人教版中考数学专项复习：有理数混合运算的八种技巧（解析版）

专题L7有理数混合运算的八种技巧

【人教版】

►题型梳理

【技巧1巧用凑整法计算】.......................................................................।

【技巧2运用拆项法计算】......................................................................2

【技巧3巧妙组合法计算】......................................................................4

【技巧4相互转化法计算】......................................................................6

【技巧5裂项相消法计算】......................................................................8

【技巧6巧用分配律计算】.....................................................................11

【技巧7巧用倒数法计算】.....................................................................13

【技巧8变形相加法计算】.....................................................................16

＞举一反三

【技巧1巧用凑整法计算】

【例1】（重庆市20232024学年七年级上学期期末数学试题）计算：

1Q2

-87.21+53--12.78+43—；

2121

【答案】-3

【分析】原式交换再结合后，相加即可得到结果；

【详解】解：-87.21+53^-12.78+43^-

/192\

=（-87.21-12.78）+俨五+43元）

=-100+97

=-3；

【点睛】此题考查了有理数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键.

【变式11］（2023秋•黑龙江齐齐哈尔•七年级校联考期中）计算：

13

3——1——2

65

【答案】-4

【分析】先去括号，计算同分母加减法，再计算；

【详解】解:31-l|-4|-f+15

655\6/

1321

36-15_45-16

1132

=36-16~1—+4—

55

=2-6

=—4；

【点睛】此题考查了有理数的加减计算，正确掌握有理数计算法则是解题的关键.

【变式12](2023秋•七年级单元测试)计算：

2+(+5)+(-+(+1.125)+(+

【答案】5

【分析】先根据去括号法则去括号，再根据加法交换律和结合律简便计算即可；

【详解】解：(―2：)+(+5)+(―3目+(+1.125)+(+4?)

/1\11

=(-2—)+5—3—+1.125+4—

\8/22

=1\((~281\)+181]1+5-[321~4211]

=-1+5+1

=5；

【点睛】本题考查有理数的加法运算，掌握各运算法则是解题关键.

【变式13】(2023秋•广西崇左•七年级校考阶段练习)计算：

0.125+3—+(-3—+(-0.25)；

【答案】0

【分析】根据有理数加法的简便计算法则求解即可；

【详解】解：原式=(0.125-33+(3:0.25)

=-3+3

=0；

【点睛】有理数的加法计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

【技巧2运用拆项法计算】

【例2】(2023秋•全国•七年级期末)阅读下面的计算过程，体会“拆项法”

计算:-51+(-9|)+17|+(-31)

解：原式=(一5-9+17-3)+(-1-1+；-=。+(一0)=一0

启发应用，用上面的方法完成下列计算：(―34)+(―11)+(2()

【答案】—4卷

【分析】将原式利用“拆项法”得出原式=(—3—1+2—2)+(-V一]+|),再根据有理数的加减运算

法则计算可得.

【详解】解：(-3日+(一吟)+2,-(2。

【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算，理解题干中的“拆项法”是解题关键.

【变式21】(2023秋・山东德州•七年级校考阶段练习)计算：(―51)+(—9|)+(17习+(—3目

【答案】原式=[(—5)+(-1)]+[(-9)+(-0]+[(17)+6)]+[(-3)+(-0]

=[(-5)+(-9)+(17)+(-3)]+[(-()+(-1)+(|)+(-1)]

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键.

【变式22】(2023秋・山东济宁•七年级统考期中)计算：

(-20211)+(-2020|)+40421+(-1|)

【答案】-g

【分析】将-2021:、-2020：、40421、-1济分，然后再运用简便方法进行计算即可.

【详解】解:原式=[(-2021)+(-3)]+[(—2020)+(—。]+(4042+：)+卜1+(—T)]

52+21\

=(-2021-2020+4042-1)+

4

3

【点睛】本题考查有理数的运算及方法拓展，解题关键是看懂题目，并根据题目所给示例进行正确拆分.

【变式23】(2023秋・山东德州•七年级校考阶段练习)计算：

(1)(+35^)+(-231)；

(2)(-2018|)+(-2017|)+(-1目+4036.

【答案】⑴12(

(2)-2

【分析】(1)依据“拆项法”计算即可;

(2)依据“拆项法”计算即可.

【详解】(1)(+359+(-233

=(35)+0+[(一23)+(一就

=〔(35)+(-23)]+[6)+(一[

(2)(一20181)+(-2017|)+(-1目+4036

2018)+(-+(—2017)+(—§)]+[(一1)+(—')]+4036

=[(-2018)+(-2017)+(-1)+4036]+[(-1)+(一|)+(—1)]

=0+(—2)

=—2.

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，掌握题目给出的“拆项法”是解答本题的关键.

【技巧3巧妙组合法计算】

[例3](2023秋・全国•七年级期末)计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-2019-2020

值为()

A.0B.-1C.2020D.2020

【答案】D

【分析】根据加法的结合律四个四个一组结合起来，每一组的和都等于4,共505组，计算即可.

【详解】解：1+234+5+678+9+101112+...+2017+201820192020

=(1+234)+(5+678)+(9+101112)+...+(2017+201820192020)

=(4)+(4)+(4)+(4)+...+(4)

=(4)*505

=2020.

故选D.

【点睛】本题考查了有理数的加减混合运算，观察出规律是解题的关键.

【变式31](2023秋•河南洛阳•七年级统考期末)计算1+2-3-4+5+6-7-8+…+2017+2018-

2019—2020+2021的值为()

A.1B.0C.2021D.-2021

【答案】A

【分析】从第二项开始，利用加法的结合律每相邻两项结合相加，结果依次为一1和1循环，而其和为0,

且共有1010个0,最后可求得和的值.

【详解】1+2-3-4+5+6-7-8+---+2017+2018-2019-2020+2021

=1+(2-3)+(-4+5)+(6-7)+(-8+9)+…+(2018-2019)+(-2020+2021)

=1-1+1—1+1+——1+1

=1+(-1+1)+(-1+1)+---+(-1+1)

1010个(-1+1)

=1

故选：A

【点睛】本题考查了有理数的加减运算及加法的结合律，关键是运用加法的结合律，抓住相邻两项的和为1

或一1的特点，从而问题得以解决.

【变式32](2023•全国•七年级专题练习)1一3-5+7+9—11—13+15+…+2009-2011-2013+

2015=.

【答案】0

【分析】通过观察，每四项结合在一起，每一项结果为0,然后将原式利用加法结合律进行计算.

【详解】原式=(1-3-5+7)+(9-11-13+15)+-■■+(2009-2011-2013+2015)

=0,

故填：o.

【点睛】本题考查了加法中的巧算问题，熟练应用加法结合律是关键.

【变式33](2023•全国•七年级专题练习)计算：1一2-3+4+5-6-7+8+....+2020+2021结果

为.

【答案】2021

【分析】根据运算式子归纳类推出一般规律，由此即可得.

【详解】观察式子可知，1—2—3+4=0,

5-6-7H-8=0,

归纳类推得：从第1个数开始，每4个数的运算结果都等于0,

•••505x4+1=2021,

1—2—3+4+5—6—7+8+.…+2020+2021,

=(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+....+(2017-2018—2019+2020)+2021,

=505X0+2021,

=2021,

故答案为：2021.

【点睛】本题考查了有理数加减混合运算的规律性问题，正确归纳出一般规律是解题关键.

【技巧4相互转化法计算】

【例4】(2023春・上海•七年级上海市进才实验中学校考期中)(-0.375)

【答案】一"

64

【分析】先统一成分数，再算乘除即可.

【详解】原式=(-9x*g=4x|x*一||.

【点睛】本题考查有理数的乘除混合运算，熟记运算法则是解题的关键.

【变式41】(2023•全国•七年级假期作业)计算：

(1)(-3)((-0)x0.75+(-Dx(-6)；

⑵(-9)*(--上义(-10)；

【答案】(1)18

(2)-5

【分析】根据有理数的加减乘除混合运算法则及运算顺序计算即可得到答案.

【详解】(1)解：(—3)+1：)x0.75+X(-6)

437

=3x-x-x-x6

743

=18；

(2)解：X(-0.1)+6X(-10)

=-Qx^x25X10)

=—5；

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数加减乘除的运算法则及运算顺序是解决问题的关键.

【变式42](2023秋•贵州铜仁•七年级校考阶段练习)乘除计算：

1

1.25+(-0.5)+(—2—)x1

【答案】1

【详解】1.25+(-0.5)+(—2()x1

个(-2)x(令1

=1；

【点睛】本题考查的是有理数的乘除混合运算，按照从左至右的运算顺序进行计算与乘法分配律的应用是解

本题的关键.

【变式43】(2023秋•全国•七年级期末)计算：

”(Y)x(T2.5)x(一§；

【答案】-60

【分析】根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】原式=8x(-x(-128)x(-§

34

=-8x12.5x-x—■

45

=-60.

【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键.

【技巧5裂项相消法计算】

【例5】（2023秋•七年级课时练习）阅读下列材料:

计算.+---1---

1x22x33x42021x2022

解：原式=1一-1+9-1+•••+表一施=1一施=卷

这种求和方法称为“裂项相消法”，请你参照此法计算：上+22+…+

Z—13—14—11（J（J—1

【卷案】14949

【口茶」10100

【分析】先计算分母，再根据“裂项相消法”计算可得答案.

【详解】解：号;+言+言+…+/T

2222

:—I----1-------F...H-------

38159999

」+二+3++_^

1x32x43x599x101

―1111111

=1-------1-------------1--------+...H---------------

3243599101

=1+:占一・

14949

10100

故答案为：黑

【点睛】此题考查了有理数混合运算，正确理解题意掌握解题的方法是解此题的关键.

【变式51】（2023秋•内蒙古鄂尔多斯•七年级校考期中）计算:

(1忌+++*+*=

⑵计算+-^―+-^―++--1---------------

'71x22x33x44x52020x2021

【答案】联

Q篇

【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可;

（2）结合（1）中的计算方法求解即可.

【详解】（1）解：根据题意得:

1111

Ix2+2x3+3x4+4x5

11111111

=---------1----------1----------1---------

12233445

1

=1-5

_4

一5?

故答案为：g

(2)—+—+—+—+•••H-------------

1x22x33x44x52020x2021

_1111111111

=------------------------------------------r--------------------

1223344520202021

1

=1----------

2021

_2020

—2021,

【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键.

【变式52](2023秋・山东淄博•七年级统考期中)计算：义+3；

1XZZXoJX4XoU

1111I

(3)--——I——-——I——-——I——-——I---1----------------

''-1x3-3x5-5x7-7x9-2021x2023,

【答案Ml唠

GI。1】

（）2023

【分析】（1）,把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算;

（2）先变形,再把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可.

【详解】（1）

+!」+工_工++2_____1

2233499100

=1一卷

99

100；

⑵表+短+*+，+…

1011

2023

【变式53】(2023秋•广东佛山•七年级校考阶段练习)阅读第①小题计算方法，再类比计算第②小题.

⑴①一5,9§+17升(—3；)

解：原式=[(-5)+(-1)]+[(-9)+(-1)]+(17+|)+[(-3)+(-1)]

=[(-5)+(-9)+17+(-3)]+[(-|)+(-|)+|+(-1)]

=0+

上面这种方法叫做拆项法.

②计算：(—2022g+(-20221^)+(-10+4045.

(2)①一表=卜|，「今="$一…，上面这种方法叫做裂项法.

②计算：(1—*)x(1

_/)x…义

【答案】(1)②一2(2)②"

4044

【分析】(1)②仿照前面解法求解即可.

(2)②仿照前面解法求解即可.

【详解】(1)②(-2022g+(-2022§+(-+4045

=[(-2022)+(-1c).]+[(-2022)+(-|2)]+[(-1)+(~|1)]+4045

=[(-2022)+(-2022)+(-1)+4045]+[(-1S)+(-12)+(-71)]

=0+(—2)

=-2.

⑵②因为1一强=兴|,l-/=|x$1一*=*x*

w#1324352020202220212023

以JM^Xj:=-X—X—X—X—X—…X-------X--------X--------X--------

2233442021202120222022

120232023

:-X------

220224044

【点睛】本题考查了有理数的特殊运算，熟练掌握运算方法是解题的关键.

【技巧6巧用分配律计算】

【例6】(2023秋•广东惠州•七年级校考阶段练习)计算：一24-24xU—：+》.

\364/

【答案】-22

【分析】先根据有理数乘方运算和乘法分配律的乘法运算，再加减运算即可求解.

【详解】解：—24—24xQ

\3o4/

/153\

―16-24X--24X-+24X-

=-16-(8-20+18)

=—16—6

=-22.

【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答的关键，灵活运用运算律进行简

便计算.

【变式61】(2023春•浙江衢州•七年级校考阶段练习)计算题，要求写出具体计算过程：

(1诒义(-9)+看*(-18)+春；

(2)(-6)2xg-|)-23；

【答案】⑴-14

(2)-14

【分析】(1)利用乘法分配律合并计算；

(2)先算乘方和括号内的，再算乘法，最后算减法；

【详解】⑴看x(—9)+/义(-18)+看

7

=^x(—9—18+1)

7

=—x(-26)

=-14；

(2)(—6)2x0|)一23

=36x(1-1)-8

12

=36x——36x——8

23

=18-24-8

=—14；

【点睛】此题考查了有理数的混合运算，有理数的混合运算首先弄清运算顺序，先乘方，再乘除，最后算加

减，有括号先算括号里边的，同级运算从左到右依次进行计算，然后利用各自运算法则计算，有时可以利

用运算律来简化运算.

【变式62】(2023秋•内蒙古巴彦淖尔•七年级统考期末)⑴-9啜X198

【答案】-19798

【分析】利用乘法分配律计算即可；

【详解】原式=(-100+£)x198

1

=-100x198+一x198

99

=一19800+2

=一19798；

【点睛】本题考查有理数的混合运算，注意利用乘法分配律进行简算是解题的关键，也需要注意有理数混合

运算的运算顺序.

【变式63】(2023春・上海宝山•七年级校考阶段练习)计算下列各题：

(1)(-24)x(-|+1-^)；

⑵(-S'l)x(-2)+(-5.6)x7-4x(-5卷)；

【答案】⑴13

⑵-59

【分析】(1)根据有理数乘法分配律求解即可；

(2)根据有理数四则混合计算法则求解即可；

【详解】(1)解：原式=(―24)x(-亮)+(―24)x'+(-24)x(―七)

=20-9+2

=13

(2)解：原式=(-5-|^X(―2+7—4)

=(-23*5l)xl

=-

【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键.

【技巧7巧用倒数法计算】

【例7】(2023春•黑龙江哈尔滨•七年级统考期中)阅读下面材料，然后回答问题.

计算(一9)+6一方+A2,

解法一:

原式=(一卷)号-(一京)，[+(--)+>(一-)小

1111

=-----1-------1---

203512

_1

~6

解法二：

原式=(-4)+[(泊)+岛-。〕

==-x5

30

_1

~~6

解法三：原式的倒数为(|一亲+A0+(-*)

2112

=-x(-30)--x(-30)+-x(-30)--x(-30)

31Uo5

=-20+3-5+12

=-10

故原式=一卷

(1)上述得出的结果各不同，肯定有错误的解法，但是三种解法中有一种解法是正确的，请问：正确的解法

是解法;

(2)根据材料所给的正确方法，计算：(-2)+C-得+1

【答案】⑴三

【分析】(1)根据除法运算法则，正负号变化规则，倒数的定义和乘法运算法则判断即可；

(2)根据解法三，先求倒数，将除法化为乘法，再求倒数即可；

【详解】⑴解:解法一中原式(一/)十|

将除数(I-a+3-1)分开计算是错误的；

解法二中原式=(-£)+[(|-£)+岛-1)]是错误的，将除数结合后应为原式=(-£)+(^+

济

解法三中先化为倒数，再将除法转化为乘法，利用乘法分配律计算后再求倒数是正确的；

故正确解法是三；

(2)解：解：原式的倒数为(，—卷+：—+(―专)

1322

=1x(-42)——X(—42)+—x(—42)——x(—42)

61437

=-7+9-28+12

=-14

故原式=一5；

【点睛】本题考查了有理数的乘除运算法则，利用一个非零数的倒数的倒数是自身是解题关键.

【变式71](2023•江苏•七年级假期作业)计算：(一劫+：一3+卷一?)

【答案】5

【分析】根据题意的算法进行运算，即可求得结果.

【详解】解：原式的倒数是(―[—g+弓—g)+(―《)

1293\、

——-+---------x(-20)

45102/v)

=5+8-18+30

二25

故原式=套

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解题意，正确运算是解决本题的关键.

【变式72］（2023秋・重庆垫江•七年级统考期末）计算：（一白++

o4o12

【答案】一|

【分析】可以先求出所求式子的倒数的结果，然后再写出所求式子的结果即可.

【详解】原式的倒数为：（1J—（+白）+（-3）

4o1Zo

787878

4I718I7）12I7，

2

=-2+1+（--）

_5

一3’

'8，、481275

【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

【变式73］（2023秋•河南南阳•七年级统考期中）数学老师布置了一道思考题“计算”:（一

小华的解法：（-/G_沪_a十（_如।=_抬一.

大白的解法：原式的倒数为《一|）+（-七）...............第一步

=（；Y）x（T2）...................................第二步

=-4+10........................................................第三步

=6..................................................................第四步

所以（一白+（11）

反以两位同学的解法，请你回答下列问题：

（1）两位问学的解法中，同学的解答正确；

（2）大白解法中，第二步到第三步的运算依据是.

(3)用一种你喜欢的方法计算：(一£)+