人教版2024-2025学年七年级数学上册专项复习：图形规律问题（解析版）

专题4.3图形规律问题

♦典例分析

【典例11如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成.第1个图案中有3个点和1

个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，第

10个图案中，三角形的个数与点个数的和为.

△

OOO

△△△

OOOOOO

△△△△△△

OOOOOOOOO

第1个图案第2个图案第3个图案

【思路点拨】

本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第"个图案点和三角形的个数规律是解题关键.根据图案得

到第"个图案点的个数为3n个；三角形有变尹个，再求出第10个图案点的个数为30个；三角形有55个,

问题得解.

【解题过程】

解：由所给图案可得：

第1个图案点的个数为3x2-3=3个；三角形有1个；

第2个图案点的个数为3x3—3=6个；三角形有1+2=3个；

第3个图案点的个数为3x4—3=9个；三角形有1+2+3=6个;

所以第〃个图案点的个数为3(n+1)-3=3n个；三角形有1+2+3+…+n=等2个;

所以第10个图案点的个数为3x1。=30个；三角形有竽=55个,

所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为30+55=85个.

故答案为：85

♦学霸必刷

1.（23-24七年级上.陕西渭南.期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋

子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗，第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第w

个图案中有黑色棋子（）

•OOO•

•OO•O•OO•

•O•O•O•OO•O•…

O••OO••OOO••

••••••••••••

①②③

A.301颗B.304颗C.307颗D.310颗

2.（23-24九年级上•内蒙古呼和浩特•期中）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小

黑点.图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，按此规律图9中的小黑点个数为（）

图1图2图3图4

A.64B.67C.84D.87

3.（24-25七年级上•全国・课后作业）将一些相同的“。”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“。”的个

数，则第10个图中“。”的个数是（).

O

°OOOOO

O

O0000oOO

OOO

OO°°oOO

O

OO°°oOO

OO

°°oO

①②③④

A.90B.95C.100D.105

4.（23-24九年级下.重庆沙坪坝•开学考试）如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①

个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案

用了26个石子，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（）

A.45B.56C.58D.60

5.（2024九年级下•重庆・专题练习）下列图形都是由•按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个・，第

②个图中共有8个・，第③个图中共有13个・，第④个图中共有19个・，...，照此规律排列下去，则第10

个图形中•的个数为（）

①②③④

A.50B.53C.64D.76

6.（23-24七年级上•湖北襄阳•期末）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9

根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规

律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是（）

008COOO…

①②③④

A.104B.109C.123D.129

7.（23-24七年级上•江苏徐州•阶段练习）找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（）

A.2022B.3035C.3029D.3036

8.（23-24七年级上.福建宁德・期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左

上角标的数是（）

327611101514

48-----591613

第I个第2个第3个第4个

正方形正方形正方形正方形

A.2020B.2021C.2022D.2023

9.（23-24七年级上•江苏无锡•阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆

成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为的,第2幅图形中“•”的个数为。2,第2幅图形中“•”的个数为。3,

依次类推,

第1幅图

44924462

10.（23-24七年级上•福建漳州•阶段练习）汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟

片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上;

（1）每次只能移动1个碟片.

（2）较大的碟片不能放在较小的碟片上面.

如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动

到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的几个碟片移动到2号杆子上最少需要厮次，则念=（）

C.62次D.63次

11.（2024七年级上.全国.专题练习）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,

则第12个图案中共有小三角形的个数是

△△

△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△

n=1n=277=3〃=4

12.（23-24七年级上•广东深圳•期末）如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和

椅子，若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，则共需要这种长方形桌子张

dddd

DCD

DDDDDDDDDDDD

13.（2024七年级上.全国•专题练习）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①,

图①图②图③

（1）推测第4个图形中，正方形的个数为,周长为

（2）推测第ri个图形中，正方形的个数为,周长为；（都用含n的代数式表示）.

14.（24-25七年级上•全国•期中）如图，从原点4开始，以4B=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2

为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记

为第4个半圆；…按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为.（结果保留n）

15.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1〜20,小明先在1号箱子

中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：

①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球.

②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球.

③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球.他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有颗红球.

16.（23-24七年级上•浙江温州•期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1

号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转

一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，…，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，

如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记的=6；甲方第二轮发球时，小花站在a2号位置，...，这场比赛

甲方发了21轮球，则的+。2+的值为

发球区

17.（23-24七年级上•安徽•单元测试）观察下列图形中点的个数.

（1）图2中点的个数是；

（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第个图形；

（3）若按其规律再画下去，可以得到第〃个图形中所有点的个数为（用含〃的代数式表示）.

18.（23-24七年级上•北京通州•期末）现有一个长方形4BCD的宽为1,长为a（a>1）的纸片，先剪去一个

正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推,

如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出（与示意图不同）剪3

次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值.

BC

BBBB

111

ADAAAA

备用图备用图备用图备用图

a=l+L。

333a=a=a=a=

19.（24-25七年级上•全国•单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题:

（1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有

个点;

（2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？

（3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？

（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和

是多少？

20.(23-24七年级上•福建三明•期中)(1)观察下面的点阵图与等式的关系，并填空:

第1个点阵：

/。/=。+

1+3+1=12+22

第2个点阵:

1+3+5+3+1=.+,

1+3+5+74-5+3+1=.+

(2)观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式.

(3)根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值.

21.（24-25七年级上•全国・单元测试）将一张等边三角形纸片剪成四个大小、形状一样的小等边三角形（如

图所示），记为第一次操作，然后将其中右下角的等边三角形又按同样的方法剪成四小片，记为第二次操

作，若每次都把右下角的等边三角形按此方法剪成四小片，如此循环进行下去.

（1）如果剪n次共能得到个等边三角形.

（2）若原等边三角形的边长为1,设即表示第〃次所剪出的小等边三角形的边长，如的=|.

①试用含71的式子表示Q九=；

②计算

+a2+a34—an=.

22.（23-24六年级上.山东威海.期末）如图，将一张边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部

分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推.

（2）以下是甲，乙两位同学求S=+W+2+*+*的方法;

22Z2，2，2,2°

甲同学的方法：利用已给正方形图形求，S=l-s阴影;

乙同学的方法：S=|+京+套+盘+盘+段①

2S=I+-+4+4+4+4@

②一①即可.

根据两位同学的方法，你认为S=；

⑷计算:"或+套+*+...+康；

（5）请借助甲，乙同学的方法，分别求出:+专+*+*+…+4的值.

专题4.3图形规律问题

♦典例分析

【典例1】如图是一组有规律的图案，它由若干个大小相同的点和三角形组成.第1个图案中有3个点和1

个三角形，第2个图案中有6个点和3个三角形，第3个图案中有9个点和6个三角形，……依此规律，第

10个图案中，三角形的个数与点个数的和为.

△

OOO

△△△

OOOOOO

△△△△△△

OOoOOOOOO

第1个图案第2个图案第3个图案

【思路点拨】

本题考查了图形变化的规律，能根据图形得出第"个图案点和三角形的个数规律是解题关键.根据图案得

到第"个图案点的个数为3n个；三角形有变产个，再求出第10个图案点的个数为30个；三角形有55个,

问题得解.

【解题过程】

解：由所给图案可得：

第1个图案点的个数为3x2—3=3个；三角形有1个；

第2个图案点的个数为3x3—3=6个；三角形有1+2=3个；

第3个图案点的个数为3x4-3=9个；三角形有1+2+3=6个;

所以第〃个图案点的个数为3(n+1)-3=3n个；三角形有1+2+3+…+n=”罗个;

所以第10个图案点的个数为3xl0=30个；三角形有空=55个,

所以第10个图案中，三角形的个数与点个数的和为30+55=85个.

故答案为：85

♦学霸必刷

1.（23-24七年级上•陕西渭南•期末）用黑、白棋子按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有黑色棋

子7颗，第②个图案中有黑色棋子10颗,第③个图案中有黑色棋子13颗，依照此规律排列下去，则第

个图案中有黑色棋子（）

OOO•

OO•OOO•

•09O•09OOO•

O••OO••OOO

①②

A.301颗B.304颗C.307颗D.310颗

【思路点拨】

本题考查了图形的变化规律，根据已知图形得出规律“第〃个图形中黑色棋子的个数为35+1）+1”，找到

正确的规律是解题的关键.

【解题过程】

解：第一个图形中有2X3+1=7颗黑色棋子;

第二个图形中有3x3+1=10颗黑色棋子;

第三个图形中有4x3+1=13颗黑色棋子;

则第n个图形中黑色棋子的个数为3（n+1）+1,

.••第100个图形中黑色棋子的个数为3x101+1=304个,

故选：B.

2.（23-24九年级上•内蒙古呼和浩特•期中）下图是一组有规律的图案，图1中有4个小黑点，图2中有7个小

黑点.图3中有12个小黑点，图4中有19个小黑点，…，按此规律图9中的小黑点个数为（）

图1图2图3图4

A.64B.67C.84D.87

【思路点拨】

本题考查了图形的变化类问题，仔细观察图形，找到图形变化的规律，利用规律求解即可，解题的关键是

仔细观察图形并找到图形变化的规律.

【解题过程】

解：观察图形可知，

第一个图有3+I2=4个小黑点，

第二个图有3+22=7个小黑点，

第三个图有3+32=12个小黑点，

第四个图有3+42=19个小黑点，

故依此类推，第n个图有3+/个小黑点，

,第九个图有3+92=84个小黑点，

故选：C.

3.（24-25七年级上•全国•课后作业）将一些相同的“。”按如图所示的规律依次摆放，观察每个图中“。”的个

数，则第10个图中“。”的个数是（).

O

O

COOOOO

OOOOO

OOOOOO

OOOO

COOO

OOOO

OOOOO

OOOO

①②③④

A.90B.95C.100D.105

【思路点拨】

本题考查图形和数字类规律探究，根据前几个图形中“。”的个数得到变化规律，进而可求解.

【解题过程】

解:第1个图形中“。”的个数为5=5+1x0,

第2个图形中“。”的个数为7=5+2x1,

第3个图形中“。”的个数为11=5+3x2

第4个图形中“。”的个数为17=5+4x3,

依次类推，第力个图形中“。”的个数为5+n5-1）,

.,.第10个图形中“。”的个数为5+10x9=95,

故选：B.

4.（23-24九年级下•重庆沙坪坝•开学考试）如图，是某同学在沙滩上用石子摆成的“纸杯蛋糕”，其中第①

个图案用了5个石子，其中第②个图案用了11个石子，其中第③个图案用了18个石子，其中第④个图案

用了26个石子，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中石子的个数为（）

•••••

*

••••••

••••

••••

••••••••••••••

①②

A.45B.56C.58D.60

【思路点拨】

本题考查了图形的变化类.解决本题的关键是根据前四个图形的变化寻找规律.

根据图形的变化分别写出前四个图形中石子的个数，即可解答第7个图形中的石子数.

【解题过程】

解：观察图形的变化，可知，

第1个图案要用的石子数为；Si=1+1x4=5；

第2个图案要用的石子数为；$2=1+2+2x4=11；

第3个图案要用的石子数为；S3=14-2+3+3x4=江产+3x4=18；

第4个图案要用的石子数为；54=1+2+3+4+4X4=处券+4X4=26；

第7个"为正整数）图案要用的石子数为，^9+4x7=56.

故选：B.

5.（2024九年级下.重庆.专题练习）下列图形都是由•按照一定规律组成的，其中第①个图共有四个・，第

②个图中共有8个・，第③个图中共有13个・，第④个图中共有19个・，...，照此规律排列下去，则第10

个图形中•的个数为（）

①②③④

A.50B.53C.64D.76

【思路点拨】

本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是找出规律.

根据已知图形得出图n中点的个数为⑺+—(1+2+3+…+n-1),据此可得.

【解题过程】

解：因为图①中点的个数为4=22—0,

图②中点的个数为8=32—1,

图③中点的个数为13=42-(1+2),

图④中点的个数为19=52—(1+2+3),

■,,/

图n中点的个数为(n+1)2—(1+2+3+…+九-1),

所以图10中点的个数为11z一(1+2+3+…+9)=121-45=76,

故选：D.

6.(23-24七年级上•湖北襄阳•期末)用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9

根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，…，按此规

律排列下去，则第20个图案用的木棍根数是()

omcco0300…

①②③④

A.104B.109C.123D.129

【思路点拨】

根据前几个图形，发现每一个图形的木棍数都等于4加上图形位置序数的5的倍数，据此规律求解即可.

本题主要考查了图形的数字规律.根据图形，数出木棍数，数形结合找到规律是解决问题的关键.

【解题过程】

解：由图可知：

第1个图案用木棍，4+5=9(根)，

第2个图案用木棍，4+5X2=14（根），

第3个图案用木棍4+5x3=19（根），

第4个图案用木棍，4+5x4=24（根），

...第〃个图案用的木棍根数是,4+5n；

当n=20时，4+5x20=104.

故选：C.

7.（23-24七年级上•江苏徐州•阶段练习）找出图形变化的规律，则第2023个图形中黑色正方形的数量是（）

A.2022B.3035C.3029D.3036

【思路点拨】

本题考查了图形的规律变化类，根据图形的变化规律归纳出第ri个图形中黑色正方形的数量即可求解，通过

图形找到变化规律是解题的关键.

【解题过程】

解：根据图形变化规律可知：

第1个图形中黑色正方形的数量为2,

第2个图形中黑色正方形的数量为3,

第3个图形中黑色正方形的数量为5,

第4个图形中黑色正方形的数量为6,

.••当n为奇数时，黑色正方形的个数为九+詈,

当n为偶数时，黑色正方形的个数为兀+泉

.•.第2023个图形中黑色正方形的数量是2023+4箸=3035,

故选：B.

8.（23-24七年级上.福建宁德•期中）观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知第506个正方形的左

上角标的数是（）

第I个

正方形正方形正方形正H形

A.2020B.2021C.2022D.2023

【思路点拨】

观察图形可知每个正方形上标4个数，则有506X4=2024,即第506个正方形左下角的数是2024,从而可

求第506个正方形左上角的数.

【解题过程】

解：由题意可知每个正方形上标4个数，且所有图形标注的数字都是从右下角开始，沿逆时针依次标注四个

连续的且依次增大的正整数，且第一个图形右下角是从1开始标注，

.•.第506个正方形标注的最大数字是：506x4=2024,

即第506个正方形的左下角的数是2024,

.•.第506个正方形左上角的数是2024-1=2023.

故选：D.

9.（23-24七年级上.江苏无锡.阶段练习）如图所示，将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆

成下列图形，第1幅图形中“•”的个数为由,第2幅图形中“•”的个数为。2,第2幅图形中“•”的个数为

325

D.—

2244924462

【思路点拨】

本题主要考查图形的变化类，解题的关键是得出即=n5+2）及就万=之又G-.）.

【解题过程】

解：a1=3=1x3,

=8=2X4,

a3=15=3x5,。4=24=4x6,

an=n(ji+2)；

1

a20

1x3+2x4+3x5++20x22

1H------------------

22122

1650

-x-----

2462

325

462

故选:D.

10.(23-24七年级上•福建漳州•阶段练习)汉诺塔问题是指有三根杆子和套在杆子上的若干大小不等的碟

片，按下列规则，把碟片从一根杆子上全部移到另一根杆子上；

(1)每次只能移动1个碟片.

(2)较大的碟片不能放在较小的碟片上面.

如图所示，将1号杆子上所有碟片移到2号杆子上，3号杆可以作为过渡杆使用，称将碟片从一根杆子移动

到另一根杆子为移动一次，记将1号杆子上的几个碟片移动到2号杆子上最少需要与次，则&6=()

213

A.31次B.33次C.62次D.63次

【思路点拨】

本题考查了归纳推理、图形变化的规律问题.根据移动方法与规律发现，随着盘子数目的增多，都是分两

个阶段移动，用盘子数目减1的移动次数都移动到2柱，然后把最大的盘子移动到3柱，再用同样的次数

从2柱移动到3柱，从而完成，然后根据移动次数的数据找出总的规律求解即可.

【解题过程】

解：n=1时，an=1；

九=2时，小盘-3柱，大盘t2柱，小盘从3柱一2柱，完成，即g=3=2?—1；

九=3时，小盘->2柱，中盘->3柱，小盘从2柱->3柱，大盘-2柱，再用九=2的方法转移,

即&3=7=23—1,

以此类推，an=2兀-1,

=26—1=63.

故选：D.

11.（2024七年级上.全国.专题练习）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放,

则第12个图案中共有小三角形的个数是

△△

△△△△

△△△△△△

△△△△△△△△△△△△△△

M=1n=2〃=3〃=4

【思路点拨】

此题考查图形的变化规律，观察与比较每个图案相同点与不同点，得出后一个图案总是在与之相邻的前一

个图案基础上有规律地增加小三角形数，即在前一个图案的基础上增加比图案序号数多3个的小三角形数,

从而解决该题，解决本题的关键是找出图形之间的运算规律.

【详解】解：当n=l时，第1个图案的小三角形的个数是=2（个））.

当n=2时，第2个图案的小三角形的个数是=3+2=5（个）.

当几=3时，第3个图案的小三角形的个数是=3x2+2=8（个）.

当?2=4时，第4个图案的小三角形的个数是=3x3+2=11（个）.

以此类推，第n个图案的小三角形的个数是=3（n-l）+2=3n-l；

・•・第12个图案中共有小三角形的个数是3x12-1=35（个），

故答案为：35.

12.（23-24七年级上•广东深圳•期末）如图，一张长方形的桌子可坐6人，按照图中方式继续摆放桌子和

椅子，若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，则共需要这种长方形桌子___一__张

0DCDCD

【思路点拨】

本题考查了图形规律问题，根据图形得出2张桌子，3张桌子拼在一起可坐的人数，然后得出每多一张桌子

可多坐4人的规律，进而得出n张桌子拼在一起可坐（4n+2）人，再列方程解答即可.

【解题过程】

解：由图可知，

1张长方形桌子可坐6人，6=4x1+1,

2张桌子拼在一起可坐10人，10=4x2+2,

3张桌子拼在一起可坐14人，14=4x3+2,

以此类推，每多一张桌子可多坐4人，

所以，n张桌子拼在一起可坐（4几+2）人；

若拼成一张大桌子后，座位刚好可坐38人，可得：（4n+2）=38,

解得：n=9

故答案为：9

13.（2024七年级上.全国・专题练习）下面的图形是由边长为1的正方形按照某种规律排列而组成的，如图①,

图①图②图③

（1）推测第4个图形中，正方形的个数为,周长为；

（2）推测第几个图形中，正方形的个数为,周长为；（都用含n的代数式表示）.

【思路点拨】

（1）依次数出n=l,2,3,4时正方形的个数，算出图形的周长；

（2）根据规律以此类推，可得出第n个图形中，正方形的个数为及周长；

本题考查了根据图示寻找规律，读懂题意，找出规律是解题的关键.

【解题过程】

解：（1）因为九=1时，正方形有8个，即8=5x1+3,周长是18,即18=10x1+8,

n=2时，正方形有13个，即13=5x2+3,周长是28,即28=10x2+8,

几=3时，正方形有18个，即18=5x3+3,周长是38,即38=10x3+8,

n=4时，正方形有23个，即23=5x4+3,周长是48,即48=10x4+8,

故答案为：①23；②48；

（2）解：由（1）总结可得，第n个图形时，正方形有（5n+3）个，周长是10n+8,

故答案为：③5n+3,④lOn+8.

14.（24-25七年级上•全国•期中）如图，从原点4开始，以力B=1为直径画半圆，记为第1个半圆；以BC=2

为直径画半圆，记为第2个半圆；以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆；以DE=8为直径画半圆，记

为第4个半圆；…按此规律，继续画半圆，则第7个半圆的面积为.（结果保留n）

【思路点拨】

本题以图形作为背景考查数字变化规律，根据已知得出第n个半圆的直径为2时1是解题的关键.

先根据规律得出第n个半圆的直径为2吁】，再除以2得到半径，进而可求出第7个半圆的面积.

【解题过程】

解：根据已知可得出第n个半圆的直径为7t,

・・.第7个半圆的直径为：27T=26=64,半径为32,

第7个半圆的面积为：|xTTx322=512TT,

故答案为：512TT.

15.（2024•湖南长沙•模拟预测）如图，圆桌周围有20个箱子，按顺时针方向编号1〜20,小明先在1号箱子

中丢入一颗红球，然后沿着圆桌按顺时针方向行走，每经过一个箱子丢一颗球，规则如下：

①若前一个箱子丢红球，则下一个箱子就丢绿球.

②若前一个箱子丢绿球，则下一个箱子就丢白球.

③若前一个箱子丢白球，则下一个箱子就丢红球.他沿着圆周走了2024圈，求4号箱内有颗红球.

【思路点拨】

本题考查了图形的变化规律，根据题意先找到各个红球都在那个箱内，然后找到哪一圈会在4号箱内丢红球,

从而得到规律即可求解，根据题意找到变化规律是解题的关键.

【解题过程】

解：根据题意可知,

第1圈红球在1、4,7,10,13,16,19号箱内,

第2圈红球在2、5、8、11,14,17,20号箱内,

第3圈红球在3、6、9、12,15、18号箱内,

第4圈红球在1、4、7、10、13.16、19号箱内,

.•.第1、4,7、10…2023圈会在4号箱内丢一颗红球，

V（2023-1）4-3=674,

二红球颗数为674颗，

故答案为：674.

16.（23-24七年级上.浙江温州•期中）排球比赛时，甲方6名队员开始站位如图所示，比赛开始由甲方1

号位的选手发球，再轮到甲方选手发球时是第二轮发球，此时甲方全体队员按顺时针方向转一个位置（转

一圈），即1号位的队员到6号位置，6号位到5号位，…，此时2号位队员到1号位置发球，以此类推，

如果甲方选手小花开场时站在6号位置，记的=6；甲方第二轮发球时，小花站在a2号位置，…，这场比赛

甲方发了21轮球，则a1+a?+…+a21的值为.

乙

球网

甲

【思路点拨】

此题主要考查了图形的变化规律，根据题意列举发现发球轮数与所占位置的规律是解题关键.分别列举出

发球与所占位置的规律，进而得出两者之间的数字规律进而得出答案.

【解题过程】

解：小花上场时，站在6号位置，第1轮发球时，站在⑥号位置，则的=6；

第2轮发球时，站在⑤号位置，则。2=5；

第3轮发球时，站在④号位置，则。3=4；

第4轮发球时，站在③号位置，则。4=3；

第5轮发球时，站在②号位置，则。5=2；

第6轮发球时，站在①号位置，则。6=1；

第7轮发球时，站在⑥号位置，则。7=6；

第8轮发球时，站在⑤号位置，则。8=5；

由此可得，每6轮重复出现相应的位置上，

•••21+6=3……3,6+5+4+3+2+1=21,

•••«21=4

•,*0]++…+

=6+5+4+3+2+1+6+…+6+5+4

=21X3+6+5+4

=63+15

=78.

故答案为：78

17.（23-24七年级上•安徽•单元测试）观察下列图形中点的个数.

图I图2图3

（1）图2中点的个数是；

（2）若按其规律再画下去，如果图形中有36个点，那它是第个图形；

（3）若按其规律再画下去，可以得到第“个图形中所有点的个数为（用含力的代数式表示）.

【思路点拨】

此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题.

(1)图2中点的个数为：1+3+5=9;

(2)由第1个图形中点的个数为：1+3=4=22,第2个图形中点的个数为：1+3+5=9=32,第3

个图形中点的个数为：1+3+5+7=16=42,得出第〃个图形中点的个数为：1+3+5++(2九+1)=

(n+1/，进一步得出36=(5+也就是第5个图形；

(3)利用(2)中的规律得出答案即可.

【解题过程】

(1)解：图2中点的个数是：1+3+5=9,

故答案为：9；

(2)解：第1个图形中点的个数为：1+3=4=22,

第2个图形中点的个数为：1+3+5=9=32,

第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16=42,

...第w个图形中点的个数为:

1+3+5+…+(2建+1)=O+1尸,

A36=(5+I)2,

是第5个图形，

故答案为：5；

(3)解：第"个图形中点的个数为:

1+3+5++(2n+1)=(n+l)2.

故答案为：(n+l)2.

18.(23-24七年级上.北京通州.期末)现有一个长方形A8CD的宽为1,长为a(a〉1)的纸片，先剪去一个

正方形，余下一个长方形，在余下的长方形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个长方形……，依此类推,

如图是剪3次后余下的长方形恰好是正方形的其中一种示意图及相应a的值，请画出(与示意图不同)剪3

次后余下的长方形恰好是正方形的示意图，并写出相应a的值.

BC

BB

11111

।

।

AaDAAAA

.115备用图备用图备用图备用图

a=14—F—=—

333a=a=a=a=

【思路点拨】

a有四个值：当a=4时，三个最大的正方形边长都为1,余下的正方形边长为1；当a=|时，第一个和第二

个正方形边长都为1,第三个正方形边长为也余下的正方形边长为a当a=|时，第一个正方形边长为1,

第二个正方形边长为|,第三个正方形边长为右余下的正方形边长为|；当&=决寸，第一个正方形边长为1,

第二个和第三个正方形边长都为（余下的正方形边长为

【解题过程】

解：①如图,

19.（24-25七年级上•全国•单元测试）观察如图所示的图形，回答下列问题:

（1）图中的点被线段隔开分成四层，第一层有1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有

个点；

（2）如果要你继续画下去，那么第五层有多少个点？

（3）某一层有77个点，你知道这是第几层吗？

（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和是多少？前四层的和是多少？根据你的推测，前十二层的和

是多少？

【思路点拨】

本题考查了图形类规律探索，正确得出规律是解此题的关键.

(1)由图形即可得出答案；

(2)由题意得出规律：第九层有(2n-1)个点，由此计算即可得解；

(3)由(2)可得，第n层有(2n—l)个点，令2n—l=77,计算即可得解；

(4)分别计算出第一层与第二层的和，前三层的和、前四层的和，得出规律前n层的和是"，即可得解.

【解题过程】

(1)解：由图可得：第四层有7个点；

(2)解：:,第一层有1=2x1-1个点，

第二层有3=2x2-1个点，

第三层有5=2x3-1个点，

第四层有7=2x4—1个点，

...,

.,•第n层有(2n-l)个点，

...第五层有2x5—1=9个点；

(3)解：由(2)可得，第九层有(2n-1)个点，

令2?1—1=77,

解得：n=39,

...某一层有77个点，这是第39层；

(4)解：第一层与第二层的和是：1+3=4=22,

前三层的和是：1+3+5=9=32；

前四层的和是：1+3+5+7=16=42；

...9

故前n层的和是：n2,

.♦.前十二层的和是：122=144.

20.(23-24七年级上•福建三明•期中)(1)观察下面的点阵图与等式的关系，并填空：

第1个点阵：

/O/=04-

1+3+1=12+22

第2个点阵:

O

O+•••

1+3+5+3+1=.+,

第3个点阵:

/O/O/O/OOO

/O/O/Q/OOO+

/O/Q/Q/OOO

1+3+5+7+5+34-1=.+

（2）观察猜想，写出第n个点阵相对应的等式.

(3)根据以上猜想，求出1+3+5+…+199+201+199+…+5+3+1的值.

【思路点拨】

（1）根据点阵图即可求解;

（2）根据（1）中的3个等式得出规律，进而写出第九个点阵相对应的等式;

（3）根据（2）中得出的规律，进行计算即可.

【解题过程】

解：(1)由图可得：1+3+5+3+1=22+32,1+3+5+7+5+3+1=32+42,

故答案为：22,32,32,42；

（2）•••第1个点阵:

。/=O+

1+3+1=M+22

第2个点阵:

OO

OO+•••

•••1+34-5+3+1=22+32

第3个点阵:

/O/O/O/O

=oOO+

OO

，%%%1+3+5+7+5+3+1=32+42

••・第九个点阵相对应的等式为：

1+3+5+■■■+(2n-1)+(2n+1)+(2n-1)+-••+5+3+1=n2+(n+I)2；

(3)由(2)可得：

1+3+5+…+(2n-