第2章直线与直线方程（期中考-考点精讲）（原卷版）

第2章直线与圆的方程（考点精讲）知识点①直线的倾斜角★★☆知识点②直线的斜率★★☆知识点③倾斜角与斜率的关系★★☆知识点④直线的方向向量★★☆知识点⑤两条直线平行与垂直的判定★★★拓展①求倾斜角大小（或范围）的方法★★☆拓展②求直线斜率（或斜率的取值范围）的方法★★☆拓展③斜率公式的应用★★★拓展④两条直线的平行的判定与应用★★★拓展⑤两条直线的垂直的判定与应用★★★拓展⑥斜率在实际生活中的应用★★☆知识点①直线的方程★★☆知识点②直线方程的几种形式★★★知识点③两条直线的位置关系★★★拓展①求倾斜角大小（或范围）的方法★★★拓展②求直线斜率（或斜率的取值范围）的方法★★★拓展③斜率公式的应用★★★拓展④两条直线的平行的判定与应用★★★拓展⑤两条直线的垂直的判定与应用★☆☆拓展⑥斜率在实际生活中的应用★★★知识点①两条直线的交点★★☆知识点②距离公式★★★知识点③平面内的中点坐标公式★★★拓展①求两直线的交点坐标★★★拓展②解决与距离有关的问题★★★拓展③直线恒过定点的问题★★★拓展④经过两直线交点的直线方程★★★拓展⑤线段垂直平分线的方程★★★拓展⑥点关于点的对称问题★★★拓展⑦点关于直线的对称问题★★★拓展⑧直线关于点的对称问题★★★拓展⑨直线关于直线的对称问题★★★拓展⑩利用距离的几何意义求最值★★★拓展①①光的反射问题★★★拓展①②实际生活中与直线有关的问题★★☆拓展①③新定义问题★★☆知识点①圆的定义★★☆知识点②圆的标准方程★★★知识点③圆的一般方程★★★知识点④几种特殊位置的圆的方程★★☆知识点⑤点与圆的位置关系★★☆拓展①圆的标准方程的求法★★★拓展②圆的一般方程的求法★★★拓展③阿波罗尼斯圆★★☆拓展④以线段为直径的圆的方程★★☆拓展⑤巧用圆系方程解决问题★★☆拓展⑥与圆有关的最值问题★★★拓展⑦生活中的圆的问题★★☆知识点①直线与圆的位置关系★★★知识点②圆与圆的位置关系★★★拓展①直线与圆的位置关系的判断方法★★★拓展②与圆的切线有关的问题★★★拓展③直线与圆相交时的弦长问题★★★拓展④两圆相交时的公共弦★★★拓展⑤与圆有关的轨迹问题★★★拓展⑥与圆有关的数形结合问题★★★拓展⑦直线与圆、圆与圆的位置关系的应用★★☆§2.1直线的倾斜角与斜率1.倾斜角与斜率：倾斜角：当直线与轴相交时，以轴为基准，轴正向和直线向上的方向之间所成的角叫直线的倾斜角，取值范围为.斜率：直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.斜率通常用来表示.斜率公式：如果直线经过两点,则.直线的方向向量：斜率为的直线的一个方向向量是,若斜率为的直线的一个方向向量的坐标为，则.2.两条直线平行和垂直的判定斜率分别为的两条不重合的直线，有.斜率分别为的两条直线，有.（2021秋•福清市期末）若直线l的斜率为，则l的倾斜角为（）A． B． C． D．（2021秋•鼓楼区校级期中）若直线过点（1，2），（4，2+），则此直线的倾斜角是（）A．30° B．45° C．60° D．90°（2021秋•福州期末）直线x+y+2＝0的倾斜角α是（）A． B． C． D．﹣（马尾区校级期末）若直线的倾斜角为120°，则直线的斜率为（）A． B． C． D．（2021秋•福州期中）设点A（1，3），B（3，2），若直线ax﹣y﹣2＝0与线段AB有交点，则a的取值范围是（）A． B． C． D．（2021秋•长乐区校级月考）直线x﹣y﹣3＝0的倾斜角为（）A． B． C． D．（2021秋•福州期中）直线l：x﹣3y+1＝0的倾斜角为（）A．0 B． C． D．（2021秋•鼓楼区校级期中）经过A（0，2），B（﹣1，0）两点的直线的方向向量为（1，λ），则λ＝（）A．1 B．2 C． D．（鼓楼区校级期末）如果三点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）在同一直线上，则（）A．a＝3，b＝﹣3 B．a＝6，b＝﹣1 C．a＝3，b＝2 D．a＝﹣2，b＝1（2021秋•长乐区校级月考）直线x+y﹣1＝0的倾斜角是．（2021秋•福清市校级月考）若直线l被直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x﹣y+3＝0截得的线段长为，则直线l的倾斜角θ（0°≤θ＜90°）的值为．§2.2直线的方程1.直线方程：⑴点斜式：（不能表示斜率不存在的直线）⑵斜截式：（不能表示斜率不存在的直线，是直线与轴的交点纵坐标（即轴上的截距））⑶两点式：⑷截距式：（是直线在轴上的截距，且）⑸一般式：（不同时为0）2.给定直线方程判断直线的位置关系：（一）对于直线有：⑴；⑵和相交；⑶和重合；⑷.（二）对于直线：（1）与直线垂直的一个向量为，平行的一个向量为.（2）对于直线有：；和相交；.（2021秋•鼓楼区校级期中）直线l1：ax+3y+1＝0，l2：2x+（a+1）y+1＝0，若l1∥l2，则a＝（）A．﹣3 B．2 C．﹣3或2 D．3或﹣2（台江区校级期末）倾斜角为45°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（）A．x﹣y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x+y﹣1＝0 D．x+y+1＝0（2021秋•连江县期中）瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为A（0，0），B（8，0），C（0，6），则△ABC的“欧拉线”方程为（）A．3x+4y﹣3＝0 B．3x﹣4y＝0 C．3x﹣4y+3＝0 D．3x+4y＝0（2021秋•连江县期中）直线4x﹣ay+2＝0与直线2x﹣y+7＝0平行，则a等于（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋•鼓楼区校级期中）若直线ax+y﹣a+1＝0与直线（a﹣2）x﹣3y+a＝0垂直，则实数a的值为（）A．﹣1或3 B．1或﹣3 C．﹣1或﹣3 D．1或3（2021秋•福州期中）已知直线l1：（a﹣1）x+2y+1＝0与直线l2：3x+ay﹣1＝0平行，则a等于（）A．3或﹣2 B．﹣2 C．3 D．2（2021秋•台江区校级期中）已知直线l1：ax+2y﹣1＝0，直线l2：8x+ay+2﹣a＝0，若l1∥l2，则实数a的值为（）A．±4 B．﹣4 C．4 D．±2（多选）（2021秋•鼓楼区校级月考）下列说法正确的是（）A．截距相等的直线都可以用方程表示 B．方程x+my﹣2＝0（m∈R）能表示平行y轴的直线 C．经过点P（1，1），倾斜角为θ的直线方程为y﹣1＝tanθ（x﹣1） D．经过两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（y2﹣y1）（x﹣x1）﹣（x2﹣x1）（y﹣y1）＝0（2021秋•福州期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+（y+2）2≤3，若将军从点A（﹣4，0）处出发，河岸线所在直线方程为x+y﹣1＝0，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为．（2021秋•鼓楼区校级期末）设两直线l1：（3+m）x+4y＝5﹣3m与l2：2x+（5+m）y＝8．若l1∥l2，则m＝．（2022春•闽侯县校级月考）已知A（2，﹣3），B（4，﹣2），则线段AB的中点坐标为．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知直线l过定点A（2，1）．（1）若直线l与直线x+2y﹣5＝0垂直，求直线l的方程；（2）若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．§2.3直线的交点坐标与距离公式（1）两点间距离公式：已知，则.（2）点到直线距离公式：到直线的距离为：.（3）两平行线间的距离公式：：与：间的距离为：.（2021秋•鼓楼区校级期末）原点到直线l：3x+4y﹣2+λ（2x+y+2）＝0的距离的最大值为（）A． B． C． D．（2021秋•福州期末）已知直线l1：3x﹣4y+7＝0与直线l2：6x﹣（m+1）y+1﹣m＝0平行，则l1与l2之间的距离为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋•福州期中）过点P（1，2）引直线，使A（3，2），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A．7x+y﹣9＝0 B．7x+5y﹣17＝0 C．7x+y﹣9＝0或7x+5y﹣17＝0 D．7x+y﹣9＝0或7x﹣5y+3＝0（2021秋•鼓楼区校级期中）已知直线x﹣2y+1＝0与直线2x﹣my﹣2m＝0平行，则它们之间的距离为（）A． B． C． D．4（2021秋•鼓楼区校级期中）在一个平面上，机器人从与点C（1，﹣4）的距离为5的地方绕点C顺时针而行，在行进过程中保持与点C的距离不变．它在行进过程中到过点A（﹣6，0）与B（0，8）的直线的最近距离为（）A．3 B．4 C．5 D．6（长乐市校级月考）若直线l1：x+ay+6＝0与l2：（a﹣2）x+3y+2a＝0平行，则l1与l2间的距离为（）A． B． C． D．（福州期末）若两平行直线l1：x﹣2y+m＝0（m＞0）与l2：2x+ny﹣6＝0之间的距离是，则m+n＝（）A．0 B．1 C．﹣2 D．﹣1（2021秋•鼓楼区校级期中）直线l：（k+1）x﹣（k﹣1）y﹣2k＝0恒过定点．（2021秋•福州期中）经过直线3x﹣2y+1＝0和直线x+3y+4＝0的交点，且垂直于直线x+3y+4＝0的直线方程为．（2021秋•鼓楼区校级期中）已知直线x﹣2y+3＝0与直线3x+y+2＝0交于点P，本题所求直线方程均写出一般式．（1）求过点P且平行于直线3x+4y﹣5＝0的直线l1的方程，并求出两平行线之间的距离；（2）求过点P并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l2的方程．（2021秋•福州期中）已知直线方程为（2﹣m）x+（2m+1）y+3m+4＝0，其中m∈R．（1）当m变化时，求点Q（3，4）到直线的距离的最大值及此时的直线方程；（2）若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A、B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．（2021秋•鼓楼区校级月考）已知直线l：（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0．（1）求证：不论m为任何实数，直线l恒过一定点，并求出定点坐标；（2）过点M（﹣1，﹣2）作一条直线l1，使l1夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l1的方程．§2.4圆与方程1.圆的方程：⑴标准方程：(其中圆心为，半径为.)⑵一般方程：.().（2021秋•台江区校级期中）已知圆x2+y2﹣4y﹣1＝0，则该圆的圆心坐标和半径分别为（）A．（0，2），5 B．（0，﹣2），5 C．（0，2）， D．（0，﹣2），（仓山区校级期末）圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1关于直线x﹣y﹣2＝0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2＝1 B．（x+4）2+（y+1）2＝1 C．（x+2）2+（y+4）2＝1 D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1（2021•鼓楼区校级开学）圆心在（2，﹣1）上，半径为3的圆的标准方程为（）A．（x﹣2）2+（y+1）2＝3 B．（x﹣2）2+（y+1）2＝9 C．（x+2）2+（y﹣1）2＝3 D．（x+2）2+（y﹣1）2＝9（福州期末）已知圆C：（x﹣3）2+（y+2）2＝9，点A（﹣2，0），B（0，2），设点P是圆C上一个动点，定义：一个动点到两个定点的距离的平方和叫做“离差平方和”，记作D2，令D2＝|PA|2+|PB|2，则D2的最小值为（）A．6 B．8 C．12 D．16（2021秋•连江县期中）已知圆心为（a，0）的圆C与倾斜角为的直线相切于点，则圆C的方程为．（仓山区校级期末）已知以C（0，﹣2）为圆心的圆截直线2x﹣y+3＝0所得弦长为4，则圆C的标准方程是．（闽侯县校级期中）已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心C在直线2x﹣y﹣2＝0上．（Ⅰ）求圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A，B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．§2.5直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系:（表示圆心到直线的距离）;;.2.直线和圆相交弦长公式：（表示圆心到直线的距离）3.两圆位置关系：（1）外离：；（2）外切：；（3）相交：；（4）内切：（）；（5）内含：（（2022秋•鼓楼区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，已知A，B为圆x2+y2＝9上两动点，点P（1，1），且PA⊥PB，则|AB|的最大值为（）A．3+2 B．3+ C．5﹣ D．4+（2021秋•福清市期末）圆C1：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝9与圆C2：（x+1）2+（y+1）2＝1的公切线的条数为（）A．1 B．2 C．3 D．4（2021秋•福州期末）圆x2+y2﹣6y+8＝0与圆x2+y2﹣8x＝0的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．外离（2021秋•鼓楼区校级期末）已知过点P（2，2）的直线与圆x2+（y﹣1）2＝5相切，且与直线ax﹣y+1＝0垂直，则a＝（）A． B． C．﹣2 D．2（2022春•台江区校级期末）若直线ax+y＝0始终平分圆x2+y2﹣2ax+2ay+2a2+a﹣1＝0的周长，则a的值为（）A．1 B．0 C．0或1 D．0或﹣1（2021秋•福州期中）圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝9的位置关系为（）A．内切 B．相交 C．外切 D．相离（2021秋•福州期中）圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2＝6截直线l：（a+1）x﹣y﹣a+1＝0的最短弦长为（）A．2 B． C．4 D．8（多选）（2022春•鼓楼区校级月考）已知圆x2+y2＝4上有且仅有三个点到直线l的距离