相似章末十大题型总结（培优篇）（人教版）（解析版）

专题27.9相似章末十大题型总结(培优篇)

【人教版】

＞题型梳理

【题型1由比例的性质求值或证明】............................................................1

【题型2由平行判断成比例的线段】............................................................4

【题型3黄金分割】...........................................................................9

【题型4证明两三角形相似】..................................................................12

【题型5证明三角形的对应线段成比例】........................................................17

【题型6确定相似三角形的点的个数】.........................................................21

【题型7相似与翻折】........................................................................25

【题型8利用相似求坐标】....................................................................33

【题型9在网格中作位似图形】...............................................................40

【题型10相似三角形的应用】.................................................................45

〉举一反三

【题型1由比例的性质求值或证明】

【例I】(2023秋•安徽马鞍山•九年级安徽省马鞍山市第七中学校考期中)已知詈=詈=£^,求

(a+b)S+c)(c+a)的值

abc

【答案】8或一1

【分析】观察妇处=~=誓与(a®S：c)(c+a)发现，后者是通过前者相乘得来，那么只要找出

cababc

—=—的值解出，因此设=~=穿=々通过变换化为(a+b+c)(k-2)=0那么

ca.bcab

可能是a+b+c=0或k=2对这两种情况分别讨论；

■、平心、▼、几a+bb+cC+Qa

【详解】设丁=k=丁=*，

则a+b=kc,b+c=ka,c+a=kb

(a+6)+(b+c)+(c+Q)=kc+ka+kb

2(a+b+c)=k(a+b+c)

即(Q+b+c)(k-2)=0

所以Q+b+c=0或k=2

当a+b+c=0时，则a+b=-c,

所以g+b)(b+c)(c+a)=*(^c)(£±a)X(-1)=一1

abccxaxb=

当k=2时，

(a+f?)(b+c)(c+a)

—^=~-^=2

所以(a+b)(b+c)(c+a)=32x(b±c)x(c±a)=2x2x2=8

abccab

故答案为8或-1

【点睛】做好本题的关键是找出a、b、c三个变量间的关系，因而假设¥=等=詈=乜做到这步已经成

功了一半，因而同学们在解题中一定要仔细观察已知与结论找出其存在或隐含的关系

【变式1-1](2023秋•安徽六安•九年级校考期中)已知a、氏c为△ABC的三边长，且三W，a+b+c=

24,求△ABC三边的长.

【答案】△ABC三边的长为6,8,10

【分析】设g=1=g=k,则a=3k,b=4k,c=5k,根据a+b+c=24进行计算求Hlk的值即可.

【详解】解：设g=t=(=k，则a=3k，b=4k,c=5k,

；a+b+c=24,

:.3k+4k+5k=24,

解得：k=2t

•••a=3k=6,b=4k=8,c=5k=10,

•••△力8C'二边的长为6,8,10.

【点睛】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键.

【变式1-2](2023秋・浙江嘉兴•九年级校联考期中)已知线段a、b满足a:6=1:2,且a+2b=10.

⑴求a、b的值；

⑵若线段c是线段a、b的比例中项，求c的值.

【答案】(l)a=2,b=4

(2)c=2V2

【分析】(1)利用a:b=l:2,可设a=k,b=2k,则k+4k=10,然后解出k的值即可得到a、I的值;

（2）根据比例中项的定义得到c2=Qb,即。2=8,然后根据算术平方根的定义求解.

【详解】（1）a:b=1:2

二设a=k,b=2k,

a+2b=10,

•••k+4k=10,

:•k=2,

•••a=2,b=4

（2）是a、b的比例中项,

：•c2=ab=8»

•••c是线段，c>0,

C=2V2.

【点睛】本题考查了比例线段：对于四条线段Q,瓦C,d,如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两

条线段的比相等，如a:b=c:d（即ad=加），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段.注意利用

代数的方法解决较为简便.

【变式1-3］（2023秋•广东珠海•九年级统考期末）已知a,b,c,d都是互不相等的正数.

（1）若：=2,：=2,贝附色，-（用"V"或"=〃填空）；

bda-cc-d

（2）若？=5,请判断三和三的大小关系，并证明；

bda+bc+d

（3）令g=?=t,若分式史上一笔+2的值为3,求，的值.

cda-cb-d

【答案】（）（）二二三，理由见解析；（）；

1=;=;2a.+hc+d32

【分析】（1）由？=2,：=2,得到a=2b,c=2d,代入化简即可得到结论；

（2）设户3则*3得到。=初，c="代入化简即可得到结论；

（3）由已知得到：a=ch从力.代入分式，化简后解方程即可得出结论.

【详解】（1）吟=2,”2,

回。=2b,c=2d,

nbd1b2aa

ac2d2cc

故答案为：==；

由FGIIBN,得些于是GC=3NG；设EN=NG=a,则GC=3a,EC=5a,AC=—a,从而得空=—.

FCGC33AC20

【详解】解：过点尸作FGIIBN交4c于点G,

那=四=1

GNFM

(SEN=GN.

回DEIIBC,

底=丝二.

ECDB3

团EC=3AE.

0EF||AB,

造=生=>

ECFC3

MGIION,

烂=空二.

FCGC3

(3GC=3NG.

设EN=NG=a,则GC=3Q,

团EC=EN+NG+GC=5a

团EC=3AE=Sa.

^AE=-a.

3

520

团4c=AE+EC=-Q+5Q=——a.

33

嗖嗦T

故选：A

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理；由平行线得到线段间的数量关系是解题的关键.

【变式2-1]（2023秋•陕西榆林•九年级校考期中）如图,4D与BC相交于点E,点尸在80上，且4BIIEFIICD,

若E尸=2,CD=3,求力8的长.

A

【答案】6

【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论一一“平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截

得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例〃，先由即18,得黑=黑，再由4引呼得宾二谿即可

CDBDABDO

求解.

【详解】解：回△BCD中，EFWCD,

0FF=2、CD=3,

相

^ABWEF,

理=变一，

ABDB3

BAB=3EF=6.

【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，解题的关键是从图形中找准成比例的线段.

【变式2-2](2023春•安徽合肥•九年级统考期末)如图，在△ABC中，。是4；边上的中点，E在BC上，且

EC=2BE,则空=()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【详解】取CE的中点M,连接。M,根据三角形中位线定理得。M||AE,DM=\AE,再根据平行线分线段

成比例得照=警即可得出答案.

UMDMN

【解答】解：如图，取CE的中点连接DM,

^DM|AE,DM=\AE,EM=MC

团EC=2BE,

raEFBE1

~~BM-2^

貂F十M,

成AE=2EF,

^AE=4EF,

唠=3,

故选:B.

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和三角形中位线定理，本题辅助线的作法是解题的关键.

【变式2-3］（2023秋•四川成都•九年级校考期中）如图，已知AABC,&DCE,△尸EG是三个全等的等腰

三角形，底边BC,CE,EG在同一直线上，RAB=V3,BC=1,分别交4C，OC,DE于P,Q,R,贝IJPQ的

【答案】:

【分析】过点尸作PH1BG于点H,根据等腰三角形的性质和勾股定理求出EH=HG=\EG==FH

y/EF2-EH2="，BF=VFH2+BH2=3,根据平行线的判定得出ACIIDE||FG,得出黑=丝=2，根

Z£>CCccG

据BC=CE=EG=1,结合B尸=3,得出BP=PR=RF=1,根据平行线的判定得出C。||EF,得出券=

号=1,从而求出BQ=QP=：BP=3，即可求出结果.

【详解】解：过点尸作尸H1BG于点H,

0A/IFC,ADCE,^FEG是三个全等的等腰三角形，

团BC=CE=EG=1,AB=AC=DC=DE=EF=FG=V3,

/.ABC=Z.ACB=乙OCE=乙DEC=Z-FEG=4FGE,

^FH1BG,

团EH=HG=-EG=-,

22

0FH=yjEF2-EH2=乌，

2

=BC+CE+EH2

WF=\/FH24-BH2=3,

回乙4cB=乙DEC,

^AC||DE,

同理可得：OEIIFG,

团ACIIDE||FG,

团BC=CE=EG=1,

(3BP=PR=RF,

(3BP+PR+R尸=8尸=3,

团BP=PR=RF=1,

^Z-BCD=180°-zDCE,Z.BEF=1800-Z.FEG,

又回匕OCE=乙FEG,

团乙BCD=Z.BEF,

BCD||EF,

喘喏〜

13

MQ=QP=”P=；,

团PQ=BQ-BP=；1=/

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，平行线分线段成

比例定理，勾股定理，解题的关键是作出辅助线，求出3P=1,BQ=g

【题型3黄金分割的运用】

【例3】（2023秋•河南郑州•九年级河南省实验中学校考期中）五角星是我们生活中常见的一种图形，在如

图所示的正五角星中，点C,。为线段AB的黄金分割点，且43=2,则图中五边形CDE/G的周长为（）

A.2V5-2B-7C.10V5-20D.10V5-10

【答案】C

【分析】根据点C,。分别为线段AB的右侧和左侧的黄金分割点，可得AC=BD=亨48=再一1,

8。=亨80=3-遍，再根据CD=8。一BC求出CO的长度，然后乘以5即可求解.

【详解】解：团点C,。分别为线段力8的右侧和左侧的黄金分割点，

0/4C==—/IF=V5-1,AD=BC=—FD=3-V5,

22

0CD=5D-SC=V5-1-3+V5=2V5-4,

13五边形CDE尸G的周长5（2遥-4）=10V5-20.

故选：C.

【点睛】本题考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分为较长线段和较短线段，若较长线段是较短线

段和整个线段的比例中项，则这个点叫这条线段的黄金分割点.

【变式3-1］（2023春.山东威海•九年级校联考期末）在学习面线段的黄金分割点时，小明过点B作的

垂线BC,取AB的中点M,以点B为圆心，3M为半径画弧交射线3c于点。，连接40,再以点。为圆心，DB为

半径画弧，前后所画的两弧分别与AD交于E,F两点,最后，以A为圆心，“国”的长度为半径画弧交于点

H,点H即为AB的其中一个黄金分割点，这里的“酎'指的是线段.

【答案】AF

【分析】根据作图可知，乙480=90。，DB=DF=BM=）B,设。3则48=2a,根据勾股

定理得，AD=yjAB2+BD2=V5a,求出力F=VIa-Q,得出某=空，即可得出结论.

AB2

【详解】解：根据作图可知，^ABD=90%DB=DF=BM

设D8=DR=Q,则4B=2a,

二根据勾股定理得，AD=7AB2+BD2=府a,

AF=AD-DF=V5a—a,

AFV5a-aV5-1

:.—=----=----,

AB2a2

•••以A为圆心，"AF"的长度为半径画弧交AB于点H,点H即为AB的其中一个黄金分割点.

故答案为：AF.

【点睛】本题主要考查了勾股定理，黄金分割，解的关键是求出芸=粤士=亨.

AB2a2

【变式3-2］（2023秋•辽宁锦州•九年级统考期中）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割,

黄金分割在日常生活中处处可见；例如I：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感

觉最好.若舞台长48=20米，主持人从舞台一侧8进入，她至少走米时恰好站在舞台的黄金分

割点上.（结果保留根号）

APB

【答案】（30-10花）

【分析】根据黄金分割的概念，可求出力P,BP,即可求解.

【详解】由题意知AB=20米，

BP_AP_yf5-l

而=耘=方''

AP=20X亨=（10V5-10）,

BP=20-（10V5-10）=（30-106）米，

故主持人从舞台一侧点B进入，则他至少走（30-10V5）米时恰好站在舞台的黄金分割点上，

故答案为：（30-10V5）.

【点睛】本题考查了黄金分割，理解黄金分割的概念找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键.

【变式3-3］（2023春•江苏苏州•九年级苏州市立达中学校校考期末）已知线段48=2,点P是线段48的黄

金分割点（4P>BP）,

⑴求线段AP的长；

⑵以48为三角形的一边作△ABQ,使得BQ=AP,连接QP,若QP平分乙4QB,求AQ的长.

【答案】（1）函一1

（2）2

【分析】（1）根据黄金分割点的定义得出8P=亨、48=晶一1；

⑵根据角平分线的性质得出P到AQ、EQ的距离相等，可得出受"=铁=焉求出PB=AB-4P=3—

S&PBQBQPB

V5,即可得出答案.

【详解】（1）解：目点P是线段AB的黄金分割点（4P>BP）,

0/4P=—xAB=—x2=V5-1；

22

（2）解：I3QP平分入4QP,

团尸到AQ、BQ的距离相等，

肥3=丝=丝，

SRPBQBQPB

又由（1）AP=BQ=y[5-l,

团4B=2,

团PB=AB-AP=2-（石-1）=3-倔

西Q=q=^#=2.

yPB3-V5

【点睛】本题考查黄金分割点的定义，角平分线的性质等知识，解题时要熟练掌握并灵活运用.

【题型4证明两三角形相似】

【例4】（2023秋•广东清远•九年级统考期末）如图，已知正方形A8CD中，8E平分NDBC且交CD边于点E,

将A8CE绕点C顺时针旋转到ADC尸的位置，并延长8E交DF于点G.求证：

（1）ABDGDEG；

（2）BG1DF.

【答案】（1）见解析

⑵见解析

【分析】（1）先判断出4FDC=4E8C,再利用角平分线判断出乙FOC=NEBC,即可得出结论;

（2）由三角形的内角和定理可求40GE=/BCE=9O。，可得结论.

【详解】（1）证明：由旋转可知：ABCE=ADCF,

Z.FDC=Z.EBC.

•••BE平分WBC,

Z.DBE=Z.EBC,

:.Z.FDC=乙DRE,

,:乙DGE=乙DGB,

•••△BDGDEG；

(2)证明：..•4E8C=NGDE,乙BEC=LDEG,

•••乙DGE=乙BCE=90°.

•••BG1DF.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题

是本题的关键.

【变式4-1](2023秋•浙江绍兴•九年级统考期中)如图，已知NB=ZE=90°,AB=6,BF=3,CF=5,DE=

15,DF=25.

⑴求CE的长；

(2)求证：小ABC~ADEF.

【答案】(1)CE=15

⑵见解析

【分析】(1)利用勾股定理求出EF,再用EF—C/即可求出CE的长；

(2)先求出BC的长，得到黑=能再根据=NE=90。，即可得证.

DEEr

【详解】(1)解：BOE=15,OF=25,NE=90。，

(3EF=y/DF2-DE2=20,

团CE=EF-CF=15；

(2)证明：回BF=3,CF=5,

^BC=BF+CF=8,

团4B=zE=90°,

ABC5sDEF.

【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形的判定.熟练掌握勾股定理，相似三角形的判定方法，是解题的

关键.

【变式4-2](2023秋•贵州贵阳・九年级统考期末)如图，在RCA4BC中，乙4cB=90。，CDLAB,垂足为

点。，点M是4c上的一点，连接BM,作且交AB于点N.

(1)求证：ABCP〜AMAN；

(2)除(1)中的相似三角形外，图中还有其它的相似三角形吗？若有，请将它们全部直接写出来.

【答案】(1)详见解析；(2)44co〜。4BC；AACD^ABCD；/BCD〜44BC；ABDP〜ABMN.

【分析】(1)由乙4cB=90。，。0_148证得乙4=乙3。0,再利用MN_L8M证得乙4MN=々CBM,即可得

至IJ/L4CD〜44BC；

(2)利用直角与公共角的关系得至必ACO~zL43C；AACD-ABCD；ABCD^AABC,4BDP〜ABMN.

【详解】(1)-ABLCD,ACLBC,

LA+Z.ACD=90°,£BCD+LACD=90;

Z.A=乙BCD,

又NM1BM,AC1BC,

•••Z.AMN+乙BMC=90°,4CBM+/BMC=90°,

:./.AMN=NCBM,

AAMN-ACBP；

(2)-ABLCD,ACIBC,

00ACB=(?lADC=aBCD=9Oo,

配A=SA,

WCD〜44BC;

00ABC=(3CBDZ

助BCD〜2MBC;

^AACD^ABCD：

团MN1BM,

00BMN=0BDP=9O°,

X00DBP=0MBNz

⑦ABDP〜ABMN.

团共4对相fcl三角形：AACD^AABC；AACD^ABCD；ABCD^AABC^ABDP〜ABMN.

【点睛】此题考查相似三角形的判定，注意公共角在证明三角形相似中的作月，再由已知条件所给的都是

关于角的条件，因此通过证明两组角分别相等证明两个三角形相似比较简单.

【变式4-3］（2023秋•安徽阜阳•九年级校考期中）如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把△ADE沿AE

翻折，使点。恰好落在8c边上的点F处.

（1）求证：尸〜ZiFCE：

（2）若48=2g，AD=4,求CE的长.

⑶当点尸是线段8c的中点时，求证：AF2=ABAE.

【答案】⑴证明见解析

陪

⑶证明见解析

【分析】（1）利用同角的余角相等，先说明4B4F=再利用相似三角形的判定得结论;

（2）先利用勾股定理求出8尸，再利用相收三角形的性质得方程，求解即可.

(3)由△ABFSAFCE,可得”=”=荔，结合F为的中点，可得荔=在，结合乙4FE==90。，可

CrCEEFBFEr

得△A8F〜从而可得答案.

【详解】(1)证明：团四边形ABCD是矩形，

团/B=zC=ZD=90°.

0AAOE沿AE翻折得至1」△AFE,

回ND=Z.AFE=90°.

团NB4F+Z.AFB=90°=Z.AFB+乙EFC,

回48AF=Z.EFC.

又回乙B=乙C,

H1AABF〜△FCE.

(2)团四边形A6C。是矩形，AB=2V3,AD=4,

^AB=CD=2V3,AD=BC=4,

0A4DE沿AE翻折得至AFE,

^AD=AF=4,DE=EF.

在RtAA8尸中，BF=VAF^-AB2=2.

设CE的长为x,则DE=EF=28一%.

ISAABF—△FCE»

醉=竺.

CEFE

团CEAF=BFEF,

即4%=2(273-x).

0x=<

3

即EC#.

3

(3)SAABF八FCE,

团"为BC的中点,

团BF=CF,

樱=竺，

BFEF

^Z-AFE=Z.B=90°,

0AABF-AAFE,

造=竺，

AFAE

0AF2=AB-AE.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定和性质，掌握“矩形的四个角都是直

角、矩形的对边相等"、"折叠前后的两个图形全等"、"两角对应相等的两个三角形相似"及"相似三角形的对

应边的比相等“是解决本题的关键.

【题型5证明三角形的对应线段成比例】

【例5】（2023春•江苏•九年级专题练习）如图，A/IBC中在48、4c上分别截取80=CE,DE,BC

的延长线相交于点凡证明：ABDF=ACEF.

【答案】见解析

【分析】过点E作EM〃/18交BC于点M,可得到ACEMYEB,AFEM^AFDB,进而有罂=竿，

翳晦，根据BD=CE,可得到*急即证.

【详解】如图，过点E作交BC于点、M,

^EM//AB,

SACEM~ACAB,△FEM~AFDB,

EM_EF

DB~DF

(3AB•CE=EM•AC,

R/BEM

即——AC二—CE,

团BD=CE

静=型,

CEDB

嗤喑

^ABDF=ACEF

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质.

【变式5-1](2023春•江西南昌•九年级统考期末)⑴已知抛物线、=。%2一6%+，的图象经过点(・2,-1),

其对称轴为x=l.求抛物线的解析式.

(2)如图，在0ABe中，AB=AC,点D,E分别是BC,AB边上的点，K0ADE=0C.

求证：BD-CD=BE-AC

【答案】(1)、=一3%2一6%-1；(2)详见解析.

【分析】1)利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；

(2)由AB=AC可得EIBWC,由已知条件0ADE=SC可证团BDEWCAD,根据相似三角形的判定定理即可证

回BDE幽CAD,由相似三角形的性质可得结论.

【详解】⑴解：由题意得，[,解得｛；二二；

_16=_1

团抛物线的解析式为y=一3一一6%-1

(2)证明：0AB=AC

E0B=3C

00ADB=0C+0DAC@ADE=0C.

0ADB=0ADE+0BDE

00DAC=0BDE

00BDE03CAD

国BDCD=BE-AC.

故答案为(1)y=-3x2-6x-l.(2)详见解析.

【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的判定及性质，解题的关键是能够掌握并

熟练运用所学知识.

【变式5-2](2023•上海松江•统考一模)如图，已知梯形4BCD中，AD\\BC.E是边AB上一点，CE与对角

线8。交于点F,且BE2=EF-EC.

求证：

(1)AABDFCB；

(2)BD-BE=ADCE.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）由BE?=EF•EC可证△BEFCEB,得至I」乙E8F=乙ECB,再由40||8C得至I]4408=乙DCB,

即可证明△48。一△FCB；

（2）由〜ZkCEB得至1]更=空，△48。〜△FCB得至IJ丝=吧=丝，进而得到.=丝，即可得到BD•

BCCEFCBCBFCEBD

BE=ADCE.

【详解】（1）05E2=EFEC,

爬=生

EFBE

团4BEF=乙CEB,

SABEF~&CEB

^LEBF=乙ECB

团4OUBC,

团乙4DB=Z.DCB

ABDFCB；

(2)BEF〜ACEB,

BCCE

ABDFCB,

AB_BD_AD

FC~~BC~~BF

胖=丝

BCBD

爬=丝

CEBD

田BEBD=ADCE.

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，相似三角形判定方法是解题的关键.

【变式5-3］（2023春・全国•九年级专题练习）如图，已知，在0ABC中，回AC3的平分线CD交AB于D,过

B作BE0CD交AC的延K线于点E.

【答案】证明见解析.

【分析】根据CD平分（3ACB,可知回ACDWBCD：ftlBE0CD,可求出ABCE是等腰三角形，故BC=CE；根据平

行线的性质及BC=CE可得出结论.

【详解】解：证明：回CD平分团ACB,

00ACD=0BCD.

X0BE3CD,

（30CBE=0BCD,0CEB=0ACD.

00ACD=0BCD,

酿CBEWCEB.

团BC=CE.

团BE团8,

喘吟

又团BC=CE,

碎=些.

DBCB

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定及性质和角平分线定理、平行线分线段成比例定理，关键是熟

练掌握平行线分线段成比例定理和平行线的性质.

【题型6确定相似三角形的点的个数】

【例6】(2023春・江苏苏州•九年级校联考期末)如图，已知点4(1,0),点B(b,0)(b>l),点P

是第一象限内的动点，且点尸的纵坐标明，若△尸OA和△掰B相似，则符合务件的尸点个数是()

4

【答案】D

【分析】利用相似三角形的对应边成比例，分①团限000必B,②(3以00团刖尸两种情况分别求解即可.

【详解】团点尸的纵坐标为々

(3点P在直线)，=：上，

①当团以O03B4B时，48=8-1=04=1,助=2,则P(l,|)；

②团当团R4OS团8Ap时，B4：AB=OA：PA,

团"2=AA・OA,

产="1,

16

0(/?-8/=48,

解得6=8±46，

□P(l,2+V5)或(1,2-V3),

综上所述，符合条件的点P有3个，

故选D.

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键.

【变式6-1］（2023春・江苏苏州•九年级校考阶段练习）下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的

正方形网格，网格中的一:角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的一：角形，与左图

中的0ABe相似的个数有（）

B.2个D.4个

【答案】B

【分析】可利用正方形的边把对应的线段表示出来，利用三边对应成比例两个三角形相似，分别计算各边

的长度即可解题.

【详解】解：根据题意得：AC=Vl2+I2=y[2,BC=V22+22=242,AB=Vl2+32=V10,

^AC24-BC2=AB2,

团该三角形为直角三角形，且两直角边的比为翌=2,

4c

第1个图形中，有两边为2,4,且为直角三角三角形，则两直角边的比为2,故第1个图形中三角形与她8C

相似;

第2个图形中，三边长分别为A//+22=V5,“2+22=V5,3+32=V10,

0(V5)2+(V5)2=(VTO)2,

则该三角形是直角三角形，两直角边的比为1,故第2个图形中三角形不与财BC相似;

第3个图形中，三边长分别为,12+22=%,V32+22=V13,Vl2+32=710,

<V5)2+(VTO)2^(V13)2,

则该三角形不是直角三角形，故第3个图形中三角形不与蜘8C相似:

第4个图形中，三边长分别为-12+22=遍,V42+22=2V5,"42+32=5,

0(V5)2+(2A/5)2=52,

则该三角形是直角三角形，两直角边的比为2,故第4个图形中三角形与财8c相似；

故选：B.

【点睛】此题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，三角形对应边比值相等判定三角形相似的方法，本

题中根据勾股定理计算三角形的三边长是解题的关键.

【变式6-2］（2023秋•九年级单元测试）如图，在A4BC中，AB=4cm,AC=3cm,8C=6cm,。是AC上

一点，AD=2cm,点P从C出发沿CTBTA方向，以lcm/s的速度运动至点A处，线段DP将△力8c分成两

部分，可以使其中一部分与△4BC相似的点P的个数为（）

A.0个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】根据相似三角形的判定定理“有两个角分别相等的两个三角形相似"，按点尸的运动轨迹，一次进行

判断艮」可.

【详解】解：①当/。P。=2力时，&ABdPDC,

③当"=时，AABC〜△4PO,

A

④当ZAPD=4C时，AABC〜AADP,

A

综上：一共有4个，

故选：D.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握“有两个角分别相等的两个三角形

相似

【变式6-3］（2023秋•安徽宣城•九年级校联考期中）如图，在（MBC中，04=60°,AB=4,4C=6,将财BC

沿图示中的虚线剪开，有如下几种剪法，其中满足剪下的阴影三角形与财5c相似的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】先利用勾股定理和直角三角形的性质求出BC的长，再根据相似三角形的判定逐个判断即可得.

【详解】解：如图1,过点B作于点F,

•••Lh=60°,AB=4,

：•AF=-AB=2,BF=\iAB2-AF2=2百,

：.CF=AC-AF=6-2=4,

BC=y/BF2-+CFZ=+42=2V7*AC,

••・〃wz_B,

在ABDE和△BAC中，N="=；，但乙4H48或者,B=但处工普，

ABAC2ABBC

则ABDE与ABAC不相彳以；

如图2,VAB=4,AC=6,AD=AB-BD=3,AE=AC-CE=

-A-D=AE1,

ACAB2

AD_A£_1

就一方一3,

{Z.A=Z.A

ADE~&ACB；

如图3和图4,剪下的阴影二角形均与△43C有一组公共角乙C,还有一组大小均为60。的相等的角,

所以图3和图4中，剪下的阴影三角形均与AABC相似；

综上，满足剪下的阴影三角形与aABC相似的个数是3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了直角三角形的性质、相似三角形的判定等知识点，熟练掌握相似三角形的判定是解题

关键.

【题型7相似与翻折】

【例7】（2023秋•河南潦河•九年级漂河行实验中学校考期末）在Rt△力BC中，8c=5,AC=12,点O,

E是线段48,AC上的两个动点（不与A,B,C重合）沿DE翻折△ADE使得点A的对应点尸恰好落在直线BC

上，当OF与RtAABC的一条边垂直的时候，线段力。的长为.

【答案】爰或旨

【分析】设40=。尸=，则BD=13-X,分两种情况讨论：DF1BC,DFLAB,依据相似三角形的对

应边成比例，即可得到比例式，进而得出A0的长.

【详解】团RtAA8C中，BC=5,AC=12,

^AB=yjAC2+BC2=13,

设==则BD=13一%,

①如图，当DPIBC时,Z-DFB=Z-ACB=90°,

团ACIIDF,

ABC^△DBF,

胫=型，即二=廿，

ACBA1213

解得"受；

②如图，当。尸时，Z.ACB=Z.BDB=90°,而乙ABC=4FBD,

A

ABCS△FBD,

座=变，即工=工，

FDBDx13-x

解得x=詈；

综上所述，线段40的长为詈或詈，

故答案为：詈或詈.

【点睛】考查了相似三角形的判定与性质，解决问题的关键是依据相似三角形的对应边成比例列比例式求

解.

【变式7-1](2023秋•重庆沙坪坝•九年级重庆八中校考期末)如图，在△4BC中，点。是4c边上的中点，

连接BD,把△A8D沿若BD翻折，得至ijaABD.连接AC.若AC=6,LA'CD=30°,BD=4,则AB为()

A.V3B.2C.3D.2V3

【答案】B

【分析】延长48,G4'交于点H,连接/L4',过点4'作AE1{〃于E,由折叠性质可知48=AfB,AD=A'D=

DC,UDB=iBDA',易证△4BD〜△AHC,根据相似三角形的性质可得*=啜=器=J进而可得C，=

ACAHCH2

2BD,AH=2AB,根据直角三角形斜边中线定理可得乙4AC=90。，根据含30。角的直角三角形的性质可求

得AA=2V5,进而在RtAA477中，由勾股定理得4”，进而即可求解.

【详解】如图，延长48,CA交于点H,连接力A,过点4作于E,

团点。是AC边上的中点，

04D=DC,

(3把△ABD沿若翻折，得至IJAAB。，

^AB=A'B,AD=A'D=DC,Z,ADB=LBDA1,

^DCAf=LDA!C.

^LADB+LA'DB=LDCA'+LDA!C.

^LADB=LACA',

(3BDIICH,

QAABDAHC

樱_也_处」

AH~CH~2f

⑦CH=2BD,AH=2AB,

团力'C=6,BD=4,

团CH=8=A,C+A'H,

团AH=2,

^AD=A'D=DCf

^AA'C=90°,

团乙4c«=30°,

团4'C=V3AAf=6,

回44=2V3,

团在RS44'H中，由勾股定理，得：

AH=y/AfA2+AfH2=J(2⑹2+22=%

^AB=-AH=-x4=2,

22

故选：B.

【点睛】本题考查翻折变换、相似三角形的判定及其性质、勾股定理等知识点，解题的关键是灵活运用所

学性质.

【变式7・2】（2023春・上海徐汇•九年级上海市西南模范中学校考期末）己知：在直角梯形A8C。中，AD\\BC,

乙4=90。，AA8D沿直线8。翻折，点4恰好落在腰CD上的点E处.

（1）如图，当点E是腰的中点时，求证：是等边三角形；

⑵延长BE交线段的延长线于点F,连接6,如果腹2=。小。。，求证：四边形4BCF是矩形.

【答窠】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）由垂直平分线的性质得到OE=BC,通过折叠、等边对等角、平行线的性质得到N80E=ZC=

^ADB=60°,从而证明△BCD是等边三角形；

（2）过点。作_LBC于〃，得到四边形力BHO是矩形，从而4。=8H,AB=DHf再由折叠得到角之间

的关系从而证明ABCE三△/）（；”，得到DC=BC,CE=CH；由得到△FDEBCE,进而竺二型,

DEDF

结合已知条件CE2=DE・OC得到。F=CE=CH,进一步得到4尸=BC,所以四边形力BCF是平行四边形，

又44=90。，所以证明得到四边形A8CF是矩形.

【详解】（1）由折叠得：乙ADB=4BDE,LA=Z.DEB=90°

团点E是腰CD的中点

（3BE是。C的垂直平分线

DB=BC

•••Z.BDE=Z.C

乙BDE=zC=Z.ADB

vAD\\BC

Z.ADC+ZC=180°

•.乙BDE+NC+Z.ADB=180°

:.Z.BDE=zC=Z-ADB=60°

BOO是等边三角形

（2）过点。作。“13C,垂足为”,

:.乙DHB=Z.DHC=90°,

vAD\\BC,LA=90°,

^ABC=180°-乙4=90°,

回四边形力8HD是矩形，

.-.AD=BH,AB=DH,

由折叠得：/-A=WEB=90°,AB=BE,

Z.BEC=180°-乙DEB=90°,DH=BE,

•••乙BEC=Z-DHC=90°,乙BCE=乙DCH：

BCE=△OCH(AAS),

:.DC=BC,CE=CH,

-AD\\BC,

:.Z.DFE=乙EBC,乙FDE=乙ECB,

•••△b'DE-△BCE,

曜喑

•:CE2=DEDC,

CE_DC

"DE-CE*

.BC_DC

''~DF~'CEf

DF=CE,

CH=DF,

..ADDF=BH+CH,

:.AF=BC,

国四边形42CF是平行四边形,

v乙4=90°,

回四边形4BCF是矩形.

【点睛】本题考查垂直平分线的性质，等边三角形的判定，矩形的判定.相似三角形的判定与性质，图中

角和线段的转化是解题的关键.

【变式7-3］（2023春•山西太原•九年级山西大附中校考期中）如图，已知乙48c=135°,AB=3仿BC=6,

点P是边4c上任意一点，连接BP,将ACPB沿PB翻折，得到AUP8.当。P_LAC时，4P的长为.

【答案】蜉或手

【分析】分两种情况讨论，根据翻折的性质证明ACPB〜△CB4或△4PB〜△力BC,过点C作C”148交延

长线于点H,结合勾股定理即可求出CP的长，即可求解.

【详解】解：①由翻折可知：乙CPB=LC'PB,

•••“'PC=90°,

:.乙CPB=135%

•••乙CPB=Z.CBA,

回匕ACB=乙BCP,

CPB〜△CBA»

CP_CF

'CB=CAf

过点C作CH148交48延长线于点H,

：•Z.CBH=45°,BC=6,

CH=BH=3V2,

AH=6或，

在RtACA”中，CA=y/CH2+AH2=48+72=3V10,

由翻折可知：4CPB=NC'PB,

•••"'PC=90。，

・•・乙CPB=45°,

4APB=135°,

乙APB=乙ABC,

0Z/1=4A

：△APBABC,

AP_AB

"AB~AC1

AB2=AC-AP,

vAB=3V2,AC=3^,

.•"P=争,

...AP的长为蜉或蜉，

故答案为：字或平.

【点睛】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定与性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键.

【题型8利用相似求坐标】

【例G(2023秋.湖北随州•九年级统考期末)如图，在平面直角坐标系中，点4、B的坐标分别为(-4,0)、

(0,4),点。(3,九)在第一象限内，连接AC、BC.已知乙BCA=24。40,则n=.

【分析】过点C作。％》轴，交y轴于点。，则CD〃AO,先证△CO£0ACO5(ASA),进而可得OE=O8

=4—%再证△AO£0ZkCOE,讲而可得;=譬，由此计算即可求得答案.

34-n

【详解】解：如图，过点。作轴，交y轴于点O,则CD〃A。，

团团80=2回C4O,

00BCA=20DCE,

^DCE=^DCB,

(3801y轴，

00CDE=0CDB=9O°,

又用CZ)=CO,

0ACD£0ACDB(ASA),

0DE=DB,

班(0,4),C(3,n),

0CD=3,0D=n,08=4,

田DE=DB=0B—0D=4—n,

WE=OD-DE

=n—(4—n)

=2n-4,

0A（-4,0）,

MO=4,

0CD0AO,

0AAOE0ACDE>

心”,

CDDE

膜=吆，

34-n

解得：九=£，

故答案为：

【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练

掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键.

【变式8-1］（2023秋•四川绵阳•九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系xOy中，已知A（4,0）和

B点（0,3）,点C是AB的中点，点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与HAOB相似，那么点P

的坐标是.

【分析】设P（X,0）,可表示出AP的长，分HAPO30AOB和团ACPG0AOB,利用相似三角形的性质可得到关

于t的方程，可求得P点的坐标.

【详解】解:团A（4,0）和B点（0,3）,

回0A=4,OB=3,

0AB=5,

班是AB的中点,

0AC=2.5,

设P(x,0),

由题意可知点P在点A的左侧，

0AP=4-x,

团以P、A、C为顶点的三角形与0AOB相似，

团有团APCE0AOB和HACP雕1A0B两种情况，

当团APC03AOB时，则啜=与，即々=警，解得x=2,

AOAB45

0P(2,0)；

当0ACP00AOB时，则竺二竺，即竺二