2023年高考数学二轮复习试题汇编：圆锥曲线中的范围与最值问题探索性问题

专题16圆锥曲线中的范围与最值问题

一、核心先导

考点再现

22

【考点1】、若椭圆方程为三+%=1（〃>6>0）,半焦距为c.,焦点6（-c,0）,月（c,0）,设

过耳的直线/的倾斜角为a,交椭圆于A、B两点，则有：①

|M|=—-—，防=---.；②|阴=22；/

a-ccosaa+ccosaa-ccosa

22

若椭圆方程为，+5=1（a>6>0）,半焦距为c,焦点月（―c,0）,月（c,0）,设

ab

过工的直线/的倾斜角为a,交椭圆于A、B两点，则有

同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为心.为长半轴，b为短半轴，c为半焦距）

lab1

-222•（焦点在X轴上）

a-ccosa

结论：椭圆过焦点弦长公式:AB\=<

2ab2

（焦点在y轴上）

〔a2-c2si•n2a

【考点2］、过椭圆1+1_=1（"6>0）左焦点的焦点弦为AB,则四=2。+6（/+%2）；过右焦

ab

点的弦.|AB|=2a-e（/+/）.

【考点3】、抛物线产=2内（0〉0）与直线1="+”目交于4（%乂）,8（程％）且该直线与丁轴交于点

c（o,%），则有人+工='-

%%为

【考点4】、设AB为过抛物线/=2内（0>0）焦点的弦，从石,乂）、3区,为），直线AB的倾斜

角为。,则

①.刊=小%=-/；

®.\AF\=X,+^-=—e—，M=P_=_P_

1112l-cos6>21+cos0

③.|阴"+%+”检;

112

\FA\\FB\P

3

⑤.OAOB=-^p2；

⑥.S^OB=^-\OA\\OB\smZAOB=L\OF\.hF=-^—

222sin9

三、解法解密

方法1.圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；

(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数

的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：

①利用判别式来构造不等关系，从而确定取值范围；

②利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出取值范围；

③利用基本不等式求出取值范围；

④利用函数的值域的求法，确定取值范围

方法2.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

(2)利用己知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系；

(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围；

(5.)利用求函数.的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.

四、考点解密

题型(一)利用题设条件，结合几何特征与性质求范围

22

例1、(1).已知K，工为双曲线3-==1(。〉0,匕＞0)的左、右焦点，过耳的直线/与圆必+丁=〃

相切于点且|及伍|=3|加片|,则双曲线的离心率为()

A.V2B.2C.3D.73

（2）.（2022•陕西•乾县第二中学高二阶段练习）已知椭圆+上=1（10。＜14）的离心率为好

14-AA-63

为C的一个焦点，P为C上一动点，贝1]|竹|的最大值为（）

A.3B.5C.3+V5D.2+76

22

【变式训练『1】、（2021•陕西•咸阳市实验中学高二阶段练习）已知椭圆C匕+土=1的下焦点为方，

95

点M在椭圆。上，点N在圆及f+（y_2）2=l上，贝阳十|MN|的最小值为（）

A.4B.5C.7D.8

2

【变式训练1-2]＞过双曲线必—需=1的右支上一点P,分别向圆G：（x+4）2+y2=4和圆。2:

（x—4）2+/=1作切线，切点分别为则1PMi2—|PN『的最小值为（）

A.10B.13C.16D.19

题型（二）利用根的判别式或韦达定理或参数建立不等关系求范围

例2、已知抛物线G：y2=4x与圆。2：三+：/—2x=0,直线y=日—左与G交于A，8两点，与G交

于N两点，且A,〃位于x轴的上方，^\AM-NB=.

22

【变式训练2-1】、（2022•河南•宜阳县第一高级中学高二阶段练习）过椭圆C：a+方的右焦

点厂且与长轴垂直的弦的长为3亚，过点尸（2,1）且斜率为-1的直线与C相交于A,2两点，若尸恰好是A8

的中点，则椭圆C上一点/到尸的距离的最大值为（）

A.6B.2忘+3C.2＞/3+3D.3直+3

题型（三）求解函数值域得范围

22

例3、（2022•四川•树德中学高二期中）己知P是椭圆G：,+七=l（4＞4＞0）和双曲线

%b]

22

。2：*-2=1（电＞。也＞0）的交点，匕，总是G的公共焦点，q,e?分别为G，孰的离心率，若

a?/?2

）]]

NRPFLW，则——的取值范围为______.

344

【变式训练3-1】、（2022•浙江•杭州四中高二期中）设P是椭圆+上的任一点，跖为圆

N：/+y2_y=0的任一条直径，则PE.PF的最大值为.

例4、平面直角坐标系X0V中，已知椭圆C：=+二=1（。〉6〉0）的离心率为且，左、右焦点分别是耳、

crb"2

F2.以耳为圆心以3为半径的圆与以工为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆。上.

（I）求椭圆C的方程；

22

（II）设椭圆E：+=1,尸为椭圆C上任意一点，过点尸的直线y=Ax+相交椭圆E于两

4。一45~

点，射线PO交椭圆E于点。.⑴求惜卸的值；（ii）求443。面积的最大值.

22

【变式训练4-1】、（2022•四川省成都市第八中学校模拟预测）已知椭圆+当=1（。>6>0）的左、右

ab

焦点分别为月、居,£=2，点在椭圆加上.

⑴求椭圆M的方程；

⑵如图，四边形ABCD是矩形，A3与椭圆M相切于点尸，AD与椭圆M相切于点E,3c与椭圆加相切

于点GCD与椭圆M相切于点//,求矩形ABCD面积的取值范围.

题型（四）利用隐含或已知的不等关系建立不等式求范围

2,2

例5、【2018全国卷III】已知斜率为左的直线/与椭圆C：土+乙=1交于A,5两点，线段A3的中点

43

为M（1，根）（相>0）.

（1）证明：k<；

⑵设尸为C的右焦点，尸为C上一点，且丽+丽+丽=0.证明：|西|,\FP\,|而|成等差数

列，并求该数列的公差.

22

【变式训练5-1】、（2021•陕西•安康市教学研究室三模）己知椭圆C:'+方长轴的顶点与双

曲线。：工-卫=1实轴的顶点相同，且C的右焦点尸到。的渐近线的距离为叵.

4b27

⑴求C与D的方程；

（2）若直线/的倾斜角是直线>=（君-2卜的倾斜角的2倍，且/经过点/，/与C交于A、8两点，与。交于

M、N两点,r

1*2«i

【变式训练5-2】、（2021•广东•一模）已知椭圆C:亍+}=1（。>6>0）的离心率为过椭圆C右焦点并

垂直于尤轴的直线交椭圆C于P,M（点尸位于x轴上方）两点，且4OPM（。为坐标原点）的面积为

2

2-

（1）求椭圆C的标准方程；

9

⑵若直线/交椭圆。于A,B（A,B异于点P）两点，且直线B4与尸3的斜率之积为-二，求点尸到直线,

4

距离的最大值.

五、分层训练

A组基础巩固

1.（2022•四川雅安•二模）已知双曲线C的一条渐近线为直线瓜-y=0,C的右顶点坐标为（1,0）.若点

〃（无”,％）是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为（3,5）,则|M4|+2为的最小值为（）

A.V26-1B.726

C.V26+1D.726+2

22

2.（2021•江苏•高二专题练习）已知尸是椭圆工+匕=1上的一点，。是坐标原点，尸是椭圆的左焦点且

259

OQ=^（OP+OF）,|02|=4,则点尸到该椭圆左准线的距离为。

A.6B.4C.3D.-

2

22

3.（2022•全国•高三专题练习）已知双曲线C:=-==l（a>0力>0）的右焦点为F，过F且斜率为出的

ab

直线交。于A、5两点，若左=4而，则。的离心率为（）

A.9B.「D.2

8555

4.（2022•重庆市育才中学高三阶段练习）已知过抛物线C:y2=4x的焦点F且倾斜角为45。的直线交C于

A3两点，。为弦A3的中点，P为C上一点,则|尸产|+|尸Q|的最小值为（）

A.4B.5C.6D.7

22

5.（2022•四川省平昌中学高二阶段练习）知椭圆C:，+*=l（a>b>0）,C的上顶点为A,两个焦点为G，8,

的面积为；片,点P是椭圆上任意一点（非顶点），Q是APFR的内心，直线PQ交用且于M,则附।=

（）

A.&B.V3C.V2+1D.75-1

6.（2022•全国•高三专题练习）己知田用=1。，点P满足|尸鸟|-|尸耳|=6,动点M,N满足|MN|=2,两=布,

则两.丽的最小值是（）

A.3B.-C.4D.—

33

7.（2022•四川•石室中学模拟预测）已知抛物线C:/=2y上有两动点P,Q,线段尸。的中点E到x轴距

离的是2,则线段尸。长度的最大值为.

22

8.（2022•山东•枣庄市第三中学高二期中）己知椭圆C:工+与=1（a>匕>0）,尸是椭圆C上的点，

ab

片（-c,o）,鸟（G。）是椭圆C的左右焦点，若居•两恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是

9.（2022•福建•高二期中）弓琴，是弓琴弹拨弦鸣乐器（如下左图）.历史悠久，形制原始，.它脱胎于古代

的猎弓，也可以称作“乐弓”，是我国弹弦乐器的始祖.古代有“后羿射十日”的神话，说明上古生民对善射者

的尊崇，乐弓自然是弓箭发明的延伸.古代传说将“琴”的创始归于伏羲，也正由于他是以渔猎为生的部落氏

族首领.在我国古籍《吴越春秋》中，曾记载着：“断竹、续竹，飞土逐肉”.常用于民歌或舞蹈伴奏.流行于

台湾原住民中的布农、邹等民族聚居地区.弓琴的琴身下部分可近似的看作是半椭球的琴腔，其正视图即为

一椭圆面，它有多条弦，拨动琴弦，发音柔弱，音色比较动听，现有某专业乐器研究人员对它做出改进，

安装了七根弦，发现声音强劲悦耳.如下右图，是一弓琴琴腔下部分的正视图.若按对称建立如图所示坐标系,

耳（-c，0）恰为左焦点，斗，=1,2,3,4,5,6,7）均匀对称分布在上半个椭圆弧上（4在A3上的投影把线段八等

22

分），£耳为琴弦,记4=1月耳|（21,2,3,4,5,6,7）,数列｛4｝前”项和为昭椭圆方程为二+与=1,且

ab

〃+64c=4〃c,则£+%-128的最小值为

22

10.（2022.河北•模拟预测）己知椭圆L:1+3=l（a>b>0）,椭圆上的点到两焦点的距离和为2括，点

ab

在椭圆L上.

⑴求椭圆L的标准方程;

⑵过点尸(0,2)作直线/交椭圆于A,5两点，点E为点尸关于无轴的对称点，求A①面积的最大值.

11.(2022•云南大理•模拟预测)己知用鸟为椭圆C的左、右焦点，点《1,|)为其上一点，且|町|+=4.

(1)求椭圆C的标准方程；

⑵过点耳的直线/与椭圆C相交于P,。两点，点尸关于坐标原点。的对称点R,试问△PQR的面积是否存

在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

B组能力提升

911

12.(2020•山西•太原五中模拟预测)已知圆C:(尤-1)一+/=7，一动圆与直线％=-彳相切且与圆C外切.

⑴求动圆圆心P的轨迹T的方程；

(2)若经过定点2(6,0)的直线/与曲线T交于A3两点，M是A3的中点，过M作x轴的平行线与曲线T相交

于点N,试问是否存在直线/，使得N4_LA®?若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.

13.(2022•全国•模拟预测)已知椭圆/+y=1(。>1),过点(0,小)作椭圆的两条切线，且两切线垂直.

⑴求。；

⑵己知点「("/),〃亚2,Q(O,T),若存在过点尸的直线与椭圆交于M,N,且以肋V为直径的圆过点。

不与。重合)，求直线MN斜率的取值范围.

22

14.(2022•广东•开平市忠源纪念中学模拟预测)在平面直角坐标系xQv中，椭圆E：5+R=l(a>b>0)

ab

与椭圆1+4=1有相同的焦点X，F2,且右焦点用到上顶点的距离为

⑴求椭圆E的方程；

⑵若过椭圆E左焦点耳，且斜率为1的直线/与椭圆交于M,N两点，求A居的面积.

15.(2022•湖北省仙桃中学模拟预测)已知椭圆C:《+/=i,和一条过定点〃(-1,0)且不与x轴重合的直

3'

线/相交于A、B两点，线段AB的中点为点E,

(1)求点E的轨迹方程；

⑵射线OE交椭圆于点G,b为直线OE上一点，且QG|为|0尸|、|OE|的等比中项，过点/作圆

D(x-l)2+y2=i的两条切线，切点为知、N,求AWWN面积的最小值.

16.(2022•黑龙江•鸡西市第四中学三模)已知抛物线C：d=2py(p>0),圆。：x2+/=l.

⑴若抛物线C的焦点F在圆。上，且A为C和圆。的一个交点，求仙司；

（2）若直线/与抛物线C和圆。分别相切于点M,N,求|肱V|的最小值及相应p的值.

17.（2022•河南开封•模拟预测（理））已知椭圆。:=+与=1（。>6>0）的离心率为。上的点尸与。外

的点。（4,0）距离的最小值为2.

⑴求椭圆。的方程；

⑵若直线/与椭圆。交于点A,8,当直线/被圆。:1+丁2=/截得的弦长为2b时，求AOAB面积的取值范

围.

18.（2022•江苏•华罗庚中学三模）已知M,N分别是无轴，y轴上的动点，且|政7|=4+26，动点P满足

MP=—PN,设点尸的轨迹为曲线C.

2

⑴求曲线C的轨迹方程；

（2）直线h3x-2y=0与曲线C交于A,8两点，G为线段AB上任意一点（不与端点重合）,倾斜角为a的

直线4经过点G,与曲线C交于E,P两点.若，匚二，的值与点G的位置无关,求|GE|：|GF|的值.

C组真题实战练

22

19.（2021•全国•高考真题（理））设8是椭圆C:'+当=l（a>b>0）的上顶点，若C上的任意一点尸都满

ab

足|P2|<26,则C的离心率的取值范围是（）

A-制B—JcI。,1D-

20.（2017•全国•高考真题（理））已知产为抛物线C：>2=4x的焦点，过/作两条互相垂直的直线"，12,

直线/I与C交于A、2两点，直线/2与C交于£>、E两点，则IA2I+I。囿的最小值为

A.16B.14C.12D.10

21.（2008•江西•高考真题（文））已知耳、尸2是椭圆的两个焦点，满足丽•说'=0的点M总在椭圆内

部，则椭圆离心率的取值范围是

A.（0,1）B.（0,1]C.（0,日）D.佟,1）

22.（2017新课标全国卷I文科）设A,8是椭圆C：W+£=1长轴的两个端点，若C上存在点M满足

3m

ZAMB=120°,则根的取值范围是

A.（0,1]U[9,+OO）B.（0,V3]U[9,+OO）

C.（0,l]IJ[4,+oo）D.（0,A/3]U[4,+OO）

23.（2022•浙江•高考真题）已知双曲线吞-1=l（a>0*>0）的左焦点为R过歹且斜率为之的直线交双曲

。Z?4〃

线于点AG，yJ,交双曲线的渐近线于点3（/，力）且为<0<%.若|FB|=3|E4|,则双曲线的离心率是

22

24.（2009•重庆•高考真题（文））已知椭圆,+白=1（。>人>0）的左、右焦点分别为£（-c,0）,鸟（c,0）,若

ab

椭圆上存在一点1使.篇口=,晨口，则该椭圆的离心率的取值范围为__________.