2020-2021学年天津市部分区高一下学期期中数学试题（解析版）

试卷第=page22页，共=sectionpages33页2020-2021学年天津市部分区高一下学期期中数学试题一、单选题1．下列命题正确的是（）A．三点确定一个平面 B．一条直线和一个点确定一个平面C．梯形可确定一个平面 D．圆心和圆上两点确定一个平面【答案】C【分析】根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.对于D选项，圆的直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.故选：C【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.2．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用复数的几何意义可得出结论.【详解】复数在复平面内对应的点的坐标为，该点位于第一象限.故选：A.3．在中，已知，，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理可求得边的长.【详解】由正弦定理可得.故选：D.4．已知向量，，且，则（）A． B．C．6 D．5【答案】A【分析】由模的平方转化为数量积计算模．【详解】由已知，由得，所以．故选：A．5．在中，非零向量、、满足，则点是的（）A．内心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】分别取、、的中点、、，分析出为三条底边上中线的交点，由此可得出结论.【详解】如下图所示：分别取、、的中点、、，连接、、，，所以，，所以，，故、、三点共线，即，同理可知，，即为三条底边上中线的交点，因此，为的重心.故选：C.6．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面半径为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，分析可得，利用圆锥的表面积公式可求得的值，即为所求.【详解】设圆锥的底面圆的半径为，母线长为，由于该圆锥的侧面展开图是一个半圆，则，则.该圆锥的侧面积为，解得.故选：B.7．在中，若，且，则为（）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】由，可得，得，由可得,从而可判断出三角形的形状【详解】解：因为，所以，所以，因为，所以，因为，所以，所以为等腰直角三角形，故选：C8．在长方体中，，，直线和所成的角为（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意画出示意图，再根据平行线找到异面直线所成的角，最后根据线段长度求出角的大小即可.【详解】由题意，画出示意图如下：由于，所以直线和所成的角为直线和所成的角即,连接，因为面,且面,所以,因为，，所以，则在直角中，，所以，由于异面直线所成角的范围为，所以直线和所成的角为.故选：C9．如图，在三棱锥的平面展开图中，，，，，，，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】计算出、，可得出，利用余弦定理求得，可求得，然后利用余弦定理可求得的值.【详解】在中，，，则，在中，，，则，由展开图的生成方式可得，，在中，，于是，由余弦定理可得.故选：B.二、填空题10．为虚数单位，复数______．【答案】【分析】根据复数的除法法则计算．【详解】．故答案为：．11．在中，角，，所对的边分别为，，．已知，，，则角的大小为______．【答案】【分析】由余弦定理计算（也可由勾股定理逆定理求解）．【详解】由已知，是三角形内角，所以．故答案为：．12．已知一个正方体的顶点都在同一个球面上，它的棱长是，则该球的表面积为______．【答案】．【分析】求出正方体的对角线长即球的直径，即得球半径，再由球表面积公式计算．【详解】由题意正方体对角线长为，所以球半径为，表面积为．故答案为：．13．在边长为1的正三角形中，______.【答案】【分析】首先可通过向量的三角形法则将转化为，然后根据是正三角形将转化为，最后根据边长为1并计算即可得出结果.【详解】因为是边长为1的正三角形，所以，故答案为：，【点睛】本题考查向量的三角形法则以及向量的数量积，能否结合题意以及向量的运算法则将转化为是解决本题的关键，考查化归与转化思想，是中档题.14．四面体的各棱长均为1，则该四面体的体积为_______．【答案】．【分析】求出正四面体的高，再由体积公式计算出体积．【详解】如图是正四面体的高，则是的外心，，所以，又，所以．故答案为：．15．在中，是的中点，是的中点．若，则_______．【答案】．【分析】用向量的线性运算求出后可得结论．【详解】由已知，又，不共线，所以，，．故答案为：．三、解答题16．当实数取什么值时，复数是下列数（为虚数单位）．（1）实数；（2）纯虚数．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）由虚部为0可得；（2）由实部为0，虚部不为0可得．【详解】（1）由题意得或；（2）由得或，又，所以．17．已知向量，，其中，．（1）求，；（2）若向量满足，且，求的坐标．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）求出的坐标，由数量积和模的坐标运算计算；（2）设，根据向量平行和垂直的坐标表示得出方程组，解之可得．【详解】（1）由题意，，所以，；（2）设，则，，，因为，所以，，又，所以，，所以．18．在中，角，，所对的边分别为，，．已知．（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）17．【分析】（1）由余弦定理可求得角；（2）由三角形面积得，再由已知可得．【详解】（1）因为，所以由余弦定理得，又，所以；（2）由已知，，又．所以．19．如图，在三棱锥中，底面，，、分别是、的中点．求证：（1）平面；（2）平面平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）证明出平面，利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.【详解】（1）因为、分别是、的中点，故，平面，平面，平面；（2）底面，平面，，，，平面，平面，因此，平面平面.20．在中，角，，所对的边分别为，，．已知向量，，且．（1）求角的大小；（2）若，，求的值