】B【分析】根据根与系数的关系x1+x2代入计算即可．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个根，∴x1+x22，故选：B．【点睛】此题考查了根与系数的关系，设x1，x2为方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根，则有x1+x2，x1•x2=．3．若是一元二次方程的两个根，则的值是（）A．4 B．3 C． D．【答案】B【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可得．【解析】解：是一元二次方程的两个根，，故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟记一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．4．已知，是一元二次方程的两根，则的值为（

）A．0 B．2 C．1 D．－1【答案】B【分析】利用一元二次方程的解的定义，根与系数的关系，可得x1+x2=2，x12−2x1−1=0，两式相加，即可求解．【解析】解：∵x1，x2是一元二次方程x2−x−1=0的两个根，∴x1+x2=1，x12−x1−1=0，两式相加得：x12−x1−1+x1+x2=1移项得：x12+x2=2故选B【点睛】本题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程解的定义、根与系数的关系是解题的关键．5．已知、是一元二次方程的两个实数根，则的值为（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】通分：，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：，可得出答案．【解析】解：由韦达定理：，可得，故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程韦达定理的应用，检验学生对一元二次方程根与系数的关系知识点的掌握情况．6．已知方程的两根分别为、，则的值为（

）A．1 B． C．2023 D．【答案】B【分析】由题意得，，将代数式变形后再代入求解即可．【解析】解：∵方程的两根分别为、，∴，，，∴∴．故选：B．【点睛】本题考查根的定义及根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．7．若关于的一元二次方程（且）与关于的一元一次方程有一个公共解，且方程只有一个解，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由是方程和的一个公共解，可得出是方程的一个解，根据根与系数的关系即可得出，整理后即可得出结论．【解析】解：∵关于的一元二次方程与关于的一元一次方程有一个公共解，∴是方程的一个解，∵方程只有一个解，∴，整理得：．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及根与系数的关系，根据根与系数的关系找出是解题的关键．8．若方程有两个同号不等的实数根，则m的取值范围（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程有两个同号不等的实数根，得到，以及两根之积大于0，列出不等式组进行求解即可．【解析】解：∵方程有两个同号不等的实数根，∴，解得：；故选：D．【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握方程有两个不相等的实数根，，以及两根之积为是解题的关键．9．已知，，若，则下列等式成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先推出，，进而得到a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，由根与系数的关系即可得到．【解析】解：∵，，∴，，∴a、b相当于是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．10．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【解析】解：∵是方程的两个相等的实数根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合题意，∴∴符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．二、填空题11．设分别是一元二次方程的根，填空：（1）．___________，___________．（2）．___________，___________．（3）．___________，___________．【答案】1/1.5/【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．（2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．（3）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．【解析】（1）．，．（2）．，．（3）．，．故答案为：，1；，；，．【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系：，．12．已知是一元二次方程的两根，则________．【答案】8【分析】利用根与系数的关系求解即可．【解析】解：利用根与系数的关系可知：，故答案为：8．【点睛】本题考查一元二次方程中根与系数的关系：，关键是要记住公式．13．若α、β是方程的两个实数根，则_____．【答案】4【分析】先根据一元二次方程根的定义得到，则，进而得出，然后根据一元二次方程根与系数的关系得，再利用整体代入的方法计算即可．【解析】解：∵α方程的实数根，∴，∴，∴，∵α、β是方程的两个实数根，∴，∴．故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的根的定义，得出是解题的关键．14．若实数，分别满足，，且，则的值为______．【答案】【分析】先根据题意可以把、看作是一元二次方程的两个实数根，利用根与系数的关系得到，再代入代数式进行求解即可．【解析】解：∵、分别满足，∴可以、看作是一元二次方程的两个实数根，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了代数式求值，一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．15．若、为的两根，则的值为______．【答案】0【分析】由已知中α，β是方程的两个实数根，结合根与系数的关系转化求解即可．【解析】解：α，β是方程的两个实数根，可得，∴．∴的值为0．故答案为：0．【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程根与关系，若α，β是一元二次方程的两根时，，．16．若，是关于x的方程的两个实数根，则代数式的值是___________．【答案】7【分析】根据题意得到，，再将所求式子变形为，代入计算即可．【解析】解：∵，是关于x的方程的两个实数根，∴，，∴，∴，故答案为：7．【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，一元二次方程解的概念，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．17．关于的一元二次方程两个实数根、且，则m的取值范围是________；【答案】【分析】根据根的判别式、根与系数的关系列出关于的不等式组，通过解该不等式组，求得的取值范围．【解析】解：∵的一元二次方程两个实数根、∴，，解得：，∵，∴，解得：，∴．【点睛】本题考查了解不等式组，一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．18．若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为则的值为_________．【答案】【分析】利用根与系数的关系得到，；，；…，；把原式变形，再代入，即可求出答案．【解析】解：∵，，∴由根与系数的关系得：，；，；…，；∴原式故答案为：【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．三、解答题19．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣x+m﹣2＝0的两个实根．（1）求m的取值范围；（2）若m满足2x1+x2＝m+1，求m的值．【答案】（1）m≤；（2）．【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个实数根，所以只需用求出m即可；（2）利用一元二次方程根与系数的关系，先得到，又，计算可得两根，再由两根的积建立等式求解即可.【解析】（1）由题意得：解得：故m的取值范围为；（2）由题意得：联立①得：将的值代入②得：解得：经检验，均在取值范围内，符合要求故m的值为.【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，设有两个实数根为，则有，这是常考点，需重点掌握.20．关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2，（1）求实数k的取值范围；（2）若方程两实根x1，x2满足x1+x2+x1x2﹣1＝0，求k的值．【答案】（1）k＜；（2）k＝0【分析】（1）根据一元二次方程的根的判别式得出△＞0，求出不等式的解集即可；（2）根据根与系数的关系得出x1+x2=（2k1）=12k，x1•x2=k2，代入x1+x2+x1x21=0，即可求出k值．【解析】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2k﹣1）x+k2＝0有两个不等实根x1，x2∴△＝（2k﹣1）2﹣4×1×k2＝﹣4k+1＞0∴k＜；（2）由根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k﹣1）＝1﹣2k1•x2＝k2∵x1+x2+x1x2﹣1＝0∴1﹣2k+k2﹣1＝0∴k＝0或2∵由（1）得，k＜∴k＝2舍去∴k＝0．【点睛】本题考查解一元一次不等式，根的判别式和根与系数的关系等知识点，熟记根的判别式和根与系数的关系的内容是解题的关键．21．已知关于的一元二次方程.（1）若方程有实数根，求实数的取值范围；（2）若方程两实数根分别为，，且满足，求实数的值【答案】（1）；（2）实数的值是1.【分析】（1）根据方程有实数根的条件，即Δ≥0求解即可；（2）由韦达定理把x1+x2和x1x2分别用含m的式子表达出来，然后根据x12+x22=16+x1x2求解即可.【解析】（1）由题意得当时，原方程有实数根，，;（2）由韦达定理得，

，解得

（舍去）实数的值是1.【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记（1）“当△≥0时，方程有实数根”；（2）根与系数的关系，是解题的关键.22．已知，是方程的两根，求下列各式的值：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)(4)【分析】（1）根据题意可得：，，然后将原式化为，再整体代入计算即可；（2）根据，整体代入计算后开平方根求得的值，将原式化为，再整体代入计算即可；（3）将原式化为，再整体代入计算即可；（4）由（2）知的值，再开算术平方根即可．【解析】（1）解：∵，是方程的两根，∴，，∴，∴的值为；（2）∵∴，∴，∴，∴的值为；（3）∵，∴的值为；（4）由（2）知：，∴的值为．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，．掌握查一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．23．已知关于的方程．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程的两个实数根都是整数，求正整数的值．【答案】(1)见解析(2)或【分析】（1）求出判别式的符号，进行判断即可；（2）根据根与系数的关系进行求解即可．【解析】（1）解：∵，∴；∵，∴方程总有两个实数根；（2）解：设方程的两个根为，则：，∵方程的两个实数根都是整数，∴是整数，∵为正整数，∴．【点睛】本题考查根的判别式，根与系数的关系．熟练掌握判别式大于0，方程有两个不相等的实数根，判别式等于0，方程有两个相等的实数根，判别式小于0，方程没有实数根，以及根与系数的关系，是解题的关键．24．关于x的一元二次方程：有实数根．(1)求m的取值范围；(2)若，是方程的两根，且，求m的值．【答案】(1)(2)2【分析】（1）根据有实数根，可得，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到求出，，代入已知等式中，求出m值即可．【解析】（1）解：∵方程有实数根，∴，∴；（2）解：∵，是方程的两个根，∴，，∵，∴，解得：，即m的值是2．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．25．已知关于x的一元二次方程(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．【答案】(1)见解析(2)或．【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．【解析】（1）证明：关于的一元二次方程，∴，，，∴，∵，即，∴不论为何值，方程总有实数根；（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，∴，，∵，∴，∴，整理，得，解得，，∴m的值为或．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次