2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集U=R，集合A={x|x≥−1}，B={x|x2+2x−3<0}，则阴影部分表示的集合为(

)A.{x|−3≤x≤1} B.{x|−3<x<−1}

C.{x|−3<x≤1} D.{x|−3≤x<−1}2.若复数z=2+i1−i，则|z|=(

)A.1 B.102 C.103.若函数f(x)=(x+a)ln2x−12x+1的图像关于y轴对称，则a=A.−1 B.0 C.12 D.4.已知双曲线方程为x2a2−y23=1，F1，F2是双曲线的两个焦点，点A是双曲线上任意一点，若A点关于F1的对称点为点B，点B关于A.2 B.2 C.225.已知sinα+cosα=13，则2cosA.−23 B.19 C.86.设A，B，C，D是同一个球面上四点，球的半径为4，△ABC是面积为93的等边三角形，则三棱锥D−ABC体积的最大值为(

)A.123 B.183 C.7.函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，将f(x)的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a值为A.−1

B.−3

C.−8.命题“∃x∈(0,+∞)，使ax≤logax(a>0且a≠1)成立”是假命题，则实数A.a>e12 B.a>e1e二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则(

)A.众数是22B.80百分位数是28

C.平均数是30D.前4个数据的方差比最后4个数据的方差大10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为eix=cosx+isinx，i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”(e为自然对数的底数，i为虚数单位)，依据上述公式，则下列结论中正确的是(

)A.复数eiπ2为纯虚数B.复数ei2对应的点位于第二象限

C.复数eiπ611.若数列{an}满足1an+1−1an=d(n∈N∗A.若i=120bi=20，则b10+b11=b10b11B.若bn=2n+1cn，且c三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.设向量a,b的夹角的余弦值为14，且|a|=1，|b13.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a6=1，14.四棱锥P−ABCD的底面ABCD为平行四边形，点E、F、G分别在侧棱PA、PB、PC上，且满足PE=14PA，PF=23PB，PG=12PC.若平面EFG与侧棱PD交于点四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在四边形ABCD中，AB=2，AC=7，AD=27，∠CAD=∠CBA=2π3．

(1)求cos∠BCA16.(本小题15分)

函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．

(1)f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求实数a的值．

(2)证明：对于∀x∈[0,+∞)，17.(本小题15分)

如图，三棱锥D−ABC中，CA⊥AB，CD=22，AB=6，AC=10，BD=4，cos∠ABD=63，E为BD的中点．

(1)证明：AE⊥BC；18.(本小题17分)

已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点．

(1)若点A横坐标为4，求抛物线C在点A处的切线方程；

(2)过点A作圆O：x2+y2=1的两条切线，交抛物线的准线于M、N两点．

①若|MN|=211，求点19.(本小题17分)

如图，已知点列Pn(xn,2xn)与An(an,0)满足xn+1>xn，PnPn+1⊥AnPn+1

参考答案1.B

2.B

3.B

4.B

5.D

6.B

7.A

8.B

9.AC

10.ABD

11.BCD

12.18

13.−343

14.2915.解：(1)△ABC中，由正弦定理得：

ACsin∠CBA=ABsin∠BCA，

则sin∠BCA=2sin2π37=217，

16.解：(1)因为函数f(x)=ex+ln(x+1)−ax−1(a∈R)．

所以f′(x)=ex+1x+1−a．

由题意：f′(1)=e+12−a=e，解得a=12．

(2)证明：f′(x)=ex+1x+1−a，f″(x)=ex−1(x+1)2，

因为x≥0，所以ex≥1，1(x+1)2≤1，17.(1)证明：∵AB⊥AC，AB=6，AC=10，∴BC=4，

在△ABD中，AD2=AB2+BD2−2AB⋅BDcos∠ABD=6，∴AD=6，

∴AD=AB，又E为BD中点，∴AE⊥BD，

∵BD=4，∴BE=2，∴AE2=AB2−BE2=2，∴AE=2，

取BC的中点F，连接EF，AF，

则EF=12CD=2，AF=12BC=2，

∴AE2+EF2=AF2，∴AE⊥EF，

又AE⊥BD，EF∩BD=E，

∴AE⊥平面BCD，又BC⊂平面BCD，

∴AE⊥BC；

(2)取CD的中点O，∵BD=BC=4，∴OB⊥CD，

如图，以O为原点，OB、OC分别为x轴，y轴，建立空间直角坐标系：

∵OB=BC2−OC2=18.解：(1)已知点A是抛物线C：x2=4y上的一点，

∵A的横坐标为4，

则4y=16，

即y=4，

∴A(4,4)，

又∵y=x24，

求得y′=12x，

∴抛物线在A处的切线斜率为12×4=2，

∴切线方程为y−4=2(x−4)，

即y=2x−4．

(2)设AM与圆O相切于点B，AN与圆O相切于点C，

MN与圆O相切于点D，

由切线长相等可得：|MB|=|MD|，|AB|=|AC|，|ND|=|NC|，

∴△AMN周长为2|MN|+2|AB|=2|MN|+2|AO|2−1，

∴S△AMN=12(2|MN|+2|AO|2−1)×1=|MN|+|AO|2−1，

设A(x0,y0)，

由抛物线的对称性