专题31对角互补模型-初中数学模型与解题方法专题训练

31对角互补模型一、单选题1．Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论:①(BE+CF)=BC，②，③AD·EF，④AD≥EF，⑤AD与EF可能互相平分，其中正确结论的个数是()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【详解】解:∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点．∠MDN=90°，∴AD=DC，∠EAD=∠C=45°，∠EDA=∠MDN－∠ADN=90°－∠ADN=∠FDC．∴△EDA≌△FDC（ASA）．∴AE=CF．∴BE+CF=BE+AE=AB．在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=BC．∴(BE+CF)=BC．∴结论①正确．设AB=AC=a，AE=b，则AF=BE=a－b．∴．∴．∴结论②正确．如图，过点E作EI⊥AD于点I，过点F作FG⊥AD于点G，过点F作FH⊥BC于点H，ADEF相交于点O．∵四边形GDHF是矩形，△AEI和△AGF是等腰直角三角形，∴EO≥EI（EF⊥AD时取等于）=FH=GD，OF≥GH（EF⊥AD时取等于）=AG．∴EF=EO＋OF≥GD＋AG=AD．∴结论④错误．∵△EDA≌△FDC，∴．∴结论③错误．又当EF是Rt△ABC中位线时，根据三角形中位线定理知AD与EF互相平分．∴结论⑤正确．综上所述，结论①②⑤正确．故选C．2．如图，为等边三角形，以为边向外作，使，再以点C为旋转中心把旋转到CAE，则给出下列结论：①D，A，E三点共线；②平分；③；④．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【详解】解：如图，①设∠1=x度，则∠2=（60x）度，∠DBC=（x+60）度，故∠4=（x+60）度，∴∠2+∠3+∠4=60x+60+x+60=180度，∴D、A、E三点共线；故①正确；②∵△BCD绕着点C按顺时针方向旋转60°得到△ACE，∴CD=CE，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，∴∠E=60°，∴∠BDC=∠E=60°，∴∠CDA=120°60°=60°，∴DC平分∠BDA；故②正确；③∵∠BAC=60°，∠E=60°，∴∠E=∠BAC．故③正确；④由旋转可知AE=BD，又∵∠DAE=180°，∴DE=AE+AD．∵△CDE为等边三角形，∴DC=DB+DA．故④正确；故选：D．二、填空题3．如图，在四边形中，于，则的长为【答案】【详解】解：过点B作交DC的延长线交于点F，如右图所示，∵，，∴≌，，，即，，故答案为．4．如图，在Rt△ABC和Rt△BCD中，∠BAC＝∠BDC＝90°，BC＝8，AB＝AC，∠CBD＝30°，BD＝4，M，N分别在BD，CD上，∠MAN＝45°，则△DMN的周长为．【答案】4+4．【详解】将△ACN绕点A逆时针旋转，得到△ABE，如图：由旋转得：∠NAE＝90°，AN＝AE，∠ABE＝∠ACD，∠EAB＝∠CAN，∵∠BAC＝∠D＝90°，∴∠ABD+∠ACD＝360°﹣90°﹣90°＝180°，∴∠ABD+∠ABE＝180°，∴E，B，M三点共线，∵∠MAN＝45°，∠BAC＝90°，∴∠EAM＝∠EAB+∠BAM＝∠CAN+∠BAM＝∠BAC﹣∠MAN＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAM＝∠MAN，在△AEM和△ANM中，，∴△AEM≌△ANM（SAS），∴MN＝ME，∴MN＝CN+BM，∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°，BD＝4，CD＝BD×tan∠CBD＝4，∴△DMN的周长为DM+DN+MN＝DM+DN+BM+CN＝BD+DC＝4+4，故答案为4+4．5．如图，在平面直角坐标系xOy中，A,B两点分别在x轴，y轴的正半轴上，且OA=OB，点C在第一象限，OC=3，连接BC，AC，若∠BCA=90°，则BC+AC的值为．【答案】【详解】解：将△OBC绕O点旋转90°，∵OB=OA∴点B落在A处，点C落在D处且有OD=OC=3，∠COD=90°，∠OAD=∠OBC，在四边形OACB中∵∠BOA=∠BCA=90°，∴∠OBC+∠OAC=180°，∴∠OAD+∠OAC=180°∴C、A、D三点在同一条直线上，∴△OCD为等要直角三角形，根据勾股定理CD2=OC2+OD2即CD2=32+32=18解得CD=；即BC+AC=.6．如图，四边形ABCD中，已知AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，若四边形ABCD的面积为4，则AC＝．【答案】4．【详解】解：将△ACD绕点A顺时针旋转60°，得到△ABE．∵四边形内角和360°，∴∠D+∠ABC＝180°．∴∠ABE+∠ABC＝180°，∴E、B、C三点共线．根据旋转性质可知∠EAC＝60度，AE＝AC，∴△AEC是等边三角形．四边形ABCD面积等于△AEC面积，等边△AEC面积，解得AC＝4．故答案为4．三、解答题7．阅读下面材料：小炎遇到这样一个问题：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=45°，连结EF，则EF=BE+DF，试说明理由．小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段AB，AD是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：（1）如图3，四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF=45°．若∠B，∠D都不是直角，则当∠B与∠D满足_关系时，仍有EF=BE+DF；（2）如图4，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，求DE的长．【答案】（1）∠B+∠D=180°（或互补）；（2）∴【详解】试题分析：(1)如图，△ABE绕着点A逆时针旋转90°得到△ADG，利用全等的知识可知，要使EF=BE+DF，即EF=DG+DF，即要F、D、G三点共线，即∠ADG+∠ADF=180°，即∠B+∠D=180°．(2)把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合，通过证明△AEG≌△AED得到DE=EG，由勾股定理即可求得DE的长．(1)∠B+∠D=180°（或互补）．(2)∵AB=AC，∴把△ABD绕A点逆时针旋转90°至△ACG，可使AB与AC重合．则∠B=∠ACG，BD=CG，AD=AG．∵在△ABC中，∠BAC=90°，∴∠ACB+∠ACG=∠ACB+∠B=90°于，即∠ECG=90°．∴EC2+CG2=EG2．在△AEG与△AED中,∠EAG=∠EAC+∠CAG=∠EAC+∠BAD=90°∠EAD=45°=∠EAD．又∵AD=AG，AE=AE，∴△AEG≌△AED．∴DE=EG．又∵CG=BD,∴BD2+EC2=DE2．∴．8．一位同学拿了两块三角尺，做了一个探究活动：将的直角顶点放在的斜边的中点处，设.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长.【答案】（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【详解】解：，，，是AB的中点，，，，重叠部分的面积是，周长为：；故答案为4，；重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为．故答案为4，8．过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，是斜边AB的中点，，，，，又，，，，在和中，，≌，阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，正方形CEMH的面积是；阴影部分的面积是4；故答案为4．如图所示，过点M作于点E，于点H，四边形MECH是矩形，，，，，，在和中，，≌，，，，．四边形DMGC的周长为：．9．在内有一点，过点分别作，，垂足分别为，．且，点，分别在边和上．（1）如图1，若，请说明；（2）如图2，若，，猜想，，具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．【答案】（1）见解析；（2），见解析【详解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：过点作，交于点，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．10．如图，在中，，，点在上，点在上，，连接，，，垂足为．证明：．【答案】见解析【详解】证明：如图，延长到点，使，连接、，，，，，，，，，，，，，，，，，．11．我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫作“完美四边形”．（1）在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美"四边形的是_________（请填序号）；（2）在“完美”四边形中，，，连接．①如图1，求证：平分；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分：想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．请你参考上面的想法，选择其中一种想法帮助小明证明平分；②如图2，当时，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】（1）④

（2）①见解析

②；证明见解析【详解】（1）①平行四边形的两邻边不一定相等，不符合题意；②菱形一组邻边相等，但对角相等不一定互补，不符合题意；③矩形的两邻边不一定相等，不符合题意；④正方形的组邻边相等且对角互补，符合题意；故答案为④；（2）解：①想法一：延长使，连接∵，，∴．∵，∴．∴；．∴．∴．即平分想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到，∴．∴；；．∵，∴．∴点，，在一条直线上．∵，∴．∴．即平分②延长使，连接，由①得为等腰三角形．∵，∴．∴．∴．∴．13．问题背景：如图1，在四边形中，，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．探究图中线段，，之间的数量关系．小李同学探究此问题的方法是：延长到G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论就是_______________；探究延伸1：如图2，在四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”或者“不成立”），不要说明理由．探究延伸2：如图3，在四边形中，，，，绕B点旋转，它的两边分别交、于E、F．上述结论是否仍然成立？并说明理由．实际应用：如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．【答案】EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．实际应用：210海里．【详解】解：EF=AE+CF理由：延长到G，使，连接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，∴∠ABE+∠CBF=60°，∴∠CBG+∠CBF=60°，即∠GBF=60°，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸1：结论EF=AE+CF成立．理由：延长到G，使，连接，在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立．理由：延长到G，使，连接，∵，∠BCG+∠BCD=180°，∴∠BCG=∠BAD在△BCG和△BAE中，，∴（SAS），∴BG=BE，∠CBG=∠ABE，∵∠ABC=2∠MBN，∴∠ABE+∠CBF=∠ABC，∴∠CBG+∠CBF=∠ABC，即∠GBF=∠ABC，在△BGF和△BEF中，，∴△BGF≌△BEF（SAS），∴GF=EF，∵GF=CG+CF=AE+CF，∴EF=AE+CF．实际应用：连接EF，延长AE，BF相交于点C，∵∠AOB=30°+90°+(90°70°)=140°，∠EOF=70°，∴∠EOF=∠AOB∵OA=OB，∠OAC+∠OBC=(90°30°)+(70°+50°)=180°，∴符合探索延伸中的条件∴结论EF=AE+CF仍然成立；即EF=75×1.2+100×1.2=210（海里）答：此时两舰艇之间的距离为210海里．14．如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系．（1）思路梳理将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即点F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为__；（2）类比引申如图2，在图1的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC延长线上，∠EAF=∠BAD，连接EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明．（3）联想拓展如图3，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且∠DAE=45°，若BD=1，EC=2，直接写出DE的长为________________.【答案】（1）EF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明见解析；（3）.【详解】解：（1）将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，∵∠B＋∠ADC＝180°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G三点共线，∵∠BAE＝∠DAG，∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF，在△AFG和△AFE中，，∴△AFG≌△AFE，∴EF＝FG＝DG＋DF＝BE＋DF；（2）EF＝DF−BE；证明：将△ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到△ADE'，则△ABE≌ADE'，∴∠DAE'＝∠BAE，AE'＝AE，DE'＝BE，∠ADE'＝∠ABE，∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∠ABC＋∠ABE＝180°，∴∠ADE'＝∠ADC，即E'，D，F三点共线，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠E'AF＝∠BAD−（∠BAF＋∠DAE'）＝∠BAD−（∠BAF＋∠BAE）＝∠BAD−∠EAF＝∠BAD，∴∠EAF＝∠E'AF，在△AEF和△AE'F中，，∴△AFE≌△AFE'（SAS），∴FE＝FE'，又∵FE'＝DF−DE'，∴EF＝DF−BE；（3）将△ABD绕点A逆时针旋转至△ACD'，使AB与AC重合，连接ED'，同（1）可证△AED≌AED'，∴DE＝D'E．∵∠ACB＝∠B＝∠ACD'＝45°，∴∠ECD'＝90°，在Rt△ECD'中，ED'＝，即DE＝，故答案为：．15．五边形ABCDE中，，，，求证：AD平分∠CDE．【答案】见解析【详解】延长DE至F，使得，连接AC.∵，，∴∵，，∴△ABC≌△AEF．∴，∵，∴，∴△ADC≌△ADF，∴；即AD平分∠CDE．16．探究问题：(1)方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠BAF＝45°，连接EF，求证DE＋BF＝EF．感悟解题方法，并完成下列填空：将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，∴

∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF＝45°∴∠2＋∠3＝∠BAD－∠EAF＝90°－45°＝45°．∵∠1＝∠2，∠1＋∠3＝45°．即∠GAF＝∠________．又AG＝AE，AF＝AE∴△GAF≌△________．∴_________＝EF，故DE＋BF＝EF．(2)方法迁移：如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF＝∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．【答案】(1)EAF、△EAF、GF；(2)DE＋BF＝EF.【详解】解：（1）如图①所示；根据等量代换得出∠GAF=∠FAE，利用SAS得出△GAF≌△EAF，∴GF=EF，故答案为FAE；△EAF；GF；(2)DE＋BF＝EF，理由如下：假设∠BAD的度数为m，将△ADE绕点A顺时针旋转，m°得到△ABG，如图，此时AB与AD重合，由旋转可得：

AB＝AD，BG＝DE，∠1＝∠2，∠ABG＝∠D＝90°，

∴∠ABG＋∠ABF＝90°＋90°＝180°，

因此，点G，B，F在同一条直线上．

∵，

∴．∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝．即∠GAF＝∠EAF．∵在△AGF和△AEF中，，∴△GAF≌△EAF（SAS）．∴GF＝EF．又∵GF＝BG＋BF＝DE＋BF，∴DE＋BF＝EF．17．在中，，，于点,（1）如图1，点，分别在，上，且，当，时，求线段的长；（2）如图2，点，分别在，上，且，求证：；（3）如图3，点在的延长线上，点在上，且，求证：;【答案】(1)；(2)见解析；(3)见解析.【详解】（1）解：，，，，，，，，，，，，由勾股定理得，，即，解得，，；（2）证明：，，，在和中，，；（3）证明：过点作交的延长线于，，则，，，，，，在和中，，，，．18．四边形是由等边和顶角为的等腰排成，将一个角顶点放在处，将角绕点旋转，该交两边分别交直线、于、，交直线于、两点．（1）当、都在线段上时（如图1），请证明：；（2）当点在边的延长线上时（如图2），请你写出线段，和之间的数量关系，并证明你的结论；（3）在（1）的条件下，若，，请直接写出的长为．【答案】（1）证明见解析；（2）．证明见解析；（3）．【详解】解：（1）证明：把△DBM绕点D逆时针旋转120°得到△DAQ，则DM=DQ，AQ=BM，∠ADQ=∠BDM，∠QAD=∠CBD=90°，∴点Q在直线CA上，∵∠QDN=∠ADQ+∠ADN=∠BDM+∠ADN=∠ABD∠MDN=120°60°=60°，∴∠QDN=∠MDN=60°，∵在△MND和△QND中，，∴△MND≌△QND（SAS），∴MN=QN，∵QN=AQ+AN=BM+AN，∴BM+AN=MN；（2）：.理由如下：如图，把△DAN绕点D顺时针旋转120°得到△DBP，则DN=DP，AN=BP，∵∠DAN=∠DBP=90°，∴点P在BM上，∵∠MDP=∠ADB∠ADM∠BDP=120°∠ADM∠ADN=120°∠MDN=120°60°=60°，∴∠MDP=∠MDN=60°，∵在△MND和△MPD中，，∴△MND≌△MPD（SAS），∴MN=MP，∵BM=MP+BP，∴MN+AN=BM；（3）如图，过点M作MH∥AC交AB于G，交DN于H，∵△ABC是等边三角形，∴△BMG是等边三角形，∴BM=MG=BG，根据（1）△MND≌△QND可得∠QND=∠MND，根据MH∥AC可得∠QND=∠MHN，∴∠MND=∠MHN，∴MN=MH，∴GH=MHMG=MNBM=AN，即AN=GH，∵在△ANE和△GHE中，，∴△ANE≌△GHE（AAS），∴AE=EG=2.1，∵AC=7，∴AB=AC=7，∴BG=ABAEEG=72.12.1=2.8，∴BM=BG=2.8．故答案为：2.819．问题背景如图（1），在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，AB＝AD，∠BAD＝α，以点A为顶点作一个角，角的两边分别交BC，CD于点E，F，且∠EAFα，连接EF，试探究：线段BE，DF，EF之间的数量关系．（1）特殊情景在上述条件下，小明增加条件“当∠BAD＝∠B＝∠D＝90°时”如图（2），小明很快写出了：BE，DF，EF之间的数量关系为______．（2）类比猜想类比特殊情景，小明猜想：在如图（1）的条件下线段BE，DF，EF之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请你帮助小明完成证明；若不成立，请说明理由．（3）解决问题如图（3），在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D，E均在边BC上，且∠DAE＝45°，若BD，请直接写出DE的长．【答案】（1）BE+DF＝EF；（2）成立；（3）DE【详解】解：（1）BE+DF＝EF，如图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADG，∵∠ADC＝∠B＝∠ADG＝90°，∴∠FDG＝180°，即点F，D，G共线．由旋转可得AE＝AG，BE＝DG，∠BAE＝∠DAG．∵∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝90°﹣∠BAD=90°45°＝45°，∴∠DAG+∠DAF＝45°，即∠FAG=45°，∴∠EAF＝∠FAG，∴△AFE≌△AFG（SAS），∴EF＝FG．又∵FG＝DG+DF＝BE+DF，∴BE+DF＝EF，故答案为BE+DF＝EF．（2）成立．如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转α得到△ADH，可得∠ABE＝∠ADH，∠BAE＝∠DAH，AE＝AH，BE＝DH．∵∠B+∠ADC＝180°，∴∠ADH+∠ADC＝180°，∴点C，D，H在同一直线上．∵∠BAD＝α，∠EAFα，∴∠BAE+∠FADα，∴∠DAH+∠FADα，∴∠FAH＝∠EAF，又∵AF＝AF，∴△AEF≌△AHF（SAS），∴EF＝FH＝DF+DH＝DF+BE；（3）DE，如图3，将△AEC绕点A顺时针旋转90°，得到△AE′B，连接DE′．可得BE′＝EC，AE′＝AE，∠C＝∠ABE′，∠EAC＝∠E′AB，在Rt△ABC中，∵AB＝AC＝4，∠BAC=90°，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，BC＝4，∴CD=BC=BD=3，∴∠ABC+∠ABE′＝90°，即∠E′BD＝90°，∴E′B2+BD2＝E′D2．易证△AE′D≌△AED，∴DE＝DE′，∴DE2＝BD2+EC2，即DE2，解得．20．我们定义：有一组对角为直角的四边形叫做“对直角四边形”．（1）如图①，四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，若AB2AD2=4，求CD2BC2的值；（2）如图②，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=BC，若BD平分∠ADC，求证：四边形ABCD为对直角四边形；（3）在（2）的条件下，如图③，连结AC，若，求tan∠ACD的值．【答案】⑴4；⑵见解析；⑶tan∠ACD的值为3或．【详解】解：如图①中，∵四边形ABCD为对直角四边形，∠B=90°，∴∠D=∠B=90°，∴AC2=AB2+BC2=AD2+DC2，∴CD2BC2=AB2AD2=4．（2）证明：如图②中，作BE⊥CD于E，BF⊥DA交DA的延长线于F．∵BD平分∠ADC，BE⊥CD，BF⊥AD，∴BE=BF，∵∠BFA=∠BEC=90°，BA=BC，BF=BE，∴Rt△BFA≌Rt△BEC（HL），∴∠ABF=∠CBE，∴∠EBF=∠ABC=90°，∴ADC=360°90°90°90°=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD为对直角四边形．（3）解：如图③中，设AD=x，BD=y．∵∠ADC=90°，∴tan∠ACD=，AC=，∵AB=AC，∠ABC=90°，∴AB=BC=•，∵，∴，整理得：3x210xy+3y2，∴3（）210•+3=0，∴=3或．∴tan∠ACD的值为3或．21．问题：如图（1），点E、F分别在正方形的边上，，试判断之间的数量关系．【发现证明】小聪把绕点A逆时针旋转至，从而发现，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形中，，点E、F分别在边上，则当与满足关系时，仍有．【探究应用】如图(3)，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形．已知米，，道路上分别有景点E、F，且米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路的长（结果取整数，参考数据：，）

【答案】发现证明：证明见解析；类比引申：；探究应用：米．【详解】发现证明：解：如图（1），

∵，∴，又∵，即，∴，在和中，，∴．∴．又∵，∴，∴．类比引申：．理由如下：如图（2），延长至M，使，连接，

∵，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，即．故答案是：．探究应用：如图3，把绕点A逆时针旋转至，连接．

∵，∴．又∵，∴是等边三角形，∴米．根据旋转的性质得到：，又∵，∴，即点G在的延长线上．由旋转的性质可知，，∴，又∵，∴，在和中，，∴．∴．又∵，∴，∴（米），即这条道路EF的长约为米．22．如图，中，，，把一块含角的直角三角板的直角顶点放在的中点上（直角三角板的短直角边为，长直角边为），将三角板绕点按逆时针方向旋转.（1）在如图所见中，交于，交于，证明；（2）继续旋转至如图所见，延长交于，延长交于，证明.【答案】(1)见解析；（2）见解析.【详解】证明：（1）连接BD,∵AB=BC，∠ABC=90°，点D为AC的中点∴BD⊥AC，∠A=∠C=45°∴BD=AD=CD∴∠ABD=∠A=45°∴∠MBD=∠C=45°∵∠MDB+∠BDN=90°∠NDC+∠BDN=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中；∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN（5分）（2）DM=DN仍然成立．理由如下：连接BD，由（1）知BD⊥AC，BD=CD∴∠ABD=∠ACB=45°∵∠ABD+∠MBD=180°∠ACB+∠NCD=180°∴∠MBD=∠NCD∵BD⊥AC∴∠MDB+∠MDC=90°又∠NDC+∠MDC=90°∴∠MDB=∠NDC在△MDB和△NDC中∴△MDB≌△NDC（ASA）∴DM=DN.23．感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是．【详解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．24．如图1，正方形中，是对角线，点在上，点在上，连接（与不垂直），点是线段的中点，过点作交线段于点．（1）猜想与的数量关系，并证明；（2）探索，，之间的数量关系，并证明；（3）如图2，若点在的延长线上，点在的延长线上，其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析【详解】解：（1），理由如下；过作的垂线，分别交于，连接，为正方形，,,，垂直平分，，，，，又，，为等腰直角三角形，为斜边的中点，．（2），理由如下：由（1）中，，由下图：，四边形为矩形，，在中，由正方形的性质知，，，为等腰直角三角形，又，四边形为正方形，，同理四边形为矩形，，，，在中，由正方形的性质知，，，为等腰直角三角形，，．（3），理由如下：过点作垂线，分别交于，连接，，，，由（2）得，，，由（2）可得：，为等腰直