平面向量期末复习讲义2高一下学期数学人教A版

慈中书院2026届高一下期末复习讲义2—平面向量姓名___________班级___________学号____________一、知识归纳1.平面向量中的基本概念（1）零向量：长度为0的向量，记作；（2）单位向量：长度等于1个单位长度的向量，与同向的单位向量是；（3）平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，与向量平行，记作∥.规定：零向量与任意向量平行；相等向量：长度相等且方向相同的向量；向量,相等，记作.2.平面向量基本定理及其坐标表示（1）平面向量基本定理：如果是同一个平面内的两个不共线的非零向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使，其中叫做这一平面内所有向量的一个基底.（2）平面向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量.（3）在平面单位正交基底下，①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标；②设，则.3.平面向量的线性运算及其坐标表示向量运算法则（或几何意义）坐标表示加法（求两个向量的和向量）在平面单位正交基底下，设的坐标分别为，减法（求两个向量的差向量）数乘（是一个与共线的向量）；（2）当时，与方向相同；当时，与方向相反；当或时，. 向量三角不等式：平面向量共线定理及其推论共线定理：向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使得.坐标表示：与共线的充要条件是.三点共线推论：i)若是直线外一点，且，则三点共线，特别地，当为中点时，平面向量的数量积及其坐标表示向量的夹角①定义：已知两个非零向量和，是平面上的任意一点，作，，则叫做向量与的夹角；②范围：.显然，当时，与同向；当时，与反向；当时，与垂直，记作.平面向量数量积①定义：已知两个非零向量和，它们的夹角为，把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即.规定零向量与任一向量的数量积为.②性质：设，是非零向量，它们的夹角是θ，则i）；ii），当且仅当与共线时，等号成立.当与同向时，；当与反向时，；特别地，，即；iii）.③坐标公式：设在平面单位正交基底下，的坐标分别为，则，则；ii）；iii）.投影向量如图，即为在上的投影向量.，，其中.平面向量与三角形中的“四心”问题（1）概念：在中，重心——三条中线的交点：重心将中线长度分成，垂心——三条高线的交点：高线与对应边垂直；内心——三条角平分线的交点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；外心——三条中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距离相等.性质①若为重心，则，且若、、，重心坐标为；②为垂心；③向量()所在直线过内心(是角平分线所在直线)；④为外心.奔驰定理（1）奔驰定理：是内的一点，且，则.（2）已知的角的对边分别为,则有:①若点是内心；②若点是外心；③若点是垂心.典例巩固考点一平面向量线性运算及其几何意义1.（1）（多选）设点是所在平面内一点，则下列说法正确的是（

）A．若，则点是边BC的中点B．若，则点是边BC的三等分点C．若，则点是线段上靠近的三等分点D．若，且，则的面积是面积的【答案】ACD【解析】对于A中，根据向量的平行四边形法则，若，则点M是边BC的中点，所以A正确；对于B中，由，则，即，则为的中点，所以B错误；对于C中，如图所示，由，可得，即，点是线段上靠近的三等分点，所以C正确；对于D中，由，且，所以且，设，可得，且，所以三点共线，因为，所以为的一个三等分点（靠近），如图所示，所以，即则的面积是面积的，所以D正确.故选：ACD.（2）已知点O为△ABC内的一点,且满足OA+3OB=λOC,若S△AOB=13S△ABC,则λ=【答案】2【解析】如图,取OE=3OB,作平行四边形OAME,连接OM,与AB相交于点F,则OA+3OB=OA+OE=OA+AM=OM.易知△OBF∽△MAF,∴OFMF=OBMA=13,∴OF=14OM,又S△AOB=13S△ABC,∴OFCF=13,∴OC=2OF,∴OM=4OF=4×-12OC=2OC.∵OA（3）若是△ABC所在平面内的一点，且，则△ABC的形状是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形【答案】B【分析】根据平面向量的线性运算与模长公式，可以得出，由此可判断出的形状.【详解】由，可得，即，等式两边平方，化简得，，因此，是直角三角形.故选：B.（4）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（

） B． C． D．【答案】C【分析】由“等和线定理”结合图形分析得解.【详解】由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是.下面先证明“等和线定理”，如图，设，，因为三点共线，所以存在，使得.，，，则.由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，当点在上时，易得，综上，可得.故选：C．2.在中，，若对任意的实数恒成立，则边的最小长度是（

） B． C． D．【答案】C【分析】设，得到恒成立，得出，根据题意，结合勾股定理，得到，即可求解.【详解】设，如图所示，因为对任意的实数，都有恒成立，由恒成立，则，因为，所以，所以，当且仅当时，等号成立．

故选：C．考点二共线向量定理3.（1）已知向量，若，则（

）B．C． D．【答案】C【解析】因为，，所以不共线，则由，得，故，故得，故选：C.（2）已知向量若A,C,D三点共线，则m=________.【答案】A【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式进行求解即可.【详解】因为，，所以，因为，，三点共线，所以，故选：A在锐角△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,且均为靠近B的四等分点,CD与AE交于点F,若BF=xAB+yAC,则3x+y=()A. B. C. D.【答案】A【分析】由题意推出，可得，推出，根据向量的加减运算，用基底表示出，和比较，可得，即得答案.【详解】连结DE，由题意可知，，所以，则，所以，所以，，则，故，又，所以，，则，故选：A考点三投影向量4.（1）非零向量满足，与的夹角为，，则在上的投影向量的模长为（）A．2B．2eq\r(3)C．3 D．4【答案】B【分析】根据条件结合数量积的定义可得，从而在上的投影为，得出答案.【详解】由，可得所以所以在上的投影为故选：B（2）已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】由投影向量计算公式可得答案.【详解】在向量上的投影向量为..故选：A考点四平面向量的数量积及其应用数量积的值与范围5.（1）已知，若，则实数＝（）A． B．1 C．2 D．6【答案】B【分析】本题根据向量减法、乘法以及向量垂直运算规则即可求解参数.【详解】因为，所以，又因为，所以，解得．故选：B．（2）如图，在中，为上一点，且满足，若则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量的线性运算及三点共线的条件，再利用平面向量的基本定理及向量的数量积的运算律即可求解.【详解】因为所以因为三点共线，所以即,又因为，所以,且为不共线的非零向量，所以，解得，所以，所以.故选：B.（3）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案.【详解】取的中点，连接，则，，两式分别平方再相减得，设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2，当当与或重合时，最大，最大值为，所以.故选：B 向量的模与夹角6.（1）已知向量，若，则（

）A． B． C．5 D．6【答案】C【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】解：,,即,解得,故选：C（2）在中，，若点为的垂心，且满足，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量基本定理结合三角形垂心的性质、平面向量三点共线的充要条件计算即可.【详解】由题意可知是以A为顶角的等腰三角形，如图所示：，，则，设，则，，所以，在直角三角形中，.故选：B已知向量，为单位向量，且，①若，则_________；②向量与共线，则的最小值为.【答案】（1）；（2）.【详解】（1）；（2）因向量与共线，令，则，而向量，为单位向量，且，于是得

，当且仅当时取“=”，所以的最小值为.故答案为：考点五平面向量和三角形的“四心”7.（1）已知点是所在平面内的一定点，是平面内一动点，若，则点的轨迹一定经过的（）重心B．垂心C．内心D．外心【答案】A【分析】设D是BC的中点，由，，知，所以点P的轨迹是射线AD，故点P的轨迹一定经过△ABC的重心．【详解】如图，设D是BC的中点，∵，，∴，即∴点P的轨迹是射线AD，∵AD是△ABC中BC边上的中线，∴点P的轨迹一定经过△ABC的重心．故选：A．（2）在中，，动点M满足，则直线AM一定经过的（）垂心B．内心C．外心D．重心【答案】B【分析】延长AC，使得AC=CD，则，由，得，从而可得AM平分，即可得出结论.【详解】解：延长AC，使得AC=CD，则，因为，所以，因为，所以，所以是等腰三角形，所以点M在BD的中垂线上，所以AM平分，直线AM一定经过的内心.故选：B.（3）已知