高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向量及其应用综合强化5

高中数学北师大版（2019）必修第二册第二章平面向■及其

应用综合强化5

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

一、单选题

1.„均为单位向量,且它们的夹角为45。,设£不满足|办月|=（出=冢+皈（人/?）,

则|办-臼的最小值为（）

A.V2B.—C.—D.—

244

2.已知平面向量满足|吊=2,|昨6且|已+（1-2X）B|（XWR）的最小值3,则

2

|£+y5|（yeR）的最小值为（）

A.也B.1C.2D.1或2

2

3.已知点尸为圆（x-l）2+（y-2：『=l上动点，。为坐标原点，则向量办在向量

方向上投影的最大值为（）

A.V5B,逑+1C.延7D.坡

555

4.已知平面向量讪工满足：忖=|4=1,选=0，@+不归一胃=4,则,-闻+忖一目的

最小值为（）

A.4—\/2B.4+y2C.5+D.5+

___1—1—

5.已知点M是AABC所在平面内一点，^AM=-AB+-ACf则AABW与/CM的

面积之比为（）

854

2

A.3-B.2-D.3-

6.在四边形A8CD中，点E为AO的中点，点尸为BC的中点，且|而|=1,|。。|=2,若

ABDC>0,则I而I的取值范围是（）

A.（李B，C.（~»+°°）D.[*,+oo）

二、多选题

7.下列命题中正确的是（）

A.不存在4个平面向量，两两不共线，其中任意两个向量之和与其余两个向量之和垂

直

B.设4、P2........2是单位圆。上的任意〃点，则在圆O上至少可以找到一点M,使

得|阿|+|阿卜…+|碉2〃

C.任意四边形ABCO中，M、N分别为AD、8c的中点，G为MN的中点，。为平面

内任意一点，则05=,（函+丽+反+对

4

D.AABC中，点。为外心，H为垂心，则两=西+而+觉

8.已知点。为“18c所在平面内一点，且［35+力布+C反=G（«b，c>0）,则下列选

项正确的是（）

A.若a=l,b=2,c=3,则AO='4B+，AC

32

B.若a=3,b=2,c=4,且|厉|=|/=|觉|=1,则反•布

C.若直线AO过BC的中点，则a=8=c

D.SjoB：Sjoc=b;c

第H卷（非选择题）

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三、填空题

9.在AABC中，Z&4C=60°,BC=3,。是8。上的点，AO平分"4C,若4）=2,

则的面积为.

10.如图，在AABC中，BD=DE=ECfAF=2FB,2AM=MDf直线尸M交AE于

点G,直线MC.交A&于点N,若△MNG是边长为1的等边二角形，则向.证=

11.如图，已知正方形A6CO的边长为1,E在C。延长线上，且DE=CD.动点尸从点

A出发沿正方形A8CD的边按逆时针方向运动一周回到A点，其中祈=4通+〃恁，

则下列命题正确的是.（填上所有正确命题的序号）

试卷第2页，共4页

①人0,〃之0；

②当点尸为40中点时，4+4=1；

③若;1+〃=2,则点尸有且只有一个；

④2+〃的最大值为3：

⑤丽•通的最大值为1.

12.已知边长为2的正方形A8C0边上有两点P、Q,满足|PQ|N1,设O是正方形的中

心，则丽•丽的取值范围是.

四、解答题

13.在①岑=-丁"，②,处A也,③2s=々5丽•近三个条件中任选

cosC2a+csinc-sinCa+c

一个补充在下面的横线上，并加以解答.

在AABC中，角A,B,。的对边分别为a,b,c且,作4?_LAD,使得四边形

ABC。满足NACZ）=q,AD=g,求8c的取值范围.

14.如图，数轴X），的交点为0,夹角为。，与I轴、》轴正向同向的单位向量分别是

由平面向量基本定理，对于平面内的任一向量而，存在唯一的有序实数对（乂y）,使得

丽=扃+再，我们把（x,y）叫做点尸在斜坐标系短），中的坐标（以下各点的坐标都指在

斜坐标系直为中的坐标）.

y；

(1)若。=90。，而为单位向量，且方与1的夹角为120。，求点尸的坐标；

⑵若0=45。，点P的坐标为(1,拒)，求向量而与I的夹角.

15.如图，等腰直角三角形地块ABC,A3=AC=2km,为了美化环境，现对该地块

进行改造，计划从BC的中点。引出两条成45。角的射线，分别交48,AC于点E,F,

将四边形A瓦加区域改造为人工湖，其余区域为草地，设NBDE=a.

(2)求人工湖AEL尸的面积S(a)的取值范围.

TF

16.在平行四边形A5CQ中，AB=2,40=1,NDAB=§.若E、尸分别是边4C、CD

上的点.

(1)若E、尸分别是边3C、C。的中点，AE与8尸交于点。，用油和G表示益；

BPCF

(2)若E、尸满足器=为，求危.京的取值范围.

试卷第4页，共4页

参考答案

I.C

【分析】

建立直角坐标系，求得向量£,B的终点轨迹方程是圆和直线，利用圆心到直线距离减去半

径得到最小值得解

【详解】

设砺=£，OB=b

以I的方向为正方向，所在直线为％轴，垂直于I所在直线为y轴，建立平面直角坐标系

力方均为单位向量，且它们的夹角为45。，则［=。,0),£=(¥，¥)

,.1a+e2l=»设A=(x,y)

满足(X+¥)、(y+*)2="

B=5+ke式kwR),设8=(%,%)

(%，Yo)=Q+^~'故/一%=1，

则|力|=|西-函=|丽I，则|力|的最小值为圆(x+争+(y+争2=:上的点到直线

%一%=1距离的最小值

一兴+也T厂厂

其最小值为।22"五二近

VF+T44

故选:C.

【点睛】

向量模长最值问题转化为点到直线距离是解题关键，属于中档题.

2.D

【分析】

设/(x)=\xa+(\-2x)b『，必■=r,则/(x)=(16-4/)x2+(2r-12)x+3,由『⑶的最小值为1,

4

得4x(161⑵2：9,且16-4”0,解得"0或"3,然后分2种情况考虑

4x(16—41)4

Ia+yb|(ye7?)的最小值，即可得到本题答案.

【详解】

答案第1页，共19页

设/(x)=|xZ+(l-2%)5?，ab=!»

则fM=ax2+2x(1-2x)ah+(\-2x)2b

=4x2+2x(1-2x)t+3(1-4x+4x2)

=(16-4r)x2+(2z-12)x+3

因为屏+(l-2x)6|(%eR)的最小值避

所以『⑴的最小值为力

4x(16—41)x3—⑵一⑵3

人」4x(16-4r)“且16-4C0,

解得r=0或f=3,

当，=0,即£.3=0时.

\a+yh|=^4+2ya-h+3y2=(4+3y?>2，

所以IG+yBI(yeR)的最小值为2；

当r=3,即2石=3时，

\a+yb|=yj4+2ya-b+3y2=J3y2+6y+4=J3(y+1)2+1>1，

所以|£+y5|(ywK)的最小值为1,

综上，|£+»3|(yeR)的最小值为1或2.

故选：D

【点睛】

本题主要考查向量的模的计算与二次函数值域的综合问题，考查学生的推理分析能力和计算

能力.

3.B

【分析】

设向量：所在直线为QA(A为向量的终点)，当点P位于与直线。A旋直且与圆相切的直线

上时，投影取得最值，进而求出最大值.

【详解】

如图所示，向量：所在直线为。4(4为向量的终点)，则后八=；，则设与直线。A垂直且与

答案第2页，共19页

I/-4I

圆相切的直线为/：y=-2x+f,所以圆心到直线的距离4==1nf=4±-\/5

根据图形可知，当f=4+6时投影最大，设此时/:y=-2x+4+有与直线04交于8,

y=-2工+4+石

解得：《|件灼』4+灼｝

易得，直线04：y=~^x,联立:1

y=-x

所以|08|=(4+石)+6)=号+1，则向量办在向量)=(2,1)方向上投影的最大值

为---+1.

5

故选：B.

4.A

【分析】

由卜+0+归-4=4可得同=2,由忖=口=1,选=0,可得⑹・七近，设5=归一刎10,

贝|JS=忸_4_0,S2—2a+2-2a(b+e)+2a-a(b+e),从而可求出

其最小值

【详解】

解:因为归+0+忖一1=4,

所以归+,+2忖+"弧-4+归一42=16,

所以2片+2+2了-1卜16,所以/二4

所以同=2,

因为忖=忖=1,人"=0,所以归一0=夜,

答案第3页，共19页

设$=卜一目+卜一0,则s>|(a_另卜(。_0)卜,

S2=2a+2-2a'(b+e)+2a-a(b+e),

当/一—小+工)40时，S2=2(舍去)，

当/_3@+工)>0时，52=18-4a-(5+e)>18-4|5|^4-^|=18-8x/2=(4->/2)2,

所以的最小值为4-、5，

故选：A

【点睛】

关键点点睛：此题考查向量数量积的运算律的应用，考查向量的性质的应用，解题的关键是

由已知条件得14=2,忸-0=也，令S=B-4+|£—0,则

S2=2^+2—27@+工)+212—£.@+可，然后化简可求得结果，考查计算能力，属于较难

题

5.C

【分析】

作出图形,结合三点共线性质可•得，而=4而+(1-4)而，同时设AG=MM,联立解出/U,

进而确定%关系，同时满足且=2而，进而求出要关系，即可求解两三角形面积之比.

GAGC

【详解】

如图，延长4M交8C于G,则而=4通+(1-义)而，因为A,M.G三点共线，所以

1

-

2心3

AG=tAM，即屈+。-4)/=，佶而+<祜，所以工-则=-

12

I2，33)1-/t

3-

，=：,又行=画,故而=：质,所以票=,，察=!，所以

55GC3GA6

^aWc=^xlsAM3/=^BAM,所以2=2.

乙Z0乙%8MC

故答案为：C

答案第4页，共19页

6.A

【分析】

根据向量的加法可得2E户=4月,再由向量的数量积运算得4|而产=而2+比2+2通.配,

由0<而.加=1*2=2可得选项.

【详解】

因为前=丽+而+格W=ED+DC+CF>

又点E为A。的中点，点尸为8c的中点，所以2而==^+比，

又因为0<A月0^41x2=2，

所以4|而降褶+三+2被配>4+1=5，

22

且4|丽『=AB+DC+2ABDC^4+1+2|AB||DC|=5+2X1X2=9»

所以4|研逅（5,9］,即|乔归卓/，

故选：A.

【点睛】

关键点睛：本题考查向量的数量积运算，求线段的长度的范围，关键在于待求向量用已知向

量表示，由已知向量的数量积的范围得以解决.

7.BCD

【分析】

对A：设0为正三角形ABC的内心，P为内切圆圆周上一点，（而+丽）-（4+所）=0,

所以西+而与京+而垂直，所以选项A错误；

对8：取西+西+…+砾的反向延长线与单位圆的交点为M,则而与

函+西+…+砾共线同向时，有|叫卜|西'卜…+|谢］

N“丽卜|西+西+…+四］之八，所以选项B正确；

对C：因为）+砺+反+砺=4而+2丽+痂:=4而，所以选项C正确；

对。：作直径8D,连接人Q,可得四边形4”C。为平行四边形，所以

OH=OA+AH=OA+DC=dA+OC-dD=dA+O§+OC所以选项D正确.

【详解】

解：对4如图所示，。为正三角形43c的内心，P为内切圆圆周上一点，满足再，而，无，可

答案第5页，共19页

两两不共线，而（苏+方）.（定+而）=（而+）+所+而）（而+配+所）

=（2PO+OA+OB）（2PO+OC）=\2PO-OC^（2PO+OC）=4PO-O&=0,

所以中+而与定+所垂直，所以选项A错误；

对B：如图，当〃=1时，|西|=|荻+珂，当碗与西共线同向时，

|画=丽卜冏2网=1；

当〃=2时，|胸卜区冏=|M0+陷++OP^\>12Mo+（*+西,

当血与西+强共线同向时，有上荻+（西+四）|=2|而可+|西+。月|22；

同理，可取西+西+…+函的反向延长线与单位圆的交点为M,则血与

西+西+…+函共线同向时，有|砌]+|砌卜…+|研]

=函+0耳卜厢+西|+..+厢+因2%丽+西+圾+..+闭

="函+|西+西+…+西|之人所以选项B正确；

对C：因为）+5S+无+历=[55+函）+（砺+而）+（砺+文）+（砺+SS）

=4OG+（GA+GS+GC+GD）=4OG+[GA++GD）+[GB+GC）

=4OG+2GM+2GN=4OGf

所以诟=]（砺+砺+式+两，所以选项C正确；

4

答案第6页，共19页

D

对。：如图，作直径80,连接AD,则AD_LAB,又因为〃为三角形ABC的垂心，

所以Ca_LA8,所以C”〃A。，同理AH〃C。，所以四边形AHCD为平行四边形，

所以丽=次+而=而+就=弧+元一丽=丽+丽+无，所以选项D正确.

故选：BCD.

8.AB

【分析】

由砺+2砺+3方=6，OB=OA+AB^近=砺+恁即可判断A；

将4反=-（3次+2砺）两边平方可得汉.丽的值，再结合而二无一次即可判断B；

设3C的中点为£）,则而=g（而+林）=-砺+：而+；觉再结合荷=攵而即可得4仇c

之间的关系可判断C；取点4,*,C使得前=〃次，OBi=hOB,（X?=cOC,则点。为

ss

VAEC的重心，可得，=再利用三角形面积公式即可求台"，

即可求得Sj8：S,w，即可判断D,进而可得正确选项.

【详解】

对于A：若a=l,b=2,c=3则方+2砺+3反=0，因为而=35+而，

OC=OA+AC，代入可得砺+2（E+而）+3（3+而）=。即

_,_____.1—1—

6OA+2AS+3AC=0^所以6而=2而+3而，可得4。=3A8+万AC,

故选项A正确；

答案第7页，共19页

对于B：若a=3,b=2,c=4则3砺+2而+4双=6，所以4反=-（3砺+2砺）

所以16反匕（3砺+2丽卜即16反、9次：4而2+［2砺.而，

所以16=9+4+12方•丽，可得万•加二，

所以反.而=一；（3砺+2万）（砺_砺）=_；卜3丽2+2而2+丽丽）

二一：（-3+2+：］=2，故选项B正确；

414）16

对于C：设BC的中点为O,贝IJ而=g（而+*）=g（而一砺+武一丽）

二一04+；。3+；0。若直线4。过BC的中点，则存在实数女满足血=攵而，

^AO=kx^-OA+^OB+^OC^=-kOA+^OB+^OC,

所以（1+女）厉一?砺一,加=6,所以。=4+1,b=c=~,所以不一定°=b=c,故选项

C不正确；

对于D：取点4,乩（7使得函丽，两=〃而，OC=cOC＞则

OAi+OBf+OC=d^所以点。为VA'UC的重心，

因为重心。到BC'中点的距离等于中线的：，所以重心。到8c的距离等于高线的：，可得

S4K0C=QSj'tfc，问理可得\A'OC'=§、owe»S揖0时=—SEKC、

所以S。*=^AAOC'=SAA,05',

-OBOCsxn^BOCIs1

所以［g2OBPC而同理可得；基

-OB'OCsxn^B'OCOB'OCac

2

S/OB1~T

嬴,所以Sj.^^叱=彳2-----=c:b,故选项D不正确;

一S.KOC

ac

故选：AB.

答案第8页，共19页

B\B

【点睛】

结论点睛：若点。为AA3c所在平面内一点，且〃次+力而+C觉=0（。，ac>0），则

S&BOC：S,A0c-SSOB=a：b:c

2

【分析】

由正弦定理可得3。=」、DC=^—,即有［二+1==3,而券=等=26，

sinBsinesin8sinesinesinB

可得A8+AC=^ACA8,结合余弦定理求ACA8,再应用三角形面积公式求d8C的

2

面积即可.

【详解】

BDKDDCAD

ncAD.711

，由正弦定理，-7sinB，a即nBD=-----sin—=-------

sin—sinB6sinB

6

DC=—sin-=—,而8C=3,

sinC6sinC

--------1-------=3,

sinBsinC

・・・&=&=—^=26即_L=述，_L=毡

sinCsinBsinZBACsinCABsin5AC

BPAB+AC=—ACAB,

ACAB22

又由余弦定理知：AC2+AB2-2ACABcosZBAC=BC2，

答案第9页，共19页

AAC2+AB2-ACAB=9,即(4C+A8)2-3AC4B=9,^X=ACAB,

x2-4x-12=0,即x=6(x=-2舍去)，

I3J3

•­SARC=-ACABs\nZBAC=—.

故答案为：地.

2

【点睛】

关键点点睛：应用正余弦定理，列方程求AC-AB,根据三角形面积公式求面积.

10.-

5

【分析】

假设启=4怠，首先根据向量共线求得AG=；AE，同理得ANn^AE，AG=^GN,最

》)4»»»2

后由于M"=4M)V，M4=MG+WNG,从而计算MAMC=g即可.

【详解】

TT2T]一

解：^AG=AAE=-AAC+-AAB,

33

-»1—1—2f—2f

=-AD=-AC+-AB,AF=-AB,

3993

TT->]T4T

所以==

FG=AG-AF=-AAC+\-X--\AB,

3(33j

因为扁所吗-|卜卜打I"

2

得八g,

T2T

所以4G=§AE.

T[ff4f

同理4N=—4E,所以AG=—GN.

25

-TT11(\^*2A21-*

MN=AN-AM=-AC+-AB-\-AC+-AB\=-AC--AB

36(99J918f

->->-♦Q—>9->->

MC=AC-AM=-AC--AB=4MN,

99

->-»-»-►4—

MA=MG+GA=MG+wNG,

->-*f-*4A—1682

所以MAMC=|MG+mNG14MN=4MN・MG+W"MNG=2_]=M.

【点睛】

答案第10页，共19页

(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的

加、减或数乘运算.

(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论

表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.

11.©©④⑤

【分析】

建立适当的坐标系，利用向量的坐标运算将有关问题转化为点尸的坐标(x,y)的有关问题，

即可逐一作出判断.

【详解】

建立如图所示的坐标系，则8(1,0],E(-M),

故A8=(L0),AE=(-1,1),AP-ZAB+=

设点P的坐标(x,y),则,易得4+〃=(/l-〃)+2〃=x+2y.

x=2-//>0〜〜

①由尸的运行轨迹可知产后。,所以八故①正确;

②当点尸为中点时，，2+〃=x+2y=l,,故②正确;

③由4+〃=2时x+2y=2,直线J：x+2y=2经过0(0,1),与线段8c交于点(1,万

工使得％+〃=2的点有两个，故③错误;

④4+〃=4一〃+2〃=x+2y,显然当直线x+2y=4+〃平行移动,

经过C(l,l)点时义+4取得最大值3,故④正确.

答案第11页，共19页

(5)由于而在荏的方向上的投影在「与。重合时取得最大值，

UUUULU_

此时而•荏取得最大值，ADAE=(O,1)(-1,1)=1»故⑤正确.

12.[-2,1]

【分析】

先建立平面直角坐标系，再分类讨论求出各种情况下的丽•丽的范围即可得到答案.

【详解】

建立如下图所示的平面直角坐标系.

①当P,Q两点在正方形的同一边上时(含正方形的顶点).

0W1

根据对称性，不妨设由于IPQE1,所以满足•-14y40,

x-y>l

可得-14个40,

所以丽•丽=孙+16]0,1]；

②当P,。两点在正方形的相邻边上时(含正方形的顶点).

根据对称性，不妨设QU，D,尸(Ly),

所以丽•丽=x+y,

答案第12页，共19页

由于IPQI之i,所以乂y满足1"小

（x-l）2+（^-l）2>l

当2="+'与圆*—l）2+（y—l）2=l相切时，Z有最大值Zg=（应一1）>0=2-也,

所以这种情况下/•丽=x+ye[-2,2-&]；

③当P,。两点在正方形的对边上时（含正方形的顶点）.

根据对称性，不妨设Q（K，1），P（X2，T），

所以丽・丽=西9一1,由图可知，-1工王VlnTVXiW，

所以所衣=

答案第13页，共19页

综上可知：[-2,1].

故答案为：[-2,1].

【点睛】

关键点睛：解决本题的关键•是要分类讨论，二是在每•种情况下要准确地写出变量的范围

并求出每种情况下丽•丽取值范围.

13.(0,2).

【分析】

根据题意，选择①②③求得8=算，设㈤C=e，则/=e+在

△ACZ)中，由正弦定理求得AC=2sin(e+£),在AABC中，由正弦定理求得可得

BC=-isin(^+—)sin^=-^^sin(2^--)+1,结合0<0<三和三角函数的性质，即可求解.

V36333

【详解】

若选①：由笔=-J-，根据正弦定理可得笔

cosC2a+ccosCzsinA+sinc

即2sinAcosB+sinCeosB=-sinBcosC,

BP2sinAcosB=-sinBcosC-sinCeosB=-sin（B+C）=-sinA,

可得8sB=-；,因为Ae（0,;r）,所以B=

设Zft4C=e,ppjZC4D=--ZCDA=0+-,

26

ACAD

在AAC。中，由正弦定理得.八，

sinZADCsi'n1Z.3ACD

ADsinZADC"则（崂）

可得检"si必C'。"1二2sm（0+彳）,

sin一

3

答案第14页，共19页

在，蛇中,由正弦定理得益二总'

2制办自加45叫「

ACsin，

可得BC=一”一耳sm('+k)sn°

sin8

3

sinO+JcosO)sine=,1

sin-^+—sin^cos0)

-^(2>/3sin29+2sinOcos。)=9(2>/5乂"!-C^S^+sin2^)

~^=(sin2。—5/3cos2。)+1=―^―1sin(26—()+1，

因为0<0v],可得—?<2。—

当2。一9=£时，即e=g,可得拽sin2+1=2,

33333

当2夕-£=-^时，即6=0,可得逆sin(-马+1=0,

3333

所以8C的取值范围是(0,2).

选②：由.：臣二口,根据正弦定理可得户二"£，

sinB-sinCa+cb-ca+c

可得，+公=乂一。？，BPa2+c2-b2=-ac,

又由余弦定理，可得cosB=#+c~b；=W£

2aclac2

因为Aw(0人),所以8=与，

设ZJX4C=e,则NG4O=工一4NCDA=e+工,

26

ACAD

在△ACO中，由正弦定理得

sinZADCsin/AC。

汕3二士咤

2sin(^+—),

sinZACD.TT6

sin一

3

在，叱中，由正弦定理得煮二总'

2sin(6+7)sin。

ACsin。47T

可得BC==-j=sin(。+-)-sin0

sin.2%

Bsin——

3

答案第15页，共19页

sin6+；cos0)sin0=sin2e+；sin6cos6)

=J=(2Wsin?9+2sin"cos。)=1-COS20.今八\

-------+sin20)

x/3

=9(sin2。-百cos2。)+1=手sin(2<9-y)+l,

因为0<eg,可得这<2"d，

当26-g=g时，即。=£,可得亚sin2+1=2,

33333

当2。一?二一?时，即0=0,可得竽sin(—?)+1=0,

所以8C的取值范围是(0,2).

若选③：由2s=-J5丽可得2x：acsin〃一-BaccosZ?,

即sinB=-x/3cosB»可得tanB=-&»

因为46(04),所以B=弓,

设z^c=e,则NCAO=2—仇NCOA=O+2,

26

ACAD

在△ACQ中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

可…"三

2sin(6>+-),

6

3

在AMC中'由正弦定理得益=羔

A厂.n2sin(0+三)sin夕

ACsm6/_'64-4c

可得BC==—f=sin(®+—)-sin0

sinB.2乃

sin——V36

3

sine+gcos6)sine=9(*sin2e+gsinOcos。)

l-C2s2£^

sin2^+2sin^cos^)=x+sin2)

=(sin26—V3cos26)+1=-1sin(26——)+1*

V333

答案第16页，共19页

因为0<0<]，可得一?〈2。一(〈事，

当2，—g=g时，即e=g,可得毡sin2+1=2,

33333

当28-5=-(时，即9=0,可得竿sin(-§+l=0,

所以BC的取值范围是(0,2).

14.(1)(一：,士岑)；(2)arccos-=1^-

【分析】

(1)利用而与1的数量积及而为单位向量列出方程组，求解即得：

(2)类比平面向量的长度及夹角公式，计算向量而与1的夹角的余弦得解.

【详解】

(1)0=90。时，坐标系Mb为平面直角坐标系，

设点P(x,y),则有加=(x,y),而不=(1,0),OP^=x,

又而£=|而|£|cosl20=-g,所以x=_g,又因|而|=Jf+y2=],

解得y=±乎，故点尸的坐标是(_最士*)；

⑵依题意[之夹角为45。，不.刊=|不I•向Icos45'孝,而=4+&•&,

2

「JOP|=|e,+>/2•e21=y/(et+V2-e2)=\Jet+2y/2et-e2+2e2=J5»

OPex^OP\\eyI-cos«=>/5cosa,9.&=(，+母+g£4=2,

所以6cosa=2,cosa=»而ae[0,4],故a=arccos^^.

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【点睛】

坐标系下新定义的创新试题，类比原有平面向量的模、数量积解决，但不能直接类比原有平

面向量的直角坐标方法处理.

15.(1)^^(km)2；(2)(4-何(km)?

【分析】

(1)先根据正弦定理求