苏科版九年级数学上册压轴题：圆周角（原卷版+解析）

专题06圆周角压轴题五种模型全攻略

聚焦考点

考点一圆周角概念辨析考点二同弧或等弧所对的圆周角相等

考点三直径所对的圆周角是直角,考点四90°的圆周角所对的弦是直径

考点五圆内接四边形对角互补

..............・・・・・，

典型例题

*■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■■（*

考点一圆周角概念辨析

例题：（2022•山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（）

【变式训练】

1.（2022•广东•九年级专题练习）下列说法正确的是（）

4等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心

2.（2022・福建厦门•九年级期末）如图，0ABe内接于圆，弦8。交AC于点尸，连接AD下列角中，AB所

对圆周角的是（）

A.EIAPBB.SABDC.SACBD.SBAC

3.（2021•全国•九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周角？

考点二同弧或等弧所对的圆周角相等

例题:（2022•广西贵港・中考真题）如图,回。是的外接圆，AC是团。的直径，点尸在国。上，若=

则ZBPC的度数是（)

B.45°C.50°D.55°

【变式训练】

1.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图,是。。的两条半径，点。在。。上，若NAQB=80。，则NC的

度数为（

B.40°C.50°D.60°

2.（2022•四川广安•二模）如图，四边形A5CD的外接圆为回O,BC=CD,回。AC=36。，妫CD=44。，则

的度数为（)

A.55°B.64°C.65°D.70°

3.（2022•广东•乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，A3是。。的直径，点。在。。上，且AC的长是

5。长的2倍，N4cB的平分线8交。。于点。，则NCBD的度数为（)

B.95°C.100°D.105°

考点三直径所对的圆周角是直角

例题：（2022•广西梧州•二模）如图，AB.CD分别是团。的直径，连接5。、BD,如果弦且团CDE

62°,则下列结论错误的是（)

A.C斑BDB.团CR4=31°C.AC=AED.BD=DE

【变式训练】

1.（2022・湖北十堰三模）如图，AB是回。的直径，C是回。上一点，。是A3另一侧半圆的中点，若C£）=3啦,

BC=4,贝峋。的半径长为（）

A.y/5B.2石C.VTTD.2而

2.（2022•安徽芜湖•二模）如图，正方形ABC。内接于团O,边长BC=#,尸为弧上一点且AP=1,则

PC=.

3.（2022•吉林长春•模拟预测）如图，在。。中，弦8与直径A3相交于点E,连接OC、AD,BD.若

AD=ED,NB=20°，则ZBOC的大小为度.

考点四90°的圆周角所对的弦是直径

例题：（2021•全国•九年级课时练习）如图，00的弦A3垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,则O。的半径

等于（）

C.V15D.4

【变式训练】

1.（2022•江西吉安•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,P为矩形内一点，ZAPB=90°,

连接尸r>,则的最小值为（）

72761

A.8B.2721C.10

61

2.（2022.江苏徐州.模拟预测）如图,2通42c中,0ABe=90°,AB=6,BC=5,P是0ABe内部的一个动点,

且满足aR43=aP8C,则线段CP长的最小值为.

考点五圆内接四边形对角互补

例题：（2022糊南娄底,模拟预测）如图，点2,C,。在回。上，若N3CD=130。，则ZBOD的度数是（）

C.70°D.100°

【变式训练】

1.（2022・新疆・乌鲁木齐八一中学九年级期中）在。。中，四边形OABC为菱形，点。在4wC上，则/ADC

的度数是（）

4.30°B.45°C.60°D.75°

2.（2022・福建厦门•模拟预测）如图，四边形ABCD是回。的内接四边形，点E为边上任意一点（不与点

C,点。重合），连接BE,若0A=6O。，贝崛8即的度数可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

课后训练

一、选择题

1.（2022•山东威海•九年级期末）如图，点A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，贝帼。（）

2.（2022,山西•中考真题）如图，△ABC内接于。O,是。。的直径，若N3=20。，则ACAD的度数是（）

A.60°B.65°C.70°D.75°

3.（2022•浙江丽水•三模）如图，A,B,C,。四个点均在。。上，AO//DC,BO//AD,若ZAC®=70。,

则的度数为（）

C.20°D.25°

4.（2022•内蒙古包头•中考真题）如图，A8,CD是。。的两条直径，E是劣弧BC的中点，连接BC,DE.若

ZABC=22°,则NCDE的度数为（)

A.22°B.32°C.34°D.44°

5.（2022•辽宁・沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，2。是。。的直径，弦AC交8。于点G.连接OC,

若NCQD=126。，AB=AD<则NAG3的度数为（）

B.103°C.108°D.113°

二、填空题

6.（2022•湖南邵阳•三模）如图，AB为团。的直径，C,。为回。上的两点，若/ABD=54。，贝物C的度数为

7.（2022•浙江湖州,中考真题）如图，已知A8是回。的弦，0AOB=12O°,OC0AB,垂足为C,OC的延长线

交回。于点D若明尸。是AD所对的圆周角，则她尸。的度数是.

D

8.（2022•安徽宿州•模拟预测）如图，。。是RtZXABC的外接圆，=90°,ZBAC的平分线交。。于点

D,NABC的平分线交A。于点E,连接8。，若。。的直径是后，则。E的长为.

9.（2022,陕西咸阳•九年级期中）如图，在菱形A8C。中，BC=6,ZC=120°,点E是射线CD上一点，

连接2E,点尸在BE上，连接AP,若/BAP=NCBE,则人钻尸面积的最大值为.

10.（2022•陕西西安工业大学附中三模）如图，在四边形A8C。中，AB=8,BC=6,SB=60。，国C=120。，点。、

E分别是48、的中点，OH0BC于点H,点P是边BC上的一点，连接。P,将AOH尸沿着OP所在直线

翻折，点》的对应点为女，当厅E取最小值时边8的长为.

三、解答题

11.（2022・广东・中考真题）如图，四边形ABCD内接于。O,AC为。。的直径，ZADB=ZCDB.

⑴试判断AABC的形状，并给出证明；

（2）^-AB=A/2>AD=1>求CD的长度.

12.(2022•辽宁沈阳二模)如图，四边形ABCO内接于回O,。是弧AC的中点，延长8C到点E,使CE=M,

连接80,ED.

⑴求证：BD=ED；

⑵若NABC=60。，AD=5,回。的直径长为.

13.(2021•江苏•扬州市江都区双沟中学一模)如图，四边形A8CD内接于回。，AB=AC,8。交AC于点E,

延长A。，8C交于点R且CF=AC.

⑴求证eia)=A。；

(2)若&£)=』，AB=2也,求阳的长.

14.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试)如图，/18、8为0。的弦，45与C。相交

于点E,AD=BC-

⑴如图1,求证：BE=DE；

(2)如图2,点尸在BC上，连接。尸、AD,若DF为直径，AB±CD,求证：ZADF=45°;

⑶如图3,在（2）的条件下，连接CP、BF,BF>CF,若。E=8,△3CF的面积为6,求的长.

15.（2022•黑龙江•哈尔滨市风华中学校模拟预测）如图,△ABC内接于圆。，高A。、CE相交于点延长

（2）如图2,连接CO,求证：NBCO=NHCA；

（3）如图3,在（2）的条件下，延长CO交圆。于点N,连接GN、DE,若NG=2DE=2M,CD=1,求

DH的长.

专题06圆周角压轴题五种模型全攻略

FT'

考点一圆周角概念辨析考点二同弧或等弧所对的圆周角

相等

考点三直径所对的圆周角是直角，考点四90°的圆周角所对的弦是直

径

考点五圆内接四边形对角互补

...........

典型例题

^.1111...........,・/■

考点一圆周角概念辨析

例题：（2022•山西实验中学九年级阶段练习）下列图形中的角是圆周角的是（）

A.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆周角的定义（角的顶点在圆上，并且角的两边与圆相交的角叫做圆周角）判断即可.

【详解】

解：根据圆周角的定义可知，选项A中的角是圆周角.

故选：A.

【点睛】

本题考查圆周角的定义，解题的关键是理解圆周角的定义，属于中考基础题.

1.（2022•广东•九年级专题练习）下列说法正确的是（）

A.等弧所对的圆周角相等B.平分弦的直径垂直于弦

C.相等的圆心角所对的弧相等D.过弦的中点的直线必过圆心

【答案】A

【解析】

【分析】

根据圆周角定理，垂径定理的推论，圆心角、弧、弦的关系，对称轴的定义逐项排查即可.

【详解】

解：A同弧或等弧所对的圆周角相等，所以A选项正确；

A平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，所以8选项错误；

C、在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所以C选项错误；

D圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以。选项错误.

故选A

【点睛】

本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系,轴对称图形，垂径定理，圆周角定理等知识点.灵

活运用相关知识成为解答本题的关键.

2.（2022•福建厦门•九年级期末）如图，EABC内接于圆，弦2D交AC于点P,连接AZX下

列角中，AB所对圆周角的是（）

A.EIAPBB.EL4BDC.0ACBD.SBAC

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意可直接进行求解.

【详解】

解：由图可知：.所对圆周角的是0AC8或HADB,

故选C.

【点睛】

本题主要考查圆周角的定义，熟练掌握圆周角是解题的关键.

3.（2021,全国•九年级专题练习）观察下图中角的顶点与两边有何特征？指出哪些角是圆周

角？

【答案】特征见解析，©图中国3、回4、aBAD是圆周角

【解析】

【详解】

解：他）机顶点在回。内，两边与圆相交，所以回1不是圆周角；

⑸回2顶点在圆外，两边与圆相交，所以回2不是圆周角；

（c）图中133、04、EIBA。的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以团3、的、回胡。是圆周角.

⑷回5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以回5不是圆周角；

（e）回6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知团6不是圆周角.

【点睛】

本题主要考查了圆周角的定义，熟练掌握顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角

是解题的关键.

考点二同弧或等弧所对的圆周角相等

例题：（2022・广西贵港•中考真题）如图，回。是AABC的外接圆，AC是回。的直径，点P在

回。上，若Z4CB=4O。，则NBPC的度数是（）

B.45°C.50°D.55°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆周角定理得到NABC=90。，NBPC=ZA,然后利用互余计算出0A的度数，从而得到

NBPC的度数.

【详解】

解：是回。的直径,

0ZABC=90°,

回NA=90°-ZACB=90°-40°=50°,

0ZBPC=ZA=5O°,

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理,解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,

都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90。的圆周角所

对的弦是直径.

1.（2022•贵州铜仁•中考真题）如图，0402是。。的两条半径，点C在O。上，若/4。3=80。,

则NC的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆周角定理即可求解.

【详解】

回OAOB是。O的两条半径，点C在。O上，ZA（9B=80°

SSC=-ZAOB=40"

2

故选：B

【点睛】

本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或者在等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等

于这条弧所对的圆心角的一半是解答本题关键.

2.（2022•四川广安•二模）如图，四边形ABC。的外接圆为回。，BC=CD,0Z）AC=36°,SACD

=44°,则0AD8的度数为（）

A.55°B.64°C.65°D.70°

【答案】B

【解析】

【分析】

利用圆心角、弧、弦的关系得到DC=8C，再利用圆周角定理得到&BACFD4c=36。，SABD

=0ACO=44。，然后根据三角形内角和计算0AD2的度数.

【详解】

解：！3BC=C。，

0DC=BC>

00ABD和HACD所对的弧都是AO，

00BAC=EDAC=36°,

:./BAD=ZBAC+ZDAC=72°,

aa4BD=EIACZ)=44°,

00ADB=18Oo-0BAD-0ABr)=180°-72o-44°=64°,

故选：B.

【点睛】

本题考查了圆周角定理和圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握圆周角定理是解决问题的关键.

3.（2022・广东・乳源瑶族自治县教师发展中心三模）如图，A3是。。的直径，点C在。。上，

且AC的长是BC长的2倍，ZACB的平分线交。。于点。，则NCBD的度数为（）

r

【答案】D

【解析】

【分析】

根据是回。的直径和AC的长是BC长的2倍，可以求得财8C的度数,再根据平分MCB,

可以得到0A8D的度数，然后即可计算出团的度数.

【详解】

0A8是回。的直径，

EEL4CB=90°,

0AC的长是长的2倍，AC的度数+BC的度数=180。，

团AC的度数为120。，BC的度数为60°

0BABC=6O°,1388=30°,

团8平分0ACB,

aSAC£）=45°,

aaABD=0AC£）=45°,

H3CB。=0ABC+0ABD=60°+45°=105°,

故选：D.

【点睛】

本题考查圆周角定理，解答本题的关键是求出EABC和的度数.

考点三直径所对的圆周角是直角

例题：（2022•广西梧州•二模）如图,A8、C£）分别是回O的直径，连接如果弦

且回C£»E=62。，则下列结论错误的是（

A.CB^\BDB.团C3A=31°C.AC=AED.BD=DE

【答案】D

【解析】

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角，即可判断4根据圆周角定理可判断8选项，根据圆周角与

弧的关系可判断C,根据/。。£W/。。5判断。选项.

【详解】

解：M3、CO分别是回。的直径，

:.ZCBD=9Q°,

故A选项正确，

如图，连接跖，

*/DE//AB,且团COE=62°,

ZBOD=ZCDE=62°,

/.ZBCD=-ZBOD=31°,

2

QOC=OB,

..ZCBO=ZBCO=31°f

ZAOC=62°f

・・・ZCBE=ZCDE=62°9

.\ZABC=ZABE=31°f

•・AC=AE^

故3,。选项正确，

・.,/BCD=31°,/CBD=90°,

.•.NBDC=59。,

・.・NCOS=62。，

.•.NCDEwNCDB,

••BDHDE,故。选项不正确,

故选D

【点睛】

本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，掌握圆周角定理是解题的关键.

【变式训练】

1.（2022・湖北十堰•三模）如图，AB是国。的直径，C是回。上一点，。是AB另一侧半圆的

中点，若CD=3亚,8c=4,贝幅。的半径长为（）

A.B.2石C.V1TD.2vH

【答案】A

【解析】

【分析】

连接A。，过点B作8E3CQ于点E,证明AAOB和AAOB都是等腰直角三角形，根据勾股定

理求解即可.

【详解】

解：连接AD,过点2作2E0CD于点£,

0AB是回。的直径，。是4B的中点,

函4QB=90°,AD=DB,

回AAOB是等腰直角三角形，

0I3A=EIABD=45°,

EBC=a4=45°,

回AEBC是等腰直角三角形，

0BC=4,

BEC-EB-2yf2,

EICD=3亚，

^DE=y/2,

^BD=^DE2+BE2=Vio>

在等腰直角4BDA中，AB=y/AD2+BD2=2小，

瓯。的半径长为石，

故选：A.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题.

2.（2022•安徽芜湖•二模）如图，正方形A8C。内接于回O,边长BC=逐，尸为弧上一点

S.AP=1,则PC=.

【答案】3

【解析】

【分析】

连接AC,易得AC为直径，在及AABC中利用勾股定理算出AC,再在氏AAC尸中利用勾股

定理算出PC.

【详解】

解：连接AC,•••四边形ABC。是正方形，

AB=AC=y/5,ZABC=90°,

AC是直径.

ZAPC=90°.

在咫AABC中，AC=NAB?+BC?=J（后+（后=回，

在MAAPC中，PC=7AC2-AP2=7（V10）2-l2=3.

故答案为：3.

【点睛】

本题考查了圆的内接正多边形，直径所对的圆周角的性质，解决本题的关键是熟记并灵活运

用"直径所对的圆周角是直角

3.（2022•吉林长春•模拟预测）如图，在。。中，弦CZ）与直径A3相交于点E,连接

OC.AD、BD.若AD=£D,/3=20。，则N3OC的大小为度.

【答案】100

【解析】

【分析】

由直径所对的圆周角是直角求出NA的度数，由等腰三角形的性质可求得，/⑦C,从而得

到/BDC的度数，再由同弧所对的圆心角是圆周角的两倍求出NBOC的度数.

【详解】

解：〈AB是直径，

ZADB=90°,

ZA=90°-ZB=70°,

,•*AD=DE，

，ZADC=180°-2ZA=40°,

ZBDC=90°-ZADC=50°,

・•.ZBOC=2ZBDC=100°.

故答案为：100.

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角与圆心角的关系，等腰三角形的性

质，解决本题的关键是熟练掌握圆相关性质.

考点四90°的圆周角所对的弦是直径

例题：（2021•全国•九年级课时练习）如图，O。的弦AB垂直于AC,AB=6cm,AC=4cm,

则。。的半径等于（）

C.亚D.4

【答案】A

【解析】

【分析】

首先连接BC,由。。的弦垂直于AC,即可得BC是直径，又由=AC=4cm,

根据勾股定理即可求得BC的长，则可求得。。的半径.

【详解】

解：连接8C,

ABLAC,

:.ZBAC=90°,

・•.BC是。o的直径，

,/AB=6cm,AC=4cm,

BC=y/AB2+AC2=2届（cm）,

二。。的半径为：厢cm.

故选：A.

【点睛】

此题考查了圆周角定理与勾股定理.此题难度不大，解题的关键是掌握90。的圆周角所对的

弦是直径定理的应用.

【变式训练】

1.（2022•江西吉安•一模）如图，在矩形ABCD中，AB=10,AD=12,尸为矩形内一点，

ZAPB=90°,连接PD,则尸D的最小值为（）

A.8B.2A/21C.10D.—

61

【答案】A

【解析】

【分析】

首先由题意可知：点P在以为直径的圆上，设圆心为点E,在圆E上任取一点凡连接

EF、DF、EP、PD,可知当点£、P、。在一条直线上时，PD最小，再根据三角形三边的关

系即可证得，最后根据勾股定理即可求即，据此即可求得.

【详解】

解：-.-ZAPB=90°

.•.点P在以48为直径的圆上，设圆心为点E

如图：在圆E上任取一点孔连接EF、DF、EP、PD

，当点E、P、。在一条直线上时，尸。最小

理由如下：

■.EF+DF>ED=EP+PD,EP=EF

.•.DRNPD（当且仅当点尸与点尸重合时取等号）

此时PD最小

点E是A8的中点，EP是圆的半径

AE=EP^-AB=5

2

在Rt/XAED中,ED=>]AE2+AD2=752+122=13

，PZ）=ED—EP=13—5=8

故PD的最小值为8

故选：A

【点睛】

本题考查了三角形三边的关系，最短距离问题，勾股定理，确定点尸的位置是解决本题的

关键.

2.（2022,江苏徐州•模拟预测）如图，MS48c中，0ABe=90。，AB=6,BC=5,尸是0ABe内

部的一个动点，且满足am庆apse,则线段CP长的最小值为.

A

【答案】V34-3##-3+V34

【解析】

【分析】

利用已知条件，可知回8必=90。，P点在以AB为直径的圆上，如图，。为圆心，连接。C,

OC与圆。的交点P,CP即为最小值，进行计算求值即可.

【详解】

解：aa48c=90°,^PAB^PBC,

00PBA+0PBC=9O°,EIPBA+EI抬8=90°,

03224=90°,

团尸点在以A3为直径的圆上，如图，。为圆心，连接OC,0C与圆。的交点P,CP即为最

小值

^\AB=6,

回O3=OP=3,

团3C=5,

回℃=yJOB2+BC2=A/32+52=A/34，

回（7产=后一3,

故答案为：A/34-3

【点睛】

本题考查的圆中几何问题的综合运用，掌握圆的基础性质，进行计算求值是解题的关键.

考点五圆内接四边形对角互补

例题：（2022•湖南娄底•模拟预测）如图，点2,C,。在回。上，若/3CD=130。，则

的度数是（）

A.50°B.60°C.70°D.100°

【答案】。

【解析】

【分析】

首先圆上取一点A,连接AB,AD,根据圆的内接四边形的性质，即可得aBAD+aBCD=180°,

即可求得SBA。的度数，再根据圆周角的性质，即可求得答案.

【详解】

解：圆上取一点A,连接AB,AD,

团点A、B,C,。在回。上，0BCD=130°,

03540+回BC£)=180°,

03540=50°,

00BOD=20BAD=1OO°.

故选：D.

【点睛】

此题考查了圆周角的性质与圆的内接四边形的性质.此题比较简单，解题的关键是注意数形

结合思想的应用，注意辅助线的作法.

【变式训练】

1.(2022•新疆•乌鲁木齐八一中学九年级期中)在。。中，四边形0ABe为菱形，点。在

上，则-45C的度数是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

设NADC=(z,则NAOC=2a,利用菱形性质可得NABC=NAOC=2cn再由圆内接四边

形的性质可知：ZADC+ZABC=180°,即可求出NADC.

【详解】

解：设Z4DC=(z,贝l]NAOC=2(z

回四边形0ABe为菱形，

团XABC=NAOC=2a,

回四边形A3。是圆的内接四边形，

EZADC+ZABC=180°,即3a=180°,

0«=60°,即Z/WC=60°.

故选：C

【点睛】

本题考查菱形的性质，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是找出

ZADC+ZABC=180°.

2.（2022,福建厦门•模拟预测）如图，四边形ABC。是回。的内接四边形，点E为边CD上任

意一点（不与点C,点。重合），连接BE,若S4=60。，则回8即的度数可以是（）.

A.110°B.115°C.120°D.125°

【答案】D

【解析】

【分析】

根据圆内接四边形对角互补，可求出团C的度数，然后利用三角形的外角可得团C,即

可解答.

【详解】

解：回四边形ABCD是回。的内接四边形，

ffilA+l3C=180°,

00A=6O°,

aac=i80°-a4=i20°,

00DEB是ADCE的一个外角，

E0D£B>0C,

瓯OEB的度数可能是：125。，

故选：D.

【点睛】

本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形对角互补是解题的关键.

课后训练

一、选择题

1.(2022•山东威海・九年级期末)如图，点A,B,C都在回。上，若ZACB=36。，贝腼

()

【答案】B

【解析】

【分析】

利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半得到财。8,再用等腰三角形的性质即

可得出结论.

【详解】

解：^ACB=~^AOB,0ACB=36°,

EHAOB=2x0AC2=72°.

^OA=OB,

回AOAB是等腰三角形，

0EIAOB+0OAB+0OBA=180°,

00OAB=y(180--a4(?B)=54°,

故选：B.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半解答是解

题的关键.

2.(2022•山西•中考真题)如图，AABC内接于。0,4。是。。的直径，若=20。，贝ij/C4D

的度数是（)

A.60°B.65°C.70°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】

首先连接由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可求得NACD=90。,

又由圆周角定理，可得ZD=ZB=20。，再用三角形内角和定理求得答案.

【详解】

解：连接CD

0A。是OO的直径，

SZACD=90°.

0ZD=ZB=2O°,

0ACAD=180°-90°-Z£）=108°-90°-20°=70°.

故选：C.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、三角形的内角和定理.熟练掌握圆周角定理是解此题的关键.

3.（2022•浙江丽水•三模）如图，A,B,C,。四个点均在。。上，AO//DC,BO//AD,

若ZAC®=70。，则E»B的度数为（）

B

A

Dt0

C

A.10°B.15°C.20°D.25°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接AB,由及4。8是等腰三角形，0AOB=7O°,求得I3OBA的度数，由30〃AD得至！］国。4。

的度数，由40〃。。得到财。(？的度数，四边形48C。是。。的内接四边形，由圆内接四边

形对角互补即可得到答案.

【详解】

解：连接48,

SOA=OB,

国及4。8是等腰三角形，

00OAB+0OBA+EL4OB=180°,0A08=70°,

(1800-a4OB)=55°,

S1BO//AD,

EEZMO=EAOB=70°,

ISAO//DC,

0E1A£)C=180°-EIZMO=180°—70°=110°,

0A,B,C,O四个点均在。。上，

回四边形ABC。是。。的内接四边形，

0EL4DC+0ABC=EIADC+0ABO+0OBC=180°,

E0OBC=1800-0ADC-EL4B0=150.

故选：B.

【点睛】

此题考查了圆内接四边形的性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，熟练掌

握圆内接四边形的性质是解题的关键.

4.（2022■内蒙古包头•中考真题）如图，AB,CD是。。的两条直径，E是劣弧的中点，

连接BC,DE.若/ABC=22。，则NCDE的度数为（）

A.22°B.32°C.34°D.44°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接由题意易得NOCB=NABC=22。，则有NCO3=136。，然后可得NCOE=68。,

进而根据圆周角定理可求解.

【详解】

解：连接。£,如图所示：

0OB=OC,/ABC=22°,

SZOCB=ZABC^22°,

0ZCOB=136°,

as是劣弧BC的中点，

0ZCOE=-ZCOB=68°,

2

0ZC£>E=-ZCO£=34°；

2

故选C

【点睛】

本题主要考查圆周角定理及垂径定理，熟练掌握圆周角定理及垂径定理是解题的关键.

5.（2022,辽宁•沈阳市第一二六中学模拟预测）如图，BD是。。的直径，弦AC交8。于点

G.连接。C,若NCOD=126。，AB=AD^则ZAG3的度数为（）

B

A.98°B.103°C.108°D.113°

【答案】C

【解析】

【分析】

先求出国COB的度数，由圆周角定理求出aBAC的度数，再根据弧、弦之间的关系求出

&42。=45。，即可得到答案.

【详解】

解：00C（9D=126°,

EHCOB=54°,

0ZBAC=-ZCOB=27°,

2

SB。是圆。的直径，

回配4。=90°,

回AB=AO，

^AB=AD,

00ABD=0ADB=45°,

0EL4GB=18O°-0BAG-0ABG=108°,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，等弧所对的弦相等，等腰直角三角

形的性质与判定，三角形内角和定理等等，熟知圆周角定理是解题的关键.

二、填空题

6.（2022・湖南邵阳•三模）如图，为回。的直径,C,。为回。上的两点，若NABD=54。，

则回C的度数为___________.

二D，

【答案】36°##36度

【解析】

【分析】

连接A。，由直径所对的圆周角是直角得妫。8=90。,即可求得SDA2的度数，由同圆中相等

的弧所对的圆周角相等即可得回C的度数.

【详解】

如图，连接4。.

0AB是直径,

mADB=90°.

团ZDAB=90°-ZABD=90°-54°=36°.

mC=^\DAB=36°.

故答案为：36。.

D

【点睛】

本题考查了直径所对的圆周角是直角、同圆中相等的弧所对的圆周角相等，掌握这两个知识

点是解题的关键.

7.（2022•浙江湖州•中考真题）如图，已知AB是回。的弦，0AOB=12O。，OCBAB,垂足为C,

0c的延长线交回。于点D若刻尸。是AO所对的圆周角，则的度数是.

D

【答案】30。##30度

【解析】

【分析】

根据垂径定理得出a4。8=02。。，进而求出她。£>=60。，再根据圆周角定理可得她尸。=：

0A00=30°.

【详解】

0OC13AB,。。为直径，

^BD^AD，

^S\AOB=SBOD,

国她02=120°,

00AOD=6OO,

回妫尸。=；&4。。=30°,

故答案为：30。.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、垂径定理等知识，掌握垂径定理是解答本题的关键.

8.（2022•安徽宿州•模拟预测）如图，。。是RtZXABC的外接圆，ZR4C=90°,ZBAC的平

分线交0。于点。，ZABC的平分线交于点E,连接8。，若0。的直径是直，则DE

的长为.

D

【答案】1

【解析】

【分析】

连接C。，根据A。、8E分别平分团BAC和0ABC,结合圆周角定理和三角形外角性质，得出

ZDBE=ZBED,根据直径所对的圆周角为90。，结合8O=CO,BC=y[l，利用勾股定理,

求出身T=],即可求出==I.

【详解】

解：连接。，如图所示：

EIAD平分I3BAC,

fflBA£)=0CA£),

@BD=CD，

SBD=CD,NCBD=NCAD=NBAD,

回BC为直径，且8C=0,

aasz)c=90°,

EB£>2+£>C2=BC2=(A/2)2=2,

0B£>2=1，

0BD=1,

IBBE平分她BC,

,SBABE^CBE,

0ZDBE=ZCBD+ZCBE,ZBED=ZABE+ZBAD,

SZDBE=ZBED,

^\DE=BD=1.

故答案为：1.

【点睛】

本题主要考查了角平分线的定义，圆周角定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，勾

股定理，作出辅助线，根据题意证明皿汨=/曲，是解题的关键.

9.(2022•陕西咸阳・九年级期中)如图，在菱形A3。中，BC=6,ZC=120°,点E是射

线CD上一点，连接BE,点尸在BE上，连接AP,若NBAP=NCBE,则AlBP面积的最

大值为.

【答案】3石

【解析】

【分析】

若要使ZVIBP的面积最大，底A3固定，故只要边上的高最大时，即三角形面积最大；

可证ZAPB=120°,故可知点尸在“尸8的外接圆的劣弧AB上，当点尸在劣弧4B的中点处，

△APB的面积最大，求出边上的高即可求解.

【详解】

解：回四边形ABC。是菱形，

a48=BC=6,ABHCD,

0ZABC+ZBC£>=18OO,

0ZC=120°,

13ZABC=60°,gpZABP+ZPBC=60°,

⑦NBAP=NCBE,

0ZABP+ZBAP=6O°,

aZAPB=180°-(ZABP+/BAP)=180°-60°=120°,

团点尸在在0APB的外接圆上，

若要使AWP的面积最大，底AB固定，ZAPS=120°,故只要48边上的高最大时，即三

角形面积最大；此时点P在劣弧A8的中点处，如图，

设点。为的外接圆的圆心，。国48于点死

0AF=-AB=3,ZAPF=-ZAPB=60°,

22

BlZPAF=30°,

由勾股定理得，AF2+PF2=AP2

E32+PF2=4PF2

0PF=V3

国^AAPB=；ABgPF=；x6xy/3=3A/3

即尸面积的最大值为36.

故答案为：3百.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，三角形的面积公式，解直角三角形，垂径定理等知识，正确作出辅

助圆，熟练掌握知识点是解题的关键.

10.（2022•陕西•西安工业大学附中三模）如图，在四边形ABC。中，AB=S,BC=6,0B=6O°,

回C=120。，点。、E分别是A3、CO的中点，。砸BC于点打，点尸是边BC上的一点，连接

OP,将△OHP沿着。尸所在直线翻折，点X的对应点为"，当"E取最小值时边CD的长

为.

【答案】2

【解析】

【分析】

根据题意，CD^AB,当。的48时，OE长最短；当0、H、E三点共线时，"E取得最小值,

过点C作0W2于点R利用含30度角的直角三角形的性质即可求解.

【详解】

解：038=60°,EC=120°,0CDEL4B,

国当。EL4B时，OE长最短；

根据折叠的性质，0H=0H，,

国点H'在以。为圆心，OH为半径的一段弧上，

当O、H'、E三点共线时，"E取得最小值，如图，

过点。作于点R

回四边形OEC尸为矩形，

^\OF=CE,

团团3=60°,BC=6f

^\BF=—BC=3,

2

国点。是AB的中点，且AB=8,

回。8=4,

SCE=OF=1,

回点E是C£>的中点，

团C£)=2,

故答案为：2.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，圆的相关概念，矩形的判定和性

质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件.

三、解答题

11.(2022•广东•中考真题)如图，四边形ABC。内接于0O,AC为。。的直径，

ZADB=ACDB.

B

⑴试判断AABC的形状，并给出证明；

⑵若AB=6,,AD=1,求8的长度.

【答案】⑴0ABe是等腰直角三角形；证明见解析；

⑵6；

【解析】

【分析】

(1)根据圆周角定理可得a42C=90。，由M£>8=EICr啰根据等弧对等角可得0ACB=EIC4B,即

可证明；

(2)R烟ABC中由勾股定理可得AC,R/HADC中由勾股定理求得CZ)即可；

(1)

证明：0AC是圆的直径，则a48c=0AZ)C=9O。,

^EADB=^\CDB,SADB=^iACB,0CDB=0CAB,

E0ACB=EC4B,

团0ABe是等腰直角三角形；

(2)

解：团0ABC是等腰直角三角形，

^\BC=AB=y/2,

^AC=y/AB2+BC2=2>

Rt^ADC中,^ADC=90°,AD=1,贝UCD=7AC2-AD2=73，

13c£)=G

【点睛】

本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等知识；掌握等弧对等角

是解题关键.

12.(2022•辽宁沈阳•二模)如图，四边形A8CD内接于回。，。是弧AC的中点，延长BC到

点、E,使CE=AB,连接BD,ED.

⑴求证：BD=ED-,

⑵若NABC=6O。，AD=5,回。的直径长为.

【答案】⑴见解析

⑵1。

【解析】

【分析】

(1)根据同弧所对的弦相等可得A£»=CZ),再由圆内接四边形的性质得到0A=EIDCE,证明

^ABIXECED,根据全等三角形的性质，即可证明结论；

(2)连接OA,OD,根据圆周角定理，可得0AOD=6O。，根据等边三角形的判定定理可得0AO。

是等边三角形，故半径为5,即可求得直径.

(1)

证明：回。是弧AC的中点，

^AD=CD，

0AD=CZ),

回四边形A8CD内接于回。，

BSA^DCE,

在EA8£)和EICEZ)中，

AB=CE

<ZA=ZDCE,

AD=CD

00ABD00CED(SAS),

BBD=ED.

⑵

解：连接04,OD,如图,

ao是弧AC的中点,

AD=CD>

SEABD=SCBD=-ZABC=1x60°=30°,

22

fflAOD=20A2£）=2x3O°=6O°,

SOA=OD,

aaxoo是等边三角形，

国半径0A=AD^5,

团直径长=10.

故答案为：10.

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、全等三角形的判定与性质、同弧所对的弦相等、圆周角

定理、等边三角形的判定与性质.

13.（2021・江苏・扬州市江都区双沟中学一模）如图，四边形4BCD内接于回。，AB=AC,BD

交AC于点E,延长A。，BC交于点F,且CF=AC.

BC

⑴求证回C£）=A。；

（2）若4。=如，AB=2网,求尸。的长.

【答案】⑴见解析；

⑵至

3

【解析】

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质可得国。4尸=回产，再由圆周角定理即可证明；

（2）过点C作CG1A产于点G,根据等腰三角形的性质可得AG=FG,然后根据勾股定理列

出方程求解即可.

⑴

证明：SAB=AC,

00ABC=0ACB,

^1CF=AC,

团团CA户二团兄

^\ACB=^CAF+^F=2^\CAD,

^\ABC=^\ABD^CBD=^ACD^CAD,

团2R1CA。=团ACD+团CA。，

团团CA。=R1ACD,

^\CD=AD；

⑵

如图，过点C作CG14产于点G,

SAC=CF=AB=2y/2,

0AG=PG,

在RfAACG中，根据勾股定理可得:

AC2=AG2+CG2,

在RAOCG中，根据勾股定理可得:

DC2=DG2+CG2,

ElAC--DC'=AG2-DG2,

由(1)知：CD=AD=6,

0AG=AD+£)G=也+DG,

08-3=(A/3+DG)2-DG2,

解得：DG=—,

3

BAG^^3+DG=^-=FG,

3

SFD=FG+DG=—,

3

SED的长为逑.

3

【点睛】

题目主要考查等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理等知识点，熟练运用这些知

识点是解题关键.

14.(2022•黑龙江•哈尔滨市第六十九中学校九年级学业考试)如图，AB.8为。。的弦，

A3与8相交于点E,AD=BC-

(2)如图2,点尸在BC上，连接£>尸、AD,若。尸为直径，ABLCD,求证：NAD尸=45。；

(3)如图3,在(2)的条件下，连接CF、BF,BF>CF,若DE=8,的面积为6,

求的长.

【答案】⑴证明过程见解析

(2)证明过程见解析

(3)10