数学课后训练：二面角及其度量

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精课后训练1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中,AB＝AA1，则AC1与平面BB1C1C所成角的正弦值为(）A．B．C．D．2．AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC和平面α所成的角为(）A．90°B．60°C．45°D．30°3．一个二面角的两个面分别平行于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（）A．相等B．互补C．关系无法确定D．相等或互补4．在边长为a的正三角形ABC中,AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B－AD－C后，，这时二面角B－AD－C的大小为(）A．30°B．45°C．60°D．90°5．过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA,则面APB和面CDP所成二面角的度数是(）A．90°B．60°C．45°D．30°6．已知直线l的方向向量v＝（1,－1，－2)，平面α的法向量u＝(－2，－1，1），则l与α的夹角为__________．7．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成的角为__________．8．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P－BC－A的大小为__________．9．在三棱锥P－ABC中，侧面PAC与底面ABC垂直，PA＝PB＝PC＝3，,求AC与平面PBC所成角的大小．10．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在线段AB，AD上，AE＝EB＝AF＝FD＝4。沿直线EF将△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF，求二面角A′－FD－C的余弦值．

参考答案1.答案：C设BC中点为D，则AD⊥平面BB1C1C，故∠AC1D就是AC1与平面BB1C1C所成的角．在Rt△ADC1中，AD＝AB,AC1＝AB,所以sin∠AC1D＝＝。2.答案：C设AC和平面α所成的角为θ，则cos60°＝cosθcos45°，故cosθ＝,所以θ＝45°.3。答案：D4.答案：C∠BDC就是二面角B－AD－C的平面角．∵cos∠BDC＝，∴∠BDC＝60°。5.答案:C∠APD就是面APB和面CDP所成二面角的平面角．6.答案：30°cos〈v,u〉＝,∴sinθ＝(θ为l与α的夹角)．7.答案：45°作CD⊥α于D，连DA，DB，DM,∠CAD＝30°,CD＝AC,CM＝AM＝AC，sin∠CMD＝，故∠CMD＝45°.8.答案：90°设BC中点为D,则PD⊥BC，AD⊥BC，∠PDA就是二面角P－BC－A的平面角．9.答案：分析:本题可以建立适当坐标系，利用直线的方向向量与平面的法向量的夹角来求．解：由题意PA＝PB＝PC，点P在△ABC内的射影为△ABC的外心，即点P在△ABC内的射影O到点A，B，C的距离相等，又面PAC⊥面ABC，∴O为AC的中点，由直角三角形中的性质可知：∠ABC＝90°,以O为原点,，，为轴,建立空间直角坐标系Oxyz，则P（0,0,），B（,0,0)，C(0，，0）,A(0，，0）．设n＝（x，y,z）为面PBC的法向量，可求得n＝（,，2)，＝（0，，0）．设AC与平面PBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos<n，〉｜＝，∴θ＝30°.∴AC与平面PBC所成角的大小为30°。10。答案：分析：本题可以建立适当坐标系，利用平面的法向量来求；也可作出二面角的平面角来求．解:解法一:取线段EF的中点H,连A′H,因为A′E＝A′F及H是EF的中点，所以A′H⊥EF。又因为平面A′EF⊥平面BEF，及A′H平面A′EF，所以A′H⊥平面BEF。如图建立空间直角坐标系Axyz，则A′（2,2，），C（10，8,0)，F（4，0，0)，D（10，0，0）．故＝（－2，2，），＝(6，0，0)．设n＝（x，y,z)为平面A′FD的一个法向量，所以取,则n＝(0，－2,)．又平面BEF的一个法向量m＝（0，0,1),故cos<n，m〉＝。所以二面角A′－DF－C的余弦值为。解法二：取线段EF的中点H，AF的中点G，连A′G，A′H，GH.因为A′E＝A′F及H是EF的中点,所以A′H⊥EF.又因为平面A′EF⊥平面BEF，所以A′H⊥平面BEF.又AF平面BEF,故A′H⊥AF。又因为G，H是AF,EF的中点，易