高考数学（理）培优增分一轮全国经典版增分练第3章三角函数解三角形3-4a

板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．要得到函数y＝sineq\f(1,2)x的图象，只需将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象()A．向左平移eq\f(π,3)个单位 B．向右平移eq\f(π,3)个单位C．向左平移eq\f(2π,3)个单位 D．向右平移eq\f(2π,3)个单位答案C解析∵y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))))，∴要得到y＝sineq\f(1,2)x的图象，只需将y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))的图象向左平移eq\f(2π,3)个单位即可．2．[2018·沧州模拟]若ω＞0，函数y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(2π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值为()A.eq\f(4,3)B.eq\f(2,3)C．3D．4答案C解析将y＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)))的图象向右平移eq\f(2π,3)个单位后为y＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(2π,3)))＋\f(π,6)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx＋\f(π,6)－\f(2ωπ,3)))，所以有eq\f(2ωπ,3)＝2kπ，即ω＝3k，k∈Z，又ω>0，所以k≥1，故ω＝3k≥3.故选C.3．[2018·临沂模拟]已知函数f(x)＝Acos(ωx＋θ)的图象如图所示，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(1,2)答案A解析由题干图知，函数f(x)的周期T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)－\f(7π,12)))＝eq\f(2π,3)，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋\f(2π,3)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝－eq\f(2,3).4．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象沿x轴向左平移eq\f(π,8)个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为()A.eq\f(3π,4)B.eq\f(π,4)C.eq\f(3π,8)D．－eq\f(π,4)答案B解析y＝sin(2x＋φ)eq\o(→,\s\up17(向左平移),\s\do17(\f(π,8)个单位长度))y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,8)))＋φ))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)＋φ))，则由eq\f(π,4)＋φ＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，根据选项检验可知φ的一个可能取值为eq\f(π,4).故选B.5．[2018·广东茂名一模]如图，函数f(x)＝Asin(2x＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，|φ|＜\f(π,2)))的图象过点(0，eq\r(3))，则f(x)的图象的一个对称中心是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，0)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，0)) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))答案B解析由题中函数图象可知：A＝2，由于函数图象过点(0，eq\r(3))，所以2sinφ＝eq\r(3)，即sinφ＝eq\f(\r(3),2)，由于|φ|＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，则有f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3))).由2x＋eq\f(π,3)＝kπ，k∈Z可解得x＝eq\f(kπ,2)－eq\f(π,6)，k∈Z，故f(x)的图象的对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(kπ,2)－\f(π,6)，0))，k∈Z，则f(x)的图象的一个对称中心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，0)).故选B.6．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为________℃.答案20.5解析依题意知，a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，∴y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x－6))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5.7．[2018·南宁模拟]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)的图象如图，则f(x)＝________.答案coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4)))解析由图象得：T＝4×2＝8，∴ω＝eq\f(2π,8)＝eq\f(π,4)，代入(－1,1)，得coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)＋φ))＝1，∴－eq\f(π,4)＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ＋eq\f(π,4)，k∈Z，又∵0≤φ≤π，∴φ＝eq\f(π,4).∴f(x)＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)x＋\f(π,4))).8．[2014·重庆高考]将函数f(x)＝sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sinx的图象，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝________.答案eq\f(\r(2),2)解析把函数y＝sinx的图象向左平移eq\f(π,6)个单位长度得到y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))的图象，再把函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋\f(π,6)))的图象，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,6)＋\f(π,6)))＝sineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).9．[2018·长春调研]函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，－\f(π,2)＜φ＜\f(π,2)，x∈R))的部分图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－π，－\f(π,6)))时，求f(x)的取值范围．解(1)由题中图象得A＝1，eq\f(T,4)＝eq\f(2π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以T＝2π，则ω＝1.将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，1))代入得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋φ))＝1，又－eq\f(π,2)＜φ＜eq\f(π,2)，所以φ＝eq\f(π,3)，因此函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3))).(2)由于－π≤x≤－eq\f(π,6)，－eq\f(2π,3)≤x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,6)，所以－1≤sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))≤eq\f(1,2)，所以f(x)的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2))).10．已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最小正周期为2，且当x＝eq\f(1,3)时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(21,4)，\f(23,4)))上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴．若不存在，请说明理由．解(1)由T＝2知eq\f(2π,ω)＝2得ω＝π.又因为当x＝eq\f(1,3)时f(x)max＝2，知A＝2.且eq\f(π,3)＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，故φ＝2kπ＋eq\f(π,6)(k∈Z)．∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋2kπ＋\f(π,6)))＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6)))，故f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(πx＋\f(π,6))).(2)存在．令πx＋eq\f(π,6)＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，得x＝k＋eq\f(1,3)(k∈Z)．由eq\f(21,4)≤k＋eq\f(1,3)≤eq\f(23,4).得eq\f(59,12)≤k≤eq\f(65,12)，又k∈Z，知k＝5.故在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(21,4)，\f(23,4)))上存在f(x)的对称轴，其方程为x＝eq\f(16,3).[B级知能提升]1．为了得到函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))的图象，可以将函数y＝cos2x的图象()A．向右平移eq\f(π,6)个单位长度 B．向右平移eq\f(π,3)个单位长度C．向左平移eq\f(π,6)个单位长度 D．向左平移eq\f(π,3)个单位长度答案B解析y＝cos2x＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))，由y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,4)))))得到y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,12)))))，只需向右平移eq\f(π,3)个单位长度．2．[2018·郑州模拟]将函数f(x)＝－cos2x的图象向右平移eq\f(π,4)个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质()A．最大值为1，图象关于直线x＝eq\f(π,2)对称B．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))上单调递减，为奇函数C．在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))对称答案B解析由题意得，g(x)＝－cos2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4)))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,2)))＝－sin2x.最大值为1，而geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))＝0，图象不关于直线x＝eq\f(π,2)对称，故A错误；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，g(x)单调递减，显然g(x)是奇函数，故B正确；当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,8)，\f(π,8)))时，2x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)，\f(π,4)))，此时不满足g(x)单调递增，也不满足g(x)是偶函数，故C错误；周期T＝eq\f(2π,2)＝π，geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)))＝－eq\f(\r(2),2)，故图象不关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,8)，0))对称，故D错误．故选B.3．将函数f(x)＝sin2x的图象向右平移φeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜φ＜\f(π,2)))个单位后得到函数g(x)的图象．若对满足|f(x1)－g(x2)|＝2的x1，x2，有|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，则φ＝()A.eq\f(5π,12)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)答案D解析由已知得g(x)＝sin(2x－2φ)，满足|f(x1)－g(x2)|＝2，不妨设此时y＝f(x)和y＝g(x)分别取得最大值与最小值，又|x1－x2|min＝eq\f(π,3)，令2x1＝eq\f(π,2)，2x2－2φ＝－eq\f(π,2)，此时|x1－x2|＝eq\f(π,2)－φ＝eq\f(π,3)，又0＜φ＜eq\f(π,2)，故φ＝eq\f(π,6).选D.4．已知函数f(x)＝eq\r(3)sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，－\f(π,2)≤φ＜\f(π,2)))的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，求函数y＝f(x)的最大值和最小值．解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝eq\f(2π,T)＝2.又因为f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称，所以2·eq\f(π,3)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，由－eq\f(π,2)≤φ＜eq\f(π,2)得k＝0，所以φ＝eq\f(π,2)－eq\f(2π,3)＝－eq\f(π,6).综上，ω＝2，φ＝－eq\f(π,6).(2)由(1)知f(x)＝eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))，当x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，－eq\f(π,6)≤2x－eq\f(π,6)≤eq\f(5π,6)，∴当2x－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即x＝eq\f(π,3)时，f(x)最大＝eq\r(3)；当2x－eq\f(π,6)＝－eq\f(π,6)，即x＝0时，f(x)最小＝－eq\f(\r(3),2).5．[2015·湖北高考]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω>0，|φ|<\f(π,2)))在某一个周期内的图