数学课后导练：距离

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后导练基础达标1.如右图，在斜三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，BC1⊥AC，则C1A.直线AB上B.直线BC上C。直线CA上D。△ABC内部答案：A2.下列命题中正确命题的个数为（）①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面A。0个B.1个C.2个D.3个答案:B3。如右图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°,M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么(）A.PA=PB＞PCB.PA=PB＜PCC。PA=PB=PCD.PA≠PB≠PC答案：C4。正方体ABCD—A1B1C1D1棱长为a，点M分的比为，N为B1B的中点，则｜|为…（)A.aB。aC。aD。a答案：A5。（2005全国高考卷Ⅲ，11）不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有（）A.3个B.4个C.6个D。7个答案：D6。如左下图，AB垂直于△BCD所在的平面，AC=，AD=，BC∶BD=3∶4，当△BCD的面积最大时，点A到直线CD的距离为______________.答案:7.如右上图，在Rt△ABC中，AF是斜边BC上的高线,且BD=DC=FC=1,则AC的长为_______.答案：8。已知ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，过点A、C、B1的平面与底面A1B1C1D答案：a9。在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=（1）求证：MN∥平面BB1C（2）求MN的长。答案：(1)证明:作MP∥AB,NQ∥AB分别交BB1、BC于P、Q，连结PQ。由作图可得PM∥QN，A1M=a,MB=3a，由，得PM=a，同理QN=a，∴PMQN,PQNM是平行四边形，MN∥PQ，PQ平面BB1C1∴MN∥平面BB1C(2）解:∵BP=PM=a,又BQ=a，在Rt△PBQ中,可求得PQ=a。∴MN=PQ=a.综合运用10.如右图,四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PD的中点,又二面角P-CD—B为45°。（1）求证：AF∥平面PEC；(2）求证：平面PEC⊥平面PCD；（3）设AD=2，CD=2，求点A到平面PEC的距离。答案:(1)证明：取PC的中点G,连结EG、FG.∵F是PD的中点，∴FG∥CD,且FG=CD。而AE∥CD，且AE=CD，∴EA∥GF，且EA=GF.故四边形EGFA是平行四边形，从而EG∥AF。又AF平面PEC，EG平面PEC，∴AF∥平面PEC。(2)证明：∵PA⊥平面ABCD,∴AD是PD在平面ABCD上的射影。又CD⊥AD，∴CD⊥PD,CD⊥AD，∠PDA就是二面角P—CD-B的平面角.∴∠ADP=45°,则AF⊥PD。又AF⊥CD，PD∩CD=D，∴AF⊥平面PCD.由(1），EG∥AF，∴EG⊥平面PCD.而EG平面PEC，∴平面PEC⊥平面PCD。(3)解析：过F作FH⊥PC交PC于H，又平面PEC⊥平面PCD,则FH⊥平面PEC，∴FH为点F到平面PEC的距离。而AF∥平面PEC，故FH等于点A到平面PEC的距离。在△PFH与△PCD中,∵∠FHP=∠CDP=90°,∠FPC为公共角,∴△PFH∽△PCD,=.∵AD=2,CD=2,PF=,PC==4，∴FH=·2=1。∴点A到平面PEC的距离为1.11。如右图，四棱锥P-ABCD的底面是边长为a的正方形，PA⊥底面ABCD，E为AB的中点，且PA=AB。(1）求证：平面PCE⊥平面PCD；（2）求点D到平面PCE的距离。答案：（1)证明：取PD的中点F,则AF⊥PD。∵CD⊥平面PAD，∴AF⊥CD。∴AF⊥平面PCD.取PC的中点G,连结EG、FG，可证AFGE为平行四边形，∴AF∥EG.∴EG⊥平面PCD。∵EG在平面PCE内，∴平面PCE⊥平面PCD。（2)解析：在平面PCD内，过点D作DH⊥PC于H。∵平面PCE⊥平面PCD，∴DH⊥平面PCE，即DH为点D到平面PCE的距离.在Rt△PAD中，PA=AD=a，PD=a.在Rt△PCD中，PD=a,CD=a,PC=a。∴DH=a.12.如下图,若正方体AC1的棱长为3，|CM|=2｜MA｜，｜BN|=2｜NC1｜，求线段MN的长。解析：如题图，∵|CM|=2|MA｜，∴可知，M（2，1，0)。同理可得N（1，3，2），∴｜MN|=3.13。如下图，在棱长均为2的正三棱柱中,建系如下图,M是正方形BCC1B1的中心,求AM的长。解析：由题意，A(0，—1，0），过M作MN⊥BC于点N,过N作NP⊥OC于点P，∵M是正方形BCC1B1的中心,∴N是BC的中点，P是OC的中点.∴|PN｜=|OB｜=.∴M(,，1）.∴｜AM|==2.拓展研究14。如右图，已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1,求AD1与A1解：设MN是AD1与A1B的公垂线段，N∈A1B,M∈AD1，设=i,=j，=k，以i，j，k为坐标向量建立空间直角坐标系.则=（—1,0，1），=（0,1，1）。设=t=(0，t，t),=λ =(-λ，0，λ）,有M（0,t，t）、N（1-λ，0，λ)。∴=(1-λ