备战高考数学复习知识点讲解课件65-椭圆及其性质

第65讲椭圆备战高考数学复习知识点讲解课件考向预测核心素养椭圆的定义、标准方程、几何性质通常以小题形式考查，直线与椭圆的位置关系主要出现在解答题中．题型主要以选择题、填空题为主，一般为中档题，椭圆方程的求解经常出现在解答题的第一问.直观想象、数学抽象01基础知识回顾一、知识梳理1．椭圆的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于______(大于|F1F2|)的点的轨迹．(2)焦点：两个定点F1，F2.(3)焦距：两焦点间的距离|F1F2|.(4)半焦距：焦距的一半．常数2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上顶点____________________________________________________________________________________________轴长短轴长为______，长轴长为______焦点__________________________________________A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)2b2aF1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上焦距|F1F2|＝______对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：______离心率e＝

(0＜e＜1)a，b，c的关系a2＝b2＋c22c原点

常用结论椭圆的常用性质√答案：20

16解析：设P(x，y)，由题意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，则F1(－1，0)，F2(1，0)．由题意可得点P到x轴的距离为1，一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(

)(2)椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆．(

)(3)椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形．(

)×√×√××二、易错纠偏1．(忽视椭圆标准方程中a，b，c的关系致误)若方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(

)A．(0，＋∞)B.(0，2)C．(1，＋∞)

D.(0，1)√4．(忽视椭圆上点满足条件致误)设点P(x，y)在椭圆4x2＋y2＝4上，则5x2＋y2－6x的最大值为________，最小值为________．解析：由椭圆的几何性质知－1≤x≤1，由y2＝－4x2＋4，得5x2＋y2－6x＝x2－6x＋4＝(x－3)2－5，所以当x＝－1时，5x2＋y2－6x取得最大值11；当x＝1时，5x2＋y2－6x取得最小值－1.答案：11－1第1课时椭圆及其性质02核心考点共研考点一椭圆的定义及应用(自主练透)复习指导：了解圆锥曲线的实际背景，了解从具体情境中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义．√1.如图，圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定点，P是圆上任意一点，线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是(

)A．椭圆B.双曲线

C．抛物线

D.圆解析：连接QA(图略)．由已知得|QA|＝|QP|.所以|QO|＋|QA|＝|QO|＋|QP|＝|OP|＝r.又因为点A在圆内，所以|OA|<|OP|，根据椭圆的定义，点Q的轨迹是以O，A为焦点，r为长轴长的椭圆．故选A.√4．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点．则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．解析：如图所示，设椭圆右焦点为F1，则|PF|＋|PF1|＝6.所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6.利用－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1共线时等号成立)．椭圆定义的应用主要有两个方面：

一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PF1|·|PF2|，通过整体代入可求其面积等．考点二椭圆的标准方程(综合研析)复习指导：掌握椭圆的标准方程．√因为线段MP的垂直平分线交NP于点Q，所以|QP|＝|QM|，所以|QM|＋|QN|＝|QP|＋|QN|＝|PN|＝6>|MN|＝4，所以点Q的轨迹是以M，N为焦点的椭圆，(1)用定义法求椭圆的标准方程先根据椭圆的定义确定a2，b2的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程．其中常用的关系有：①b2＝a2－c2；②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2a；③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长a.(2)用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤√解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，考点三椭圆的几何性质(多维探究)复习指导：掌握椭圆的简单几何性质．√√【解析】(2)因为OPMN是平行四边形，所以MN∥OP且MN＝OP，求椭圆离心率或其范围的方法解题的关键是借助图形建立关于a，b，c的关系式(等式或不等式)，转化为e的关系式，常用方法如下：√√【解析】(2)当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，利用椭圆几何性质求值或范围的思路(1)将所求问题用椭圆上点的坐标表示，利用坐标范围构造函数或不等关系．(2)将所求范围用a，b，c表示，利用a，b，c自身的范围关系求范围．√√答案：503课后达标检测√√√解析：由题意知|PF1|＋|PF2|＝2a，|F1F2|2＝4a2－16，由余弦定理得4a2－16＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°，即4a2－16＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|，√√√解析：当1＜k＜4且k≠2.5时，曲线C是椭圆，所以A错误；当k＝2.5时，4－k＝k－1，此时曲线C是圆，所以B错误；解析：根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a－|PF1|＝8－m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8－m)2＝2m2＋64－16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2－b2)＝48，得m(8－m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8－m)＝8.答案：89．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3，0)和(－3，0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．[B综合应用]11.(多选)(2022·山东德州模拟)1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，则下列结论正确的是(

)A．卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小√√√解析：根据椭圆定义知卫星向径的取值范围是[a－c，a＋c]，A正确；当卫星在左半椭圆弧运行时，对应的面积更大，由面积守恒规律，时间更长，B正确；根据面积守恒规律可知，卫星在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．√答案：15

3[C素养提升]15．(2022·江西省南昌市二模)通过研究发现：点光源P斜照射球，在底面上形成的投影是椭圆，且球与底面相切于椭圆的一个焦点F1(如图所示)，如图是底面边长为2、高为3的正四棱柱，一实心小球与正四棱