安徽省合肥市百花中学等四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中数学试题

合肥百花中学等四校2023~2024学年度第二学期高二年级期中考试数学本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{aₙ}满足则（）A.10 B.12 C.26 D.28【答案】D【解析】【分析】根据条件可构造数列为等比数列，再利用等比数列通项公式即求出结果.【详解】由可得，所以数列是以为首项，公比等比数列；因此，即；所以.故选：D2.设函数，则A.为的极大值点 B.为的极小值点C.为的极大值点 D.为的极小值点【答案】D【解析】【详解】试题分析：因为，所以．又，所以为的极小值点．考点：利用导数研究函数的极值；导数的运算法则．点评：极值点的导数为0，但导数为0的点不一定是极值点．3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯A.1盏 B.3盏C.5盏 D.9盏【答案】B【解析】【详解】设塔顶的a1盏灯，由题意{an}是公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故选B．4.函数的单调递减区间为（）A. B. C. D.和【答案】D【解析】【分析】求导可得，令，解不等式即可求解.【详解】，则且，令或，所以函数的单调减区间为和.故选：D5.已知函数的大致图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象可能是（）A. B.C D.【答案】C【解析】【分析】由的图象可知，当时，当时，即可求解.【详解】由的图象可知，，所以当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减.结合选项可知：C正确，ABD错误.故选：C6.已知曲线在点处的切线方程为，则A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】通过求导数，确定得到切线斜率的表达式，求得，将点的坐标代入直线方程，求得．【详解】详解：，将代入得，故选D．【点睛】本题关键得到含有a，b的等式，利用导数几何意义和点在曲线上得到方程关系．7.已知数列满足，，则下列结论正确的是（）A.数列是公差为的等差数列B.数列是公差为2的等差数列C.数列是公比为的等比数列D.数列是公比为2的等比数列【答案】C【解析】【分析】根据递推关系式，化简变形可得即可判断数列是公比为的等比数列.【详解】∵，∴，既不是等比数列也不是等差数列；∴，∴数列是公比为的等比数列．故选：C8.若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）A. B.]C. D.【答案】B【解析】【分析】根据在上单调递增可得在上恒成立，即可求解.【详解】，则，因为在上单调递增，所以即在上恒成立，所以，即实数k的取值范围为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，下列结论中正确的是（）A.B.函数的值域为RC.若是的极值点，则D.若是的极小值点，则在区间单调递减【答案】ABC【解析】【分析】求导可得，利用导数分类讨论当、时对应的单调性，结合极值点的概念依次判断选项即可.【详解】，则，当即时，方程至多有1个实根，此时，函数在R上单调递增；当即时，方程有2个不等的实根，设为，且，则，；，，所以在上单调递减，在上单调递增.A：当时，；当时，，所以，故A正确；B：由选项A知，的值域为R，故B正确；C：若是的极值点，则，故C正确；D：若是的极小值点，则，在上单调递增，在上单调递减，故D错误.故选：ABC10.公差为的等差数列的前项和为，若，则（）A. B.C中最大 D.【答案】CD【解析】【分析】由得，由得，则，即可判断ABC；根据和等差数列下标和的性质可得，即可判断D.【详解】A：由，得，由，得，所以，所以，故A错误；B：由选项A的分析知，，故B错误；C：因为，，，所以数列是递减数列，其前6项为正，从第7项起均为负，故最大，故C正确；D：由选项A的分析知，，，，所以，且，即，所以，故D正确.故选：CD11.若，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】由和，构造函数和，利用导数研究两个函数的单调性，结合单调性比较函数值的大小即可求解.【详解】A：若，则.设，则，所以函数上单调递增，由，得，即，故A正确；B：由选项A的分析知，，故B错误；C：若，则.设，则，所以函数在上单调递减，由，的，即，故C正确；D：由选项C的分析知，，故D错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：构造函数和，利用导数研究函数的单调性，进而比较函数值的大小是解决本题的关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则的值为__________.【答案】【解析】【分析】求导可得，令即可求解.【详解】由题意知，，所以，解得.故答案为：13.函数f（x）＝xsinx＋cosx（0≤x≤π）的最大值为_______【答案】【解析】【详解】解析：∵f′（x）＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，∴当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，π）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的最大值为f（）＝.【考查意图】求函数的最值（三角函数为载体）.14.记为数列的前项和，且，则__________.【答案】【解析】【分析】根据得到是首项为1，公比是2的等比数列，从而求出通项公式.【详解】①，当时，，解得，当时，②，①②得，，即，所以，是首项为1，公比是2的等比数列，故.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知等差数列的前项和为，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）列式求解公差，写出等差数列通项公式；（2）利用裂项相消法求和.【小问1详解】设数列的公差为，∵，∴，解得，∴．【小问2详解】，∴．16.已知函数在处取得极大值为9.（1）求的值;（2）求函数在区间上的最大值.【答案】（1）（2）9．【解析】【分析】（1）先求出函数的导函数，极值点导函数的值为0，联立此处函数值为极大值，求解的值。（2）求出导函数，由导函数正负求函数单调区间，由单调性得出对应区间的最值。【小问1详解】，依题意得，即，解得．检验，当时，∴当时，，单调递增；当时，，单调递减.满足题意，所以.小问2详解】由（1）得，，令，得；令，得或，在上的单调递减区间是，单调递增区间为．，函数在区间上的最大值为9．17.已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）求定义域，求导，分与两种情况，求解单调性；（2）参变分离，得到，构造，求导，得到其单调性，求出最大值，得到.【小问1详解】.当时，，所以在上单调递增；当时，令，解得，当时，；当时，；所以在上单调递增，在上单调递减；【小问2详解】的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，令，只需，又，令得，时，，则单调递增；时，，则单调递减；故在时取得极大值，也时最大值.所以，解得：，故a的取值范围是.18.已知数列满足：．（1）证明数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为3的等比数列，求数列的前n项和．【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列定义证明，从而可得数列的通项公式；（2）由题意可得，利用错位相减法求和即可.【小问1详解】因为，所以是首项为3，公差为3的等差数列，所以．【小问2详解】因为数列是首项为1，公比为3的等比数列，所，故．，①，②①②得，所以．19.已知函数.（1）设是的极值点.求a，并求的单调区间;（2）证明:当时，【答案】（1），减区间为，增区间为．（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据函数的极值点求得，则，利用二阶导数讨论的