第5章 几何证明初步 综合检测

第5章几何证明初步综合检测(满分100分，限时60分钟)一、选择题(每小题3分，共36分)1.(2023陕西榆林一中分校期末)下列语句：①若∠1=60°，∠2=60°，则∠1=∠2；②同位角相等吗?③画线段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等.其中是命题的是()A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤2.(2023山东青岛崂山期末)下列四个命题：①两条直线被第三条直线所截，内错角相等；②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1=∠2；③三角形的一个外角大于任何一个内角；④如果x2>0，那么x>0.其中，真命题有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(2023山东青岛实验初中期末)已知△ABC中，∠A=50°，则图中∠1+∠2的度数为()A.180° B.220° C.230° D.240°4.(2023山东青岛城阳期末)如图，已知点E在BC的延长线上，则下列条件中不能判定AD∥BC的是()A.∠D=∠DCE B.∠D+∠DCB=180° C.∠2=∠3 D.∠1=∠45.(2022山东泰安中考)如图，l1∥l2，点A在直线l1上，点B在直线l2上，AB=BC，∠C=25°，∠1=60°，则∠2的度数是()A.70° B.65° C.60° D.55°6.(2023广东广州天河外国语学校期末)如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是()A.15° B.30° C.45° D.60°7.(2023北京四中期中)如图所示的是由线段AB，CD，DF，BF，CA组成的平面图形，∠D=28°，则∠A+∠B+∠C+∠F的度数为()A.62° B.152° C.208° D.236°8.(2021湖北荆州中考)如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，点D，P分别是图中所作直线和射线与AB，CD的交点.根据图中尺规作图痕迹推断，以下结论错误的是()A.AD=CD B.∠ABP=∠CBP C.∠BPC=115° D.∠PBC=∠A9.(2022山东聊城冠县期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F.若BC恰好平分∠ABF，AE=2BF，则下列四个结论：①DE=DF；②DB=DC；③AD⊥BC；④AB=3BF.其中结论正确的有()A.4个 B.3个 C.2个 D.1个10.(2022山东聊城阳谷期末)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足为点H，AD平分∠BAC，与CH相交于点D，过点D作DE∥BC，与边AB相交于点E，连接CE，那么下列结论中一定正确的是()A.DA=DE B.AC=EC C.AH=EH D.CD=ED11.(2023北京一零一中学期中)如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=4，则当EF+CF取得最小值时，∠ECF的度数为()A.22.5° B.30° C.45° D.15°12.(2023北京大兴期末)如图，△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的中线，有下面四个结论：①△ABD与△ACD的面积相等；②AD<12(AB+AC)；③若点P是线段AD上的一个动点(点P不与点A，D重合)，连接PB，PC，则△ABP的面积比△ACP的面积大；④点P，Q是A，D所在直线上的两个动点(点P与点Q不重合)，若DP=DQ，连接PB，QC，则PB∥QC.所有正确结论的序号是A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.①③④二、填空题(每小题3分，共15分)13.(2022福建莆田荔城期中)现有一个三位数密码锁(如图)，已知以下3个条件，可以推断正确的密码是.

①有一个号码正确且位置正确609②只有两个号码正确且位置不正确265③三个号码都不正确86914.(2023浙江杭州余杭期中)如图，依据尺规作图的痕迹，计算得∠α=°.

15.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若AC=5，BC=3，则BD的长为.

16.(2023北京清华附中期中)如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E是AD上一动点，以CE为边向上作等边△CEF，连接BF，则∠CBF=°.

17.(2022山东潍坊寿光期末)如图，△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R、S，连接RS，若AQ=PQ，PR=PS，则下面四个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④AP垂直平分RS.正确结论的序号是.

三、解答题(共49分)18.(2023山东菏泽成武期中)(4分)已知命题“如果a=b，那么|a|=|b|”.(1)写出此命题的条件和结论；(2)写出此命题的逆命题；(3)判断此命题的逆命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例进行说明.19.(6分)如图，EF∥AD，AD∥BC，CE平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC的度数.20.(2022广西百色中考)(6分)校园内有一块四边形的草坪，课外活动小组实地测量，并记录数据，根据造型画出了如图所示的四边形ABCD，其中AB=CD=2米，AD=BC=3米，∠B=30°.(1)求证：△ABC≌△CDA；(2)求草坪造型的面积.21.(6分)如图，BG平分∠ABD，CG平分∠ACD.若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的度数.22.(2023山东聊城五中期末)(6分)如图，已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点.23.(2023北京四中期中)(6分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D为BC边上一点，DA平分∠CDE，且AB=AE，若CD=2，BD=3，求DE的长.24.(2022山东聊城临清期末)(7分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，BF∥AC交CE的延长线于F.(1)求∠ABF的度数；(2)求证：AD=CF；(3)连接DF，求证：AB垂直平分线段DF.25.(2023广东广州花都期末)(8分)如图，在等边△ABC中，M是BC边上一点(不含端点B，C)，N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN.(1)尺规作图：在直线BC的下方，过点B作∠CBE=∠CBA，作NC的延长线，与BE相交于点E；(2)求证：△BEC是等边三角形；(3)求证：∠AMN=60°.

第5章几何证明初步综合检测答案全解全析一、选择题1.A①④⑤都是对某件事情作出判断的语句，都是命题.②是疑问句，③是描述性语句，都不是命题.2.A两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，语句①缺少“平行”条件，所以不是真命题；已知∠1和∠2是对顶角，根据“对顶角相等”，可知∠1=∠2，②是真命题；三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，语句③缺少条件，所以不是真命题；如果x2>0，那么x>0或x<0，即x≠0，所以语句④不是真命题.3.C因为∠A=50°，所以∠B+∠C=130°.因为∠B+∠C+∠1+∠2=360°，所以∠1+∠2=360°-130°=230°.故选C.4.D选项A，已知∠D=∠DCE，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD∥BC，不符合题意；选项B，已知∠D+∠DCB=180°，根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得AD∥BC，不符合题意；选项C，已知∠2=∠3，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AD∥BC，不符合题意；选项D，已知∠1=∠4，根据“内错角相等，两直线平行”，可得AB∥CD，不能得到AD∥BC，符合题意.5.A因为AB=BC，∠C=25°，所以∠BAC=∠C=25°，所以∠ABC=180°-∠C-∠BAC=130°，因为l1∥l2，所以∠ABE=∠1=60°，所以∠2=∠ABC-∠ABE=70°.故选A.6.A如图，在△ACB中，因为∠ACB=90°，∠ABC=60°，所以∠A=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-60°=30°.在△DEF中，因为∠EFD=90°，∠DEF=45°，所以∠D=180°-∠EFD-∠DEF=180°-90°-45°=45°，因为AB∥DE，所以∠1=∠D=45°，所以∠AFD=∠1-∠A=45°-30°=15°，故选A.7.C由题图可知∠BED=∠F+∠B，∠DGA=∠C+∠A，所以∠A+∠B+∠C+∠F=∠BED+∠DGA.又因为∠BED=∠D+∠EGD，∠DGA=∠D+∠DEG，所以∠A+∠B+∠C+∠F=∠BED+∠DGA=∠D+∠EGD+∠D+∠DEG=180°+∠D=180°+28°=208°.8.D由作图可知，点D在AC的垂直平分线上，∴DA=DC，∴∠ACD=∠A=40°，由作图可知，BP平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP，选项A、B中结论正确.∵AB=AC，∠A=40°，∴∠ABC=∠ACB=12∵∠PBC=12∠ABC=35°，∠PCB=∠ACB-∠ACD=30°∴∠BPC=180°-∠PBC-∠PCB=180°-35°-30°=115°，选项C中结论正确.∵∠PBC=35°，∠A=40°，∴∠PBC≠∠A，选项D中结论错误.故选D.9.A∵BC平分∠ABF，∴∠ABC=∠FBC，∵BF∥AC，∴∠C=∠FBC，∴∠ABC=∠C，∴AC=AB，∵AD是△ABC的角平分线，∴DB=DC，AD⊥BC，②③正确；在△CDE和△BDF中，∠∴△CDE≌△BDF(ASA)，∴DE=DF，①正确；∵△CDE≌△BDF，∴BF=CE，∵AE=2BF，∴AB=AC=3BF，④正确.10.D延长ED交AC于F(图略)，∵DE∥BC，∴∠AFD=∠ACB=90°，∠DEH=∠B，∴DF⊥AC.∵AD平分∠BAC，CH⊥AB，DF⊥AC，∴DF=DH.在△CDF和△EDH中，∠∴△CDF≌△EDH(ASA)，∴CD=ED.11.B因为AC=8，AE=4，所以EC=4=AE，如图，作点E关于直线AD的对称点M，易得点M在AB上，且MA=MB，连接CM交AD于F，连接EF，则此时EF+CF的值最小.因为△ABC是等边三角形，所以∠ACB=60°，AC=BC，因为AM=BM，所以∠ECF=12∠12.B如图1，作AE⊥BC，垂足为E.因为AD是△ABC的中线，所以BD=DC，因为S△ABD=12BD·AE，S△ACD=12CD·所以S△ABD=S△ACD，①正确.如图2，延长AD到点M，使得DM=AD，连接BM.因为BD=DC，∠ADC=∠MDB，所以△ADC≌△MDB(SAS)，所以AC=MB，因为AM<AB+MB，所以12AM<12所以AD<12(AB+AC)，②如图3，作CG⊥AD，垂足为G，BF⊥AD，交AD的延长线于F，所以∠BFD=∠CGD，因为BD=DC，∠BDF=∠CDG，所以△BFD≌△CGD(AAS)，所以BF=CG，因为S△ABP=12AP·BF，S△ACP=12AP·CG，所以S△ABP=S△ACP，如图4，因为DP=DQ，∠ADB=∠QDC，DB=DC，所以△PBD≌△QCD(SAS)，所以∠BPQ=∠CQP，所以PB∥QC，当点P在点Q下方时，同理可证PB∥QC，所以④正确.故选B. 图1 图2 图3 图4二、填空题13.502解析根据③知密码里不含有8，6，9，∴①中只有0正确，且位置正确，∵②中有两个号码正确且位置不正确，∴2和5数字正确，且位置不正确，∴该密码里含有2，5，0三个数字，顺序为502.14.56解析如图，∵四边形ABCD为长方形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB=68°，由作图痕迹得AE平分∠DAC，∴∠EAC=12∠DAC=12由作图痕迹得EH垂直平分线段AC，∴∠AHE=90°，∴∠AEH=90°-∠EAH=56°，∴∠α=∠AEH=56°.15.1解析如图，延长BD，交AC于点E，因为∠A=∠ABD，所以BE=AE.因为BD⊥CD，所以∠BDC=∠EDC=90°.因为CD平分∠ACB，所以∠BCD=∠ECD.在△CBD与△CED中，∠所以△CBD≌△CED(ASA)，所以EC=BC=3，BD=ED=12因为AE=AC-EC=5-3=2，所以BE=AE=2，所以BD=1216.30解析连接BE，如图，因为AB=AC，AD平分∠BAC，所以AD⊥BC且BD=CD，所以AD垂直平分BC，因为点E是AD上一动点，所以BE=CE，所以∠EBC=∠ECB.因为△CEF是等边三角形，所以EC=EF，∠EFC=∠ECF=60°，所以BE=EF，所以∠EBF=∠EFB，所以∠ECB+∠EFB=∠CBF.因为∠CBF+∠BCF+∠BFC=180°，所以2∠CBF+60°+60°=180°，所以∠CBF=30°.17.①②④解析∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°.在Rt△ARP和Rt△ASP中，AP∴Rt△ARP≌Rt△ASP(HL)，∴AR=AS，①正确.∵△ARP≌△ASP，∴∠SAP=∠RAP.∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA.∴∠RAP=∠QPA，∴QP∥AR，②正确.在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR=PS，∠BRP=∠QSP=90°，不满足三角形全等的条件，③错误.∵PR=PS，∴点P在RS的垂直平分线上，∵AR=AS，∴点A在RS的垂直平分线上，∴AP垂直平分RS，④正确.三、解答题18.解析(1)此命题的条件为a=b，结论为|a|=|b|.(2)逆命题：如果|a|=|b|，那么a=b.(3)此命题的逆命题是假命题.当a=2，b=-2时，|2|=|-2|，但2≠-2.19.解析∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥BC，∠ACB+∠DAC=180°，∵∠DAC=120°，∴∠ACB=60°，又∵∠ACF=20°，∴∠FCB=∠ACB-∠ACF=40°，∵CE平分∠BCF，∴∠BCE=20°，∵EF∥BC，∴∠FEC=∠BCE=20°.20.解析(1)证明：在△ABC和△CDA中，AB所以△ABC≌△CDA(SSS).(2)如图，过点A作AE⊥BC于点E，因为∠B=30°，AB=2米，所以AE=12AB=1米所以S△ABC=12×3×1=32则S△CDA=32平方米所以草坪造型的面积为2×3221.解析如图，连接BC，∵∠BDC=140°，∴∠1+∠2=180°-∠BDC=40°.又∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠BGC=180°，∠BGC=110°，∴∠3+∠4=180°-40°-110°=30°.∵BG平分∠ABD，CG平分∠ACD，∴∠3=12∠ABD，∠4=12∠∴∠ABD+∠ACD=2(∠3+∠4)=60°，∴∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-(∠ABD+∠ACD+∠1+∠2)=180°-(60°+40°)=80°.22.证明如图，连接BD，因为△ABC是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=60°，因为D是AC的中点，所以∠DBC=12∠ABC=1因为CE=CD，所以∠CDE=∠E，因为∠ACB=∠CDE+∠E，所以∠CDE=∠E=30°，所以∠DBC=∠E=30°，所以BD=ED，所以△BDE为等腰三角形，又因为DM⊥BC，所以M是BE的中点.23.解析如图，过点A作AH⊥DE于H，因为CD=2，BD=3，所以BC=5.因为∠ACD=90°，所以AC⊥CD，因为DA平分∠CDE，所以AC=AH.在Rt△ADC和Rt△ADH中，AD所以Rt△ADC≌Rt△ADH(HL)，所以DH=CD=2.在Rt△ABC和Rt△AEH中，AB所以Rt△A