上海市徐汇区2025届高一上数学期末质量跟踪监视试题含解析

上海市徐汇区2025届高一上数学期末质量跟踪监视试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数，，若存在，使得，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.2．若是的一个内角，且，则的值为A. B.C. D.3．在正方体中，异面直线与所成的角为（）A.30° B.45°C.60° D.90°4．已知函数，且，则A. B.0C. D.35．若函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ的值可以是（）A. B.C. D.6．如图，质点在单位圆周上逆时针运动，其初始位置为，角速度为2，则点到轴距离关于时间的函数图象大致为（）A. B.C. D.7．计算的值为A. B.C. D.8．一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条()A.相交 B.异面C.相交或异面 D.平行9．已知,，则的值约为（精确到）（）A. B.C. D.10．函数的定义域是（）A. B.C D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．若函数在区间上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是_________.12．已知函数，方程有四个不相等的实数根（1）实数m的取值范围为_____________；（2）的取值范围为______________13．设函数的图象为，则下列结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号）.①图象关于直线对称；②图象关于点对称；③函数在区间内是增函数；④把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象.14．已知且，则的最小值为______________15．有下列四个说法：①已知向量，，若与的夹角为钝角，则；②若函数的图象关于直线对称，则；③函数在上单调递减，在上单调递增；④当时，函数有四个零点其中正确的是___________（填上所有正确说法的序号）16．已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为______________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知函数，（1）求函数的最大值及取得最大值时的值；（2）若方程在上的解为，，求的值18．近年来，随着我市经济的快速发展，政府对民生越来越关注市区现有一块近似正三角形的土地（如图所示），其边长为2百米，为了满足市民的休闲需求，市政府拟在三个顶点处分别修建扇形广场，即扇形和，其中与、分别相切于点，且与无重叠，剩余部分（阴影部分）种植草坪.设长为（单位：百米），草坪面积为（单位：万平方米）.（1）试用分别表示扇形和的面积，并写出的取值范围；（2）当为何值时，草坪面积最大？并求出最大面积.19．已知函数.（1）当时，恒成立，求实数的取值范围；（2）是否同时存在实数和正整数，使得函数在上恰有个零点?若存在，请求出所有符合条件的和的值；若不存在，请说明理由.20．已知，（1）当且x是第四象限角时，求的值；（2）若关于x的方程有实数根，求a的最小值21．某乡镇为打造成“生态农业特色乡镇”，决定种植某种水果，该水果单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，单株成本投入（含施肥、人工等）为元.已知这种水果的市场售价为15元/千克，且销路畅通供不应求，记该水果树的单株利润为（单位：元）.（1）求的函数关系式；（2）当施用肥料为多少千克时，该水果树的单株利润最大？最大利润是多少？

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】根据条件求出两个函数在上的值域，结合若存在，使得，等价为两个集合有公共元素，然后根据集合关系进行求解即可【详解】当时，，即，则的值域为[0，1]，当时，，则的值域为，因为存在，使得，则若，则或，得或，则当时，，即实数a的取值范围是，A，B，C错，D对.故选：D2、D【解析】是的一个内角,，又，所以有，故本题的正确选项为D.考点：三角函数诱导公式的运用.3、C【解析】首先由可得是异面直线和所成角，再由为正三角形即可求解.【详解】连接因为为正方体，所以，则是异面直线和所成角．又,可得为等边三角形，则，所以异面直线与所成角为，故选：C【点睛】本题考查异面直线所成的角，利用平行构造三角形或平行四边形是关键，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题.4、D【解析】分别求和，联立方程组，进行求解，即可得到答案.【详解】由题意，函数，且，，则，两式相加得且，即，，则，故选D【点睛】本题主要考查了函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程组是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.5、C【解析】根据三角函数的奇偶性，即可得出φ的值【详解】函数f（x）=sin（2x+φ）为R上的偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；所以φ的值可以是.故选C.【点睛】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，属于基础题6、A【解析】利用角速度先求出时，的值，然后利用单调性进行判断即可【详解】因为，所以由，得，此时，所以排除CD，当时，越来越小，单调递减，所以排除B，故选：A7、D【解析】直接由二倍角的余弦公式，即可得解.【详解】由二倍角公式得：，故选D.【点睛】本题考查了二倍角的余弦公式，属于基础题.8、C【解析】如下图所示,三条直线平行,与异面,而与异面,与相交,故选C.9、B【解析】利用对数的运算性质将化为和的形式，代入和的值即可得解.【详解】.故选：B10、B【解析】解不等式组即可得定义域.【详解】由得：所以函数的定义域是.故选：B二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】首先根据函数的解析式确定，再利用换元法将函数在区间上有两个不同的零点的问题，转化为方程区间上有两个不同根的问题，由此列出不等式组解得答案.【详解】函数在区间上有两个不同的零点，则，故由可知：，当时，，显然不符合题意，故，又函数在区间上有两个不同的零点，等价于在区间上有两个不同的根，设，则函数在区间上有两个不同的根，等价于在区间上有两个不同的根，由得，要使区间上有两个不同的根，需满足a2-5a+1>06a故答案为：12、①.②.【解析】利用数形结合可得实数m的取值范围，然后利用对数函数的性质可得，再利用正弦函数的对称性及二次函数的性质即求.【详解】作出函数与函数的图象，则可知实数m的取值范围为，由题可知，，∵，∴，即，又，，∴，又函数在上单调递增，∴，即.故答案为：；.【点睛】关键点点睛；本题的关键是数形结合，结合对数函数的性质及正弦函数的性质可得，再利用二次函数的性质即解.13、①③【解析】图象关于直线对称；所以①对；图象关于点对称；所以②错；，所以函数在区间内是增函数；所以③对；因为把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到，所以④错；填①③.14、9【解析】因为且，所以取得等号，故函数的最小值为9.，答案为9.15、②③【解析】①：根据平面向量夹角的性质进行求解判断；②：利用函数的对称性，结合两角和（差）的正余弦公式进行求解判断即可；③：利用导数的性质、函数的奇偶性进行求解判断即可.④：根据对数函数的性质，结合零点的定义进行求解判断即可【详解】①：因为与的夹角为钝角，所以有且与不能反向共线，因此有，当与反向共线时，，所以有且，因此本说法不正确；②：因为函数的图象关于直线对称，所以有，即，于是有：，化简，得，因为，所以，因此本说法正确；③：因为，所以函数偶函数，，当时，单调递增，即在上单调递增，又因为该函数是偶函数，所以该在上单调递减，因此本说法正确；④：，问题转化为函数与函数的交点个数问题，如图所示：当时，，此时有四个交点，当时，，所以交点的个数不是四个，因此本说法不正确，故答案为：②③16、9【解析】根据扇形的弧长是6，圆心角为2，先求得半径，再代入公式求解.【详解】因为扇形的弧长是6，圆心角为2，所以，所以扇形的面积为，故答案为：9.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当时，函数取得最大值为；（2）.【解析】（1）利用同角三角函数的平方关系化简，再利用换元法即可求最值以及取得最值时的值；（2）求出函数的对称轴，得到和的关系，利用诱导公式化简可得答案.【详解】（1），令，可得，对称轴为，开口向下，所以在上单调递增，所以当，即，时，，所以当时，函数取得最大值为；（2）令，可得，当时，是的对称轴，因为方程在上的解为，，，，且，所以，所以，所以，所以的值为.18、（1），，；（2）时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.【解析】（1）因为，所以可得三个扇形的半径，圆心角都为，由扇形的面积公式可得答案；（2）用三角形面积减去三个扇形面积可得草坪面积，再利用二次函数可求出最值.【详解】（1），则，，在扇形中，的长为，所以，同理，.∵与无重叠，∴，即，则.又三个扇形都在三角形内部，则，∴.（2）∵，∴，∴当时，取得最大值，为.故当长为百米时，草坪面积最大，最大面积为万平方米.【点睛】弧度制中求扇形弧长和面积的关键在于确定半径和扇形圆心角弧度数，解题时通常要根据已知条件列出方程，运用方程思想求解，强化了数学运算的素养.属于中档题.19、（1）；（2）存在，当时，；当时，.【解析】（1）利用三角恒等变换思想得出，令，，由题意可知对任意的，可得出，进而可解得实数的取值范围；（2）由题意可知，函数与直线在上恰有个交点，然后对实数的取值进行分类讨论，考查实数在不同取值下两个函数的交点个数，由此可得出结论.【详解】（1），当时，，，则，要使对任意恒成立，令，则，对任意恒成立，只需，解得，实数的取值范围为；（2）假设同时存在实数和正整数满足条件，函数在上恰有个零点，即函数与直线在上恰有个交点.当时，，作出函数在区间上的图象如下图所示：①当或时，函数与直线在上无交点；②当或时，函数与直线在上仅有一个交点，此时要使函数与直线在上有个交点，则；③当或时，函数直线在上有两个交点，此时函数与直线在上有偶数个交点，不可能有个交点，不符合；④当时，函数与直线在上有个交点，此时要使函数与直线在上恰有个交点，则.综上所述，存在实数和正整数满足条件：当时，；当时，.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立求参数，利用函数在区间上的零点个数求参数，解本题第（2）问的关键就是要注意到函数与直线的图象在区间上的图象的交点个数，结合周期性求解.20、（1）（2）1【解析】（1）根据立方差公式可知，要计算及的值就可以求解问题；（2）将方程转化为，再分类讨论即可求解.【小问1详解】，即，则，即，所以因为x是第四像限角，所以，所以，所以【小问2详解】由，可得，则方程可化为，①当时，，显然方程无解；②当时，方程等价于又（当且仅当时取“=”），所以要使得关于x的方程有实数根，则．故a的最小值是121、（1）；（2）4千克，505元.