中考数学复习：二次根式的化简求值（专项培优训练）（学生版+解析）

专题02二次根式的化简求值（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.55

姓名：班级：考号：

题号一二三总分

得分

评卷人得分

填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）

1.（2分）（2023春•芝景区期中）若x=2f-l,则代数式V+2x-3的值是.

2.（2分）（2023春•双鸭山期末）已知y=M-M，则*2尹x/=

3.（2分）（2022秋•新都区期末）如图，一只蚂蚁从点/沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点8

点A表示的数为-设点6所表示的数为m,则|-11+（加加）2=*45678.

AB

_1________I__i_J_______

-2-1012

4.（2分）（2022秋•隆回县期末）已知4=五+2，b二五-2,则"+b2+5=--------

5.（2分）（2022秋•渝中区校级期末）若1,6=我+1,则主q=.

6.（2分）（2023•锦江区校级开学）己知xM后+1，则代数式（x+1）?-4（x+1）+4的值为_______.

7.（2分）（2023春•涪城区期中）已知a+b=-4,a6=2,则代数式在+JE的值为

8.（2分）（2022秋•洛江区期末）若2x-1=J§,则V-x=.

9.（2分）（2022秋•港南区期末）已知实数a力满足JR+Ib-lI=0，则声的值

为.

10.（2分）（2022秋•虹口区校级月考）＜14-4J而的整数部分为a,小数部分为b,则,+二一

a+ba-b

11.（2分）（2021•新市区校级一模）已知必=1+6,/7=1-a，则代数式，7二^瓦■的值为

12.（2分）（2019秋•嘉定区期中）已知a,b是实数,且（41+a）（71+b2+/?）=1，问a,6之

间有怎样的关系：.

评卷人得分

二.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13.（2分）（2022秋•益阳期末）设炉，其中a=3,b=2,则〃的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

6为非零实数，则।a但所有可能的值为（）

14.（2分）（2022春•莘县期末）设a,

1a|b

A.±2B.土1或0C.±2或0D.±2或土1

15.（2分）（2023•安徽模拟）设a为怎7己-病7己的小数部分，6为倔冢方-府荻'的小数

部分.则2-工的值为（）

ba

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.V6-72-1D.V6+V2+I

16.（2分）（2022秋•武侯区校级期中）已知x=l+述，则代数式H-2X-6的值是（）

A.-2V5-8B.-10C.-2D.2^5

17.（2分）（2022秋•崇川区校级月考）当1+V2022时，多项式44-2025x-2022的值为（）

2

A.3B.-3C.1D.-1

18.（2分）（2020秋•崇川区校级月考）若/+/=1,贝！I，X2_2X+]+J4y2+4y+]+4xy_2x+y_2的值为

（）

A.0B.1C.2D.3

评卷人得分

三.简答题（共6小题，满分24分）

19.（4分）（2023•连山区校级开学）己知x=«+l,y=M-l,求下列各式的值:

®X-xy+y；

②三占

yx

20.（4分）（2023春•前郭县期末）已矢口@=2+加，b=2-氓.

(1)填空：a+b=,ab=

(2)求才-3a从9+(a+1)(Ml)的值.

21.（4分）（2023春•临沂期中）已知：x=«+匹,y=y[7-V5-求下列各式的值.

(1)/-xy^y\(2)三-工.

yx

22.（4分）（2023春•中山市期中）已知3=近+2,b=47-2,求下列代数式的值:

（1）才一2物2?；（2）才一火

23.（4分）（2022秋•道县期末）已知ai/EWLb=«-加.

（1）求助的值;（2）求才-9的值.

24.（4分）（2022秋•渠县期末）（1）计算：.

（2）已知x=J7+遥，尸仙-、后,求V-x广炉的值.

评卷人得分

三.解答题（共6小题，满分40分）

25.（6分）（2022秋•涟水县校级月考）数学张老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道:414…，

它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明

举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明

真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：

（1）述的小数部分是多少，请表示出来；

（2）a为灰的小数部分，6为的整数部分，求的值；

（3）已知8+V^=x+y,其中x是一个正整数，0＜了＜1,求的值.

25.（8分）（2023春•邛江区期末）定义：我们将（遍逃）与（右-五）称为一对“对偶式”，因为

-（Vb）2=a-b＞所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将（JIWb）和（VI-Vb冲的“一”去

掉，于是二次根式除法可以这样计算：如

2

空——（2+V2）=3+2V2-像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化

2-V2（2-V2）X（2^2）

去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

（1）对偶式2+\后与2-我之间的关系为

A.互为相反数H互为倒数C.绝对值相等，没有任何关系

（2）已知,y=」，求2J720的值;

V5-2V5+2Xy+Xy

（3）解方程：V24-x8-x=2（提不：利用"对偶式"相关知识，令“24-xW8-x=t）-

27.(6分)(2022秋•娄星区期末)在解决问题“已知2十「，求3aJ6a-1的值”时，小明是这样

V2-1

分析与解答的：

.._1V2+1伉、

,，下丁(1-1)(6+1)W2+上

a-l=V2>

(a-1)2=2,a-2a+l=2,

C.a-2a=1,

.,.3a2-6a-1=3(a2-2a)-1=3-1=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)化简：

3W7

(2)若求2a2-12K1的值.

a3+2=V2

28.(8分)(2022秋•惠民县校级期末)阅读下面问题:

1—1X(^7)=5

V2+1(V2+1)(V2-1)

1=_IX（«心_=M工.

门心电心电心KI，

试求：（1）求L1/=____________________;

V7+V6

（2）当〃为正整数时/1/=_______________________；

Vn+1Wn

（3）=1厂+l1L+",।/1/I/1/的值•

1W2V2+V3V3+V4V98+V99V99+V100

29.（6分）（2022春•邻水县期末）在解决问题“已知a=-j=L,求3a?-6a-1的值”时，小明是这样

V2-1

分析与解答的：

・•a=]=______+1_________=yfn+1

17TT（V2-i）（V2+i）"'

Aa-1=V2，

（a-1）2=2,a-2a+l=2.

:•吉-2a=l.

.*.3a2-6a=3,3a2-6a-1=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

若a———求2才-12a+l的值.

3-V7

30.（8分）（2022秋•南山区校级期中）小明在解决问题：已知a=—求2a。-8a+l的值.

2W3

他是这样分析与解的：•*=—_=——L=2-V3

2W3(2W3)(2W3)

，a-2=-V§,；.(a-2)2=3,a-4a+4=3

a-4a=-1,2a-8a+l=2(a2-4a)+1=2X(-1)+1=-1.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)化简一^—+二］「+「］「+…I/1/

V3+1V5+V3V7W5V121W119

(2)若a=—=^——,①求43-82H的值；@a-3#+乃+1=

V2-1

专题02二次根式的化简求值（专项培优训练）

试卷满分：100分考试时间：120分钟难度系数：0.55

填空题（共12小题，满分24分，每小题2分）

1.（2分）（2023春•芝聚区期中）若x=2百-1,则代数式3的值是

解：•.3=2«-1,

：.x+l=2y/3,

'.x+2x-3=（x+1）2-4=（2>\/*§）2-4=12-4=8.

故答案为：8.

2.（2分）（2023春•双鸭山期末）已知y=M-近,则*»+/=」我_.

解：原式=xy（x+y）=（V3+V2）（V3-V2）X2百=2%.

故答案为：2我.

3.（2分）（2022秋•新都区期末）如图，一只蚂蚁从点/沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点8,

点/表示的数为设点6所表示的数为处则4-11+（加亚）2=亚+3.

AB

-1_•^-1----1_Z—i----L^

-2-1012

解：•••从点/沿数轴向右沿直线爬行2个单位长度到达点昆点力表示的数为-加,

.,.点8所表示的数为m=-V2+2,

'.\m-11+（加）2

=I-V2+2-1|+（-V2+2+V2）2

=V2-1+4

=V2+3.

故答案为：V2+3.

4.（2分）（2022秋•隆回县期末）已知aS+2，b=V6-2）则、/&2叱21=5.

解：当@=&+2,6=%-2时，

原式=4G后+2）2+（泥-2"+5

=yj6+4\^6+4+6-4V6+4+5

=V25

=5.

故答案为：5.

5.（2分）（2022秋•渝中区校级期末）若@=源-1,6=正+1,则2卡=4.

解：,:a=M-1,6=«+1,

/.a+A=2V3，aZ>=3-1=2,

2

.ba（273）-2X2.4

ab2

故答案为：4.

6.（2分）（2023•锦江区校级开学）已知x=«+l，则代数式（x+1）2-4（x+1）+4的值为5

W：vx=V5+l>

（x+1）2-4（x+1）+4

=（x+1-2）2

=（x-1）2

=（A/S+I-1）2

=（V?）2

=5.

故答案为：5.

7.（2分）（2023春•涪城区期中）已知a+6=-4,a6=2,则代数式但的值为」

_VabVab

lbIIaT

a+b=-4,ab=2,

a<0,6V0,

.•.原式二近海~.（a+b）=,返工2=2近,

-b-aab2

故答案为：2近.

8.（2分）（2022秋•洛江区期末）若2x-1=仃，则f-x=1

一2

解：•；2X-1=E，

（2x-1）2=3

.,.4/-4x+l=3

.'.4（/-x）=2

.*./-x=—

2

故答案为：—

2

、6满足仁亚+Ib-lI=0,则的值为—近一

9.（2分）（2022秋•港南区期末）已知实数a

Va3

解：•・•实数/6满足心互+lb-l1=0，

:・a-3=0,b-1=0,

a=3,6=1,

.b_1_V3

..五一五一守‘

故答案为：近.

3

10.（2分）（2022秋•虹口区校级月考）“14-4的整数部分为a,小数部分为6,则」二—=

a+ba-b

行+3

3-

解：由114-4

又3<近5<4,

.*.0<V10-3<b

,•W14-4五5的整数部分为a,小数部分为6,则a=l,Z）=V10-3.

2

1-19+6V10'

_VlQ+3

故答案为：叵”.

3

11.（2分）（2021•新市区校级一模）已知0=1+&,n=”近，则代数式｛m2上与一31m的值为3

解：Vffl=l+V2>n=一近,

—）2=（1+V2+1-V2）2=22=4,

mn(I+V2)X(I-&)=1-2=-1,

in+n-3/nn

=（研〃）2-2mn-3mn

=（加〃）2-5mn

=4-5义（-1）

=9,

Vm2+n2-3mn=V9=3.

故答案为：3.

12.（2分）（2019秋•嘉定区期中）已知a,6是实数，且（JiR+a）（Vl+b2+/,）=1＞问口，人之

间有怎样的关系：a+6=0.

解：：（Vl+a2+a）（Vl+b2+/?）=1,

等式的两边都乘以（1l+a2-，），得｛J+b2+b=yj]+a2-。①，

等式的两边都乘以（1l+b2-b）得q]+a2+a=4]+b2-力②，

2

①+②，得4l+b2+出/l+a2+a=11+b）-l+a-a,

整理，得2K26=0

所以a+b—0

故答案为：a+6=0

二.选择题（共6小题，满分12分，每小题2分）

13.（2分）（2022秋•益阳期末）设4，其中a=3,6=2,则〃的值为（）

A.2B.-2C.1D.-1

解：原式=，^义

=一好，

=1-\a\,

Va=3,6=2,

・••原式=1-3=-2.

故选：B,

14.（2分）（2022春•莘县期末）设a,6为非零实数，则一所有可能的值为（）

la|b

A.±2B.±1或0C.±2或0D・±2或±1

解：当〃>0,6>0时，原式=电+2~=2,

ab

当a>0,6<0时，原式=且+二k=o,

ab

当a<0,6>0时，原式=工-+2=0,

-ab

当aVO,6Vo时，原式=工-+3=-2,

-ab

综上所述，原式所有可能的值为±2或0,

故选：C.

15.（2分）（2023•安徽模拟）设a为正7而-J而三的小数部分，6为匹奇75-仇三西的小数

部分.则2-工的值为（）

ba

A.V6+V2-1B.V6-V2+1C.V6-V2-1D.V6+V2+1

解：,.，V3-K/5-V3-V5

_V5+1V5-1

W2V2-

=聘=①

,*.a的小数部分=-1；

vV6+3V3-V6-3V3

=112+6英|12-6爽

V~~2V~~2

_^(3W3)2_^(3-V3)2

_3+V33-V3

■72V2

=%，

的小数部分-2,

-2_12_1

baV6-2V2-1

_2（V6+2）_V2+1

6-4

=Vs+2-V2-i

-Vs-V2+i.

故选：B.

16.（2分）（2022秋•武侯区校级期中）已知x=l+遥，则代数式x?-2x-6的值是（）

A.-2V5-8B.-10C.-2D.275

解：；x=：L+代，

.'.X-1=V5>

：.x-2^-6

=（x-1）J7

=（V?）2-7

=5-7

=-2,

故选：c.

17.（2分）（2022秋•崇川区校级月考）当1W2U22时，多项式44-2025x-2022的值为（

x2

A.3B.-3C.1D.-1

解：v

X=W20221.

x2

.,.2x=l+j2022，

.*.4/-2025jr-2022

=（4/-2025）x-2022

=[（1+V2022）2-2025]x-2022

=（1+2022+2亚砺-2025）x-2022

=（-2+2V2022）x-2022

=2（-1+V2022）x」W2022_2022

2

（-1+V2022）X（1+V2022）-2022

=2022-1-2022

=-1,

故选：D.

18.(2分)(2020秋•崇川区校级月考)若V+/=i,则乃不二+九不获\而石彳工的值为

()

A.0B.1C.2D.3

解：•."卬=1,

-IWxWl,-

Vxy-2x+y-2=Vx(y-2)+(y-2)=V(x+1)(y-2),

x+l20,y-2<0,(x+1)(y-2)20,

.•・x+l=0,

/.x=-1,

...y=0,

・•・VX2-2X+1+V4y2+4y+lWxy-2x+y-2

=2+1+0

=3.

故选：D.

三.简答题(共6小题，满分24分)

19.(4分)(2023•连山区校级开学)已知x=J§+l,y=«-l,求下列各式的值：

®x-xy+y；

②三津.

yx

解：①•.•x=«+Ly=V3-b

，x+y=«+l+F-]=2百；

盯=(百+1)(«-1)=3-1=2,

•2.2

・・x-xy^y

=(x+y)2-3Ay

=(273)2-3X2

12-6

=6；

②由(1)知，x+尸F+1+F-1=2«；

xy=(V3+D(V3_1)=3-1=2,

•••怨

yx

xy

=(x+y)2-2xy

xy

_(2V3)2-2X2

~~2~

—12-4

~T~

=4.

20.(4分)(2023春•前郭县期末)已知@=2+加，b=2--,/6.

(1)填空：a+b=4,ab=-2；

(2)求aJ3a价方+(^1)(Ml)的值.

解：⑴*=2+&，6=2

ayb—(2+^6)+(2-—4,ab—(2+^/s)(2-y/~^))—4-6—-2,

故答案为：4；-2；

(2)a-+(a+1)(^+1)

=a-Zab^-lj+ab^a+b^-l

=界2aH甘-4a>a+Hl

=(a+Z?)2-

=42-4X(-2)+4+1

=16+8+4+1

=29.

21.(4分)(2023春•临沂期中)已知：y=J7-依.求下列各式的值.

(1)/-xy+y；

(2)A-X.

yx

解：⑴y=V7-V5.

・\x+尸(V7+V5)+(V7-V5)=2板,X-y=(V7+V5)-(V7-V5)=2日

xy=(W+V5)(V7_V5)=7-5=2,

-xy+y=(户y)2-3灯=28-6=22；

(2)g_工-x2_y2_(x+y)(x_y)_2A/7X_2.底

yxxyxy2

22.(4分)(2023春•中山市期中)己知a=J，+2,6=夜-2,求下列代数式的值：

(1)a-2alAk)；

(2)a-B.

解：Va=V7+2,A=V7-2,

：.a+b=y/7+2+47-2=2匹,

a-b=(V7+2)-(V7-2)=4,

(1)a-2ab吊

=Qa-b)2

=42

=16；

(2)a-B

=(a+6)Qa-b)

=25/7x4

=8行

23.(4分)(2022秋•道县期末)已知a=«W^，b=V3-72.

(1)求劭的值；

(2)求才-9的值.

(解：(1)a=V3+V2-b=V3-V2-

••♦

(2)解：•；a=«啦，b=V3-V2.

a-IJ=(a+6)(a-b)

=[(V3W2)+(V3-V2)][(V3W2)-(V3W2)]

=273X2V2

=4>/6.

24.(4分)(2022秋•渠县期末)(1)计算：.

(2)已知x=J7+遥，丫=5-娓,求_/-盯+炉的值.

解：⑴

=3+&-1-V2

=2；

⑵•・3=々+粕，y=V7-V5)

.".x-y=2y[^,xy=2,

・・・x2-xy.+y2

=(x-y)2+xy

=(275)2+2

=20+2

=22.

四.解答题(共6小题，满分40分)

25.(6分)(2022秋•涟水县校级月考)数学张老师在课堂上提出一个问题:“通过探究知道:衣比1.414…，

它是无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1,那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明

举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用祀-1来表示它的小数部分，张老师夸奖小明

真聪明，肯定了他的说法.现请你根据小明的说法解答：

(1)灰的小数部分是多少，请表示出来；

(2)a为灰的小数部分，6为'而的整数部分，求的值；

(3)已知8+V^=x+y,其中x是一个正整数，0<y<l,求的值.

解：⑴V4<5<9,

/.2<V5<3,

近的小数部分是病-2；

(2)由(1)知，a=V5-2-

V9<10<16,

3<V10<4,

b=3.

•••a+b-VTo=V5-2+3-\/7O=V5+1-V10；

(3)2<V5<3,

/.10<8^5<11,

'/8+V5=x+y,其中x是一个正整数，0<y<l,

x=10・

Vy=8+V5-10=V5-2.

=21.

26.（8分）（2023春叶口江区期末）定义：我们将（立巡）与（五-五）称为一对“对偶式”，因为

-（五）2=a-b，所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将WIWb）和（VI-Vb）中的“去

掉，于是二次根式除法可以这样计算：如2平£2/）2证.

像这样，通过分子、

2-V2（2-V2）X（2+V2）

分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化.

根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题：

（1）对偶式23与2-7§之间的关系为B

A.互为相反数h互为倒数C绝对值相等2没有任何关系

（2）已知求°的值;

y22

V5-2V5+2Xy+Xy

（3）解方程：V24-X-我三=2（提示：利用“对偶式”相关知识，令V24-X+7Fx=t）.

解：（1）:（2+73）（2-V3）=4-3=1,

；.2+«与2-向互为倒数，

故答案为：B；

V5+21

=疾+2,____―?________=V-2,

(V5-2)(V5+2)y=V5^2(旄+2)(遮-2)

jr+y=V5+2+,\/5"2=2>/5,

X-尸返+2-遥+2=4,

xy=(V5+2)(V5-2)=1

x-y=x-y=4=

x2y+xy2xy(x+y)2^55

(3)设“24-xW8-x=t，

VV24-x-V8^=2①，

(V24-x+V8-x)(V24-x-V8-x)=2%，

即24-x-8+x=2b

解得力=8,

・W24-x+悯行=8②，

①+②得，2*\/24-x—10,

即"24-x=5,

・・・24-x=25,

x=-1.

27.(6分)(2022秋•娄星区期末)在解决问题“已知求3aJ6a-1的值”时，小明是这样

V2-1

分析与解答的：

..1V2+IK、

1飞一1二(1一1)(&+1)

a-l=V2>

(a-1)=2,a-2a+l=2,

a-2a—1,

/.3a2-6a-1=3(a2-2a)-1=3-1=2.

请你根据小明的分析过程，解决如下问题：

(1)化简：――；

3W7

(2)若&=~~J，求2a2-12K1的值.

3+272

2(3+>/7)

(3^/7)(3W7)

-2(3+77)

9-7

=3+4；

(2)Va=—

3+2V2

3-2V2

(3+2V2)(3-2V2)

_3-272

9-8

=3-272；

a-3=-2A/2,

(a-3)2=8,BPa-6.3+9=8,

・••才-6a=-1,

：・2立-12a=-2,

贝！J2才-⑵+1=-2+1=-1.

28.（8分）（2022秋•惠民县校级期末）阅读下面问题:

1——加一]

V2+1(V2+1)(V2-1)'

1=——(通/)_=圾用.

M啦(如心酬心7372.

1IX浦蓊)r-r-

试求：(1)求L1L=_V7W^_；

V7+V6-

(2)当n为正整数时,A/n+1-Vn.

Vn+1+Vn

+-+

IWT号后'VTWT"V98W99+胸片面的值.

（1）"片'=（4烹四西）

故答案为：V?；

Vn+1-Vn

1=Vn+l-Vn»

Vn+l+Vn(Vn+1+Vn)(Vn+1-Vn)

故答案为：Vn+1-Vn；

卜

(3)]+1