1.1.1 空间向量及其线性运算（分层练习） 高二数学新教材配套练习（人教A版选择性必修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算基础练巩固新知夯实基础1．判断下列各命题的真假：①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2 B．3C．4 D．52．已知空间向量eq\o(AB,\s\up11(→))、eq\o(BC,\s\up11(→))、eq\o(CD,\s\up11(→))、eq\o(AD,\s\up11(→))，则下列结论正确的是()A.eq\o(AB,\s\up11(→))＝eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))B.eq\o(AB,\s\up11(→))－eq\o(DC,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→))C.eq\o(AD,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(DC,\s\up11(→))D.eq\o(BC,\s\up11(→))＝eq\o(BD,\s\up11(→))－eq\o(DC,\s\up11(→))3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量表达式eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))化简后的结果是()A.eq\o(BD1,\s\up6(→)) B.eq\o(D1B,\s\up6(→))C.eq\o(B1D,\s\up6(→)) D.eq\o(DB1,\s\up6(→))4．已知正方形ABCD的边长为1，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于()A．0B．3C．2＋eq\r(2)D．2eq\r(2)5．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))是()A．有相同起点的向量 B．等长向量C．共面向量 D．不共面向量6．已知向量a，b，且eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋2b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝－5a＋6b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，DB．A，B，CC．B，C，DD．A，C，D7．已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))，则实数x的值为()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．如何用eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(AD,\s\up6(→))、eq\o(AA1,\s\up6(→))表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))？能力练综合应用核心素养9.已知非零向量e1，e2不共线，如果eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，则A，B，C，D四点()A．一定共线B．恰是空间四边形的四个顶点C．一定共面D．一定不共面10.在平行六面体ABCD－EFGH中，若eq\o(AG,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))－2yeq\o(BC,\s\up6(→))＋3zeq\o(DH,\s\up6(→))，则x＋y＋z等于()A.eq\f(7,6)B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4)D.eq\f(5,6)11．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若eq\o(CA,\s\up6(→))＝a，eq\o(CB,\s\up6(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up6(→))＝c，则eq\o(A1B,\s\up6(→))＝____________．12．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋ke2，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5e1＋4e2，eq\o(DC,\s\up6(→))＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________.13．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，化简eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→)).14.如图，设O为▱ABCD所在平面外任意一点，E为OC的中点，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋xeq\o(OB,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))，求x，y的值． 15．如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))；(2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(GD,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))，并标出化简结果的向量．16．已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若eq\o(OA,\s\up11(→))＋eq\o(OB,\s\up11(→))＋eq\o(OC,\s\up11(→))＝λeq\o(OG,\s\up11(→))，求λ的值．【参考答案】1.B解析①假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；②真命题；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．2．B【解析】eq\o(AB,\s\up11(→))－eq\o(DC,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＝eq\o(AB,\s\up11(→))＋eq\o(BC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(AC,\s\up11(→))＋eq\o(CD,\s\up11(→))＝eq\o(AD,\s\up11(→)).3.A解析如图所示，因为eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BA1,\s\up6(→))，eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))，∴eq\o(DD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).4．D【解析】利用向量加法的平行四边形法则结合正方形性质求解，|a＋b＋c|＝2|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(2).5.C解析因为eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))－eq\o(D1A,\s\up6(→))＝eq\o(A1C1,\s\up6(→))，即eq\o(D1C,\s\up6(→))＝eq\o(D1A,\s\up6(→))＋eq\o(A1C1,\s\up6(→)).又eq\o(D1A,\s\up6(→))与eq\o(A1C1,\s\up6(→))不共线，所以eq\o(D1C,\s\up6(→))，eq\o(D1A,\s\up6(→))，eq\o(A1C1,\s\up6(→))三向量共面．6.A解析因为eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，故eq\o(AD,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))，又eq\o(AD,\s\up6(→))与eq\o(AB,\s\up6(→))有公共点A，所以A，B，D三点共线．7.A解析eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)(eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PD,\s\up6(→)))＝eq\f(3,2)eq\o(PB,\s\up6(→))－xeq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,6)eq\o(PD,\s\up6(→)).又∵P是空间任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，∴eq\f(3,2)－x－eq\f(1,6)＝1，解得x＝eq\f(1,3).8.解eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(－eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→)).9.C解析因为非零向量e1，e2不共线，eq\o(AB,\s\up6(→))＝e1＋e2，eq\o(AC,\s\up6(→))＝2e1＋8e2，eq\o(AD,\s\up6(→))＝3e1－3e2，所以5eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))＝5e1＋5e2－3e1＋3e2＝2e1＋8e2＝eq\o(AC,\s\up6(→))，所以eq\o(AC,\s\up6(→))＝5eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)).由向量共面的充要条件可知，A，B，C，D四点共面．10.D解析由于eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))，对照已知式子可得x＝1，－2y＝1,3z＝1，故x＝1，y＝－eq\f(1,2)，z＝eq\f(1,3)，从而x＋y＋z＝eq\f(5,6).11.－a＋b－c解析eq\o(A1B,\s\up6(→))＝eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(C1C,\s\up6(→))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→)))＝－eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CA,\s\up6(→))＝－c＋b－a.12.1解析∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝7e1＋(k＋6)e2，且eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(AD,\s\up6(→))共线，故eq\o(AD,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，即7e1＋(k＋6)e2＝xe1＋xke2，故(7－x)e1＋(k＋6－xk)e2＝0，又∵e1，e2不共线，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7－x＝0，,k＋6－kx＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝7，,k＝1，))故k的值为1.13.解eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→))＝(eq\o(DA,\s\up6(→))－eq\o(DB,\s\up6(→)))＋(eq\o(B1C,\s\up6(→))－eq\o(B1B,\s\up6(→)))＋(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1B,\s\up6(→)))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→)).14.解因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝－eq\f(3,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(OB,\s\up6(→))，所以x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(3,2).解(1)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))