2.10 -2.11 二次函数与一元二次方程（A卷基础巩固） -2021-2022学年九年级数学下册同步分层练习（基础巩固＋能力拓展北师大版）（解析版）

2.10—2.11二次函数与一元二次方程学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________A卷（基础巩固）一、单选题1．（2021·安徽淮北九年级月考）若二次函数的部分图象如图所示，则方程的解是（）．A． B．或 C．， D．，【答案】C【分析】根据题意得：抛物线与x轴交于点，对称轴为，从而可根据抛物线的对称性判断出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，从而可得到方程的解．【详解】解：根据题意得：抛物线与x轴交于点，对称轴为，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，∴方程的解是，．故选：C．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，根据抛物线的对称性求得抛物线与x轴的另一个交点坐标是解题的关键．2．（2021·福建省福州市九年级月考）函数的图象如图所示，关于x的一元二次方程的根的情况是（）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根【答案】A【分析】根据函数图像可知：函数的最大值为4，即，把函数向下平移4个单位得，这时与轴只有一个交点，判断即可得答案．【详解】函数的最大值为4，把函数向下平移4个单位得，由图可知，向下平移4个单位后与轴只有一个交点，一元二次方程有两个相等的实数根．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的知识，通过二次函数平移问题判断与轴交点个数，本题关键就是看轴交点个数，当二次函数与轴有2个交点，则一元二次方程有两个不相等的实数根，当二次函数与轴有1个交点，则一元二次方程有两个相等的实数根，当二次函数与轴无交点，则一元二次方程无实数根．3．（2021·安徽安庆市第四中学九年级期中）下列表格是二次函数中x与y的对应值，则方程（、、为常数，）的一个近似解是（）6.176.186.196.20−0.03−0.010.020.06A．6.17 B．6.18 C．6.19 D．6.20【答案】B【分析】由表格中的数据可知，当x=6.18时，y=－0.01；当x=6.19时，y=0.02，由于－0.01更接近于0，从而可得出结论．【详解】当x=6.18时，y=－0.01；当x=6.19时，y=0.02∵－0.01更接近于0∴方程的的一个近似解为6.18故选：B．【点睛】本题考查了图象法求一元二次方程的近似解，体现了二次函数与一元二次方程间的紧密关系，掌握图象法求一元二次方程的近似解是关键．4．（2021·陕西延安市九年级月考）如图是二次函数的图象，以下结论：①；②；③的两个根是，；④，其中正确的是（）A．①③④ B．①② C．②③④ D．①②③④【答案】A【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与x轴的交点坐标等知识，逐个判断即可．【详解】解：抛物线开口向上，a＞0，对称轴在y轴的右侧，a、b异号，因此b＜0，与y轴的交点在负半轴，因此c＜0，所以abc＞0，故结论①正确；由图可知，对称轴为，∴，由图可知，令，则，∴，故结论②错误；由图可知，抛物线与x轴的交点坐标为（，0），（4，0），∴的两个根是，；故结论③正确；∵，，∴，∴，∴；故结论④正确；∴正确的结论有①③④；故选：A．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握a、b、c的值决定抛物线的位置以及二次函数与一元二次方程的关系，是正确判断的前提．5．（2021·湖北武汉市九年级月考）抛物线y＝x2－（4a＋1）x＋3a2＋3a（a为常数）与x轴交于A、B两点，若AB＝2，则a的值是（）A． B．－ C．－或 D．－或【答案】D【分析】根据题意，设，则，根据一元二次方程根与系数的关系求解即可【详解】则，AB＝2，即则解得－或．故选D．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴交点的距离，一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．6．（2021·福建省福州市九年级月考）抛物线y＝﹣x2＋2x＋6在直线y＝﹣9上截得的线段长度为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】求得抛物线与直线的交点坐标后即可求得截得的线段的长．【详解】解：由题意得：，解得：x＝−3或x＝5，故在直线y＝−9上截得的线段的长为5−（−3）＝8，故选：C．【点睛】本题考查了抛物线与直线的交点，要熟悉二次函数与一元二次方程的关系．7．（2021·江苏南通九年级月考）若二次函效与轴有两个不同的交点，则的取值范围是（）A． B．且 C． D．且【答案】B【分析】根据二次函数y=kx2-4x-2与x轴有两个不同的交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围．【详解】解：∵二次函数与x轴有两个不同的交点，∴，解得，k>-2且k≠0，故选：B．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．（2021·四川成都锦江区九年级期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，下列结论：①abc＜0；②9a+3b+c＜0；③a＞；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，则3＜|x1﹣x2|＜4，其中正确的结论有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④【答案】A【分析】①根据对称轴的位置可判断出ab的符号，然后根据函数和y轴的交点坐标可判断出c的正负，进而可判断出abc的正负；②根据二次函数的对称性可得当x=3时，即可判断函数值y的正负；③首先由对称轴公式得出a与b的关系，然后根据当x=1时函数值y为负求解即可；④根据二次函数与x轴的交点坐标的取值范围求解即可．【详解】①抛物线对称轴在y轴右侧，则a，b异号，而c＞0，则abc＜0，故结论正确；②由图象可知x＝3时，y＝9a+3b+c＜0，故结论正确；③∵＝2，∴b＝﹣4a，∵当x＝1时，y＝a+b+c＜0，∴﹣3a+c＜0，∴a＞，故结论正确；④若方程ax2+bx+c＝0两个根x1和x2，由图象可知，0＜x1＜1，3＜x2＜4，∴则2＜|x1﹣x2|＜4，故结论错误；故选：A．【点睛】此题考查了二次函数的图像和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．二、填空题9．（2021·武汉市九年级月考）若函数y＝（k﹣3）x2+2x+1与x轴有两个交点，则k的取值范围为___．【答案】k＜4且k≠3【分析】根据题意知，关于x的一元二次方程（k-3）x2+2x+1=0有两个不同的解，然后根据一元二次方程的定义和根的判别式来求k的取值范围．【详解】解：∵函数y=（k-3）x2+2x+1的图象与x轴有两个交点，∴令y=0，则（k-3）x2+2x+1=0，则关于x的一元二次方程（k-3）x2+2x+1=0有两个不同的解，∴△=4-4（k-3）＞0，且k-3≠0，解得，k＜4且k≠3．故答案是：k＜4且k≠3．【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系．Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数．Δ=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2021·内蒙古呼和浩特九年级月考）若函数y＝（m﹣1）x2﹣6xm的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为____．【答案】1或2或3．【分析】根据m=1和m≠1两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．【详解】解：当m=1时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，当m≠1时，函数为二次函数，∵函数的图象与x轴有且只有一个交点，∴，解得，m=2或3，综合上述，m的值为：1或2或3；故答案为：1或2或3．【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．11．（2021·山东青岛中学二模）抛物线（为常数）与轴交点的个数是______．【答案】2个【分析】先令y=0，得出关于x的一元二次方程，由△＞0得方程有两个不相等的实数根，即抛物线与x轴有两个不同的交点．【详解】解：∵抛物线y=-2x2+2（k+1）x-k（k为常数），∴当y=0时，0=-2x2+2（k+1）x-k，∴△=[2（k+1）]2-4×（-2）×（-k）=4k2+4＞0，∴0=-2x2+2（k+1）x-k有两个不相等的实数根，∴抛物线y=-2x2+2（k+1）x-k（k为常数）与x轴有两个交点，故答案为：2个．【点睛】本题考查抛物线与x的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．12．（2021·陕西延安市九年级月考）下列表格是二次函数中，的部分对应值，则一元二次方程的一个近似解是______．（精确度）【答案】6.2【分析】根据近似解的性质判断．【详解】解：当x=6.2时，y=-0.1；当x=6.3时，y=0.2．∵-0.1更接近于0，∴一元二次方程的一个近似解是6.2，故答案为：6.2．【点睛】本题考查了一元二次方程的近似解，熟练掌握近似解的判定方法是解题的关键．13．（2021·北京市人大附中九年级月考）若二次函数与轴的一个交点坐标为，则关于的方程的实数根是______．【答案】x1＝-1，x2＝3．【分析】将x＝3，y＝0代入抛物线的解析式可得到c＝−3a，然后将c＝−3a代入方程，最后利用因式分解法求解即可．【详解】解：将x＝3，y＝0代入得：9a-6a＋c＝0．解得：c＝−3a．将c＝−3a代入方程得：∴．∴∴x1＝-1，x2＝3．故答案为：x1＝-1，x2＝3．【点睛】本题主要考查的是抛物线与x轴的交点，一元二次方程的解法，求得a与c的关系是解题的关键．14．（2021·浙江杭州市九年级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象回答：（1）当y＞0时，写出自变量x的取值范围___；（2）若方程ax2+bx+c﹣k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围___．【答案】【分析】（1）写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可；（2）由于方程有两个不相等的实数根，可看作二次函数与直线有两个交点，则可利用图象法确定的取值范围．【详解】解：（1）由图象可知，当时，，故答案是：；（2）方程变形为，所以方程有两个不相等的实数根可看作二次函数与直线有两个交点，如图，所以，故答案是：．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，二次函数的图象，解题的关键是把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．三、解答题15．（2021·江苏通州九年级月考）已知二次函数（k为常数）．（1）求证：无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）当k取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴上方．【答案】（1）见解析；（2）k＞0【分析】（1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出≥0，根据判别式的意义即可证明；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标，令其大于0即可求出结论．【详解】（1）证明：∵y＝x2﹣（k+3）x+3k，∴，∴＝[﹣（k+3）]2﹣4×3k＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，∴无论k为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；（2）解：∵当x＝0时，y＝x2﹣（k+3）x+3k＝3k，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为3k，∴当3k＞0，即k＞0时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方．【点睛】本题考查了二次函数图象与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由可得该函数的图象与x轴总有公共点；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出该函数的图象与y轴交点的纵坐标．16．（2021·天津市九年级月考）二次函数的图象如图所示，根据图象回答下列问题（1）方程的两个根是______．（2）不等式的解集是______．（3）y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是______．（4）若方程无实根，则k的取值范围是______．【答案】（1），；（2）或；（3）；（4）【分析】（1）根据一元二次方程的根即为抛物线与x轴的交点横坐标解答；（2）根据二次函数图象y<0解答（3）根据二次函数的性质解答；（4）当y=k时无实数根即为直线y=k与抛物线没有交点，由此得到答案．【详解】解：（1）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），∴方程的两个根是，；（2）由图象可知：二次函数的图象或时y<0，∴不等式的解集是或；（3）由图象可知：二次函数的图象与x轴的两个交点为（0,0）、（2,0），开口向下，∴二次函数的对称轴为直线x=1，∴当时y随x的增大而减小，故答案为：；（4）方程无实根，即为直线y=k与抛物线没有交点，由图象可知：抛物线的顶点纵坐标为2，∴方程无实根，则k的取值范围是，故答案为：．【点睛】此题考查二次函数的图象，对称轴，顶点坐标，增减性，利用抛物线判定方程的根及不等式的解集，直线与抛物线的交点，熟练掌握二次函数的知识点是解题的关键．17．（2021·北京五十五中九年级月考）在平面直角坐标系xOy中，抛物线与y轴交于点A．（1）求点A的坐标和抛物线的对称轴；（2）过点作y轴的垂线l，若抛物线与直线l有两个交点，设其中靠近y轴的交点的横坐标为m，且，结合函数的图象，求a得取值范围．【答案】（1）A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2；（2）a＜−或a＞．【分析】（1）由抛物线解析式可求出A的坐标和抛物线的对称轴；

（2）分a＞0和a＜0画出图形，求出a的值，由图象可得a的取值范围．【详解】解：（1）y=ax2-4ax+4=a（x-2）2+4-4a．

∴点A的坐标为（0，4），抛物线的对称轴为直线x=2．

（2）当a＞0时，临界位置如图所示：

∵靠近y