第32讲线面角的几何求法

第32讲线面角的几何求法【考点分析】考点一：线与面的夹角①定义：平面上的一条斜线与它在平面的射影所成的锐角即为斜线与平面的线面角．②范围：=3\*GB3③求法：过平面外一点做平面，交平面于点;连接，则即为直线与平面的夹角．接下来在中解三角形．即（其中即点到面的距离，可以采用等体积法求，斜线长即为线段的长度）；【典型例题】题型一：线面角【例1】在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝，则直线AC1与平面ABCD所成角的大小为（）A．45° B．30° C．60° D．90°【答案】B【分析】由于平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，然后在中求解．【详解】连接AC，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝，CC1＝因为平面ABCD，所以为直线与平面ABCD所成的角，在中，，因为为锐角，所以故选：B.【例2】已知三棱锥，设点是在底面上的投影，若与底面所成角相等，则点是的________心.【答案】外【分析】根据，，与底面所成角相等得到点在底面的投影到三角形三个顶点，，的距离相等，即可得到点在平面上的投影是的外心.【详解】因为，，与底面所成角相等，所以顶点在底面的投影到三角形三个顶点，，的距离相等，所以点在平面上的投影是的外心.故答案为：外.【例3】如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（

）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【分析】根据题意，取的中点，则平面，即就是直线AC与底面BCD所成的角，解三角形即可求得角的大小.【详解】取的中点，则因为侧面底面BCD，侧面底面，侧面，所以平面，因为平面，所以，所以就是直线AC与底面BCD所成的角，因为，，，所以，在直角中，，在直角中，，即，所以直线AC与底面BCD所成角的大小为，故选：.【例4】已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，则侧棱与底面所成角的余弦值等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设正三棱锥底面边长为，则侧棱长为，作图确定侧棱与底面所成角，解直角三角形即可得答案.【详解】由题意知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍，如图，设正三棱锥底面边长为，则侧棱长为∶，设顶点A在底面的射影为O点，连接并延长交于E，则E为的中点，则为侧棱与底面所成角，由于为正三角形，则O为其中心，，，在中，，即侧棱与底面所成角的余弦值等于，故选：A.【例5】如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，，分别为和的中点，则下列陈述不正确的是（

）A．平面 B．C．与所成角的正切值为 D．与平面所成角的正切值为2【答案】B【分析】对于A：结合已知条件，构造平行四边形，然后利用线面平行判定定理即可判断；对于B：结合空间几何关系即可判断；对于CD：通过直线的平行关系，利用异面直线夹角的求法和线面夹角的定义即可判断.【详解】分别取，的中点为，，连接，，，，如下图所示：对于A：由题意可知，，且，所以四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以平面，故A正确；对于B：因为直三棱柱的棱长均相等，所以，即为等腰三角形，从而与不垂直，因为，，所以与不垂直，故B错误；对于C：因为所以与所成角为与所成角，从而，故C正确；对于D：与平面所成角为与平面所成角，由直三棱柱的性质可知，所求角为，故，故D正确.故选：B.【例6】（多选题）在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（）A．直线平面B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为C．异面直线AM与所成角的取值范围是D．三棱锥的体积为定值【答案】ABD【分析】根据空间点线面之间的关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A选项，在正方体中，如图，又平面，所以，所以平面，所以，同理，所以直线平面，故A正确；对选项B，连接交于点，连接交于点，根据对称性，当点M位于点时，直线与平面所成角最大为，设正方体的边长为2，则，此时，故B正确；对C，由，异面直线AM与所成角为直线AM与所成角，故当在点处时所成角最大，此时，所成角为，当在点或处时，所成角最小为，故C错误；对D，因为，平面，所以平面，又直线，所以动点到平面的距离恒定，故三棱锥的体积为定值，D正确，故选：ABD【例7】在正四棱柱中，已知，，E为棱的中点．(1)求证：；(2)求与平面所成角的余弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）要证明线线垂直，转化为证明线面垂直，即证明面；（2）首先证明平面平面，说明为所求角，再根据余弦定理求解.【详解】（1）连结AC交BD于点O，连结．在正四棱柱中，面ABCD，又∵ABCD，∴∵四边形ABCD为正方形，∴又∵，，面，∴面，又∵面∴（2）由（1）知：面，又平面，∴平面平面，又面面，∴为直线与平面所成的平面角，∵正四棱柱中，，，分别在，，中，解得，，所以，故与平面所成角的余弦值为．【例8】如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，平面平面PCD，，CD＝2，AD＝3，棱PC的中点为N，连接DN．(1)求证：平面PCD；(2)求直线AD与平面PAC所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取棱PC的中点N，连接DN，可得DN⊥PC，利用面面垂直的性质定理可得DN⊥平面PAC，从而得到DN⊥PA，利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接AN，由线面角的定义可得，∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，在三角形中，利用边角关系求解即可．【详解】（1）证明：取棱PC的中点N，连接DN，由题意可知，DN⊥PC，又因为平面PAC⊥平面PCD，平面PAC∩平面PCD＝PC，所以DN⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC，故DN⊥PA，又PA⊥CD，CD∩DN＝D，CD，DN⊂平面PCD，则PA⊥平面PCD；（2）连接AN，由（1）可知，DN⊥平面PAC，则∠DAN为直线AD与平面PAC所成的角，因为为等边三角形，CD＝2且N为PC的中点，所以DN＝，又DN⊥AN，在中，sin∠DAN＝，故直线AD与平面PAC所成角的正弦值为．【例9】如图，已知平面，，，，，，点是的中点.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正切值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）根据平面，得到平面，即可得到平面平面，根据等腰三角形三线合一的性质得到，然后利用面面垂直的性质定理即可得到平面；（2）根据，点为中点得到，即可将直线与平面所成角转化为直线与平面所成角，由（1）的结论可得为直线与平面所成角，然后利用勾股定理得到，的长度，即可求直线与平面所成角的正切值.【详解】（1）∵平面，，∴平面，∵平面，∴平面平面，∵，点为中点，∴，∵平面平面，平面，∴平面.（2）取中点，连接，，∵，，，点为中点，∴四边为平行四边形，，∴直线与平面所成角和直线与平面所成角相等，∵平面，∴为直线与平面所成角，∵点为中点，，∴，，，∴，所以直线与平面所成角的正切值为.【例10】如图，在三棱锥中，平面，平面平面，，.(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）过作于点，通过证明出，，可得平面；（2）过作于点，证明平面可得与平面所成角为，在三角形中求出表示出，再利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）∵平面，∴且过作于点，∵平面平面，平面平面,平面，，∴平面，又平面PBC∴∵，∴平面.（2）过作于点，∵平面，平面∴平面平面，又平面平面，平面∴平面，∴与平面所成角即为又，设，∴，，，∴,当且仅当，即时取“=”.直线与平面所成角的正弦值的最大值为.【题型专练】1．在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知可得，是直角三角形，，在中解出即可得到体积.【详解】由已知，是直角三角形，且即为与平面所成的角，即，，则，则.长方体的体积.故选：C.2．（多选题）长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则下列说法不正确的是（

）A．B．与平面所成的角为C．D．与平面所成的角为【答案】ABC【分析】令，根据线面角定义可知，由此可求得的长，即可得到AC错误；作，可证得平面，同时平面，根据线面角定义，结合长度可得BD正误.【详解】连接，不妨令，在长方体中，面，面，和分别为与平面和平面所成的角，即，在中，，，，在中，，，，，，，，，AC错误；作，垂足为，平面，平面，，又，平面，平面，为与平面所成的角，在中，，B错误；连接，平面，为与平面所成的角，在中，，，D正确.故选：ABC.3．（多选题）在棱长为2的正方体中，点P在线段上运动，则下列命题正确的是（

）A．B．三棱锥的体积为定值C．异面直线AP与所成的角可以为D．设直线与平面所成的角为，则的最小值为【答案】ACD【分析】对于A：只需证平面即可；对于B：体积转化法；对于C：因为，所以∠APC（或补角）为异面直线AP与所成的角，观察∠APC的变化范围；对于D：求出到平面的距离为定值，则，只需考察变化时对的影响.【详解】如图所示对于A选项，因为，平面，平面所以平面，又平面，所以，同理可证：，又，平面，平面所以平面，又AP在平面内，，所以A选项正确；对于B选项，因为，又平面，平面，所以平面，所以，所以B选项错误；对于C选项，因为，所以∠APC（或补角）为异面直线AP与所成的角，因为为正三角形，所以当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与所成的角取得最小值60°，当点P与线段的中点重合时，异面直线AP与所成的角取得最大值90°，因为当点P从线段的端点运动到线段的中点过程中，异面直线AP与所成的角的大小变化是连续的，所以异面直线AP与所成的角可以为75°，所以C选项正确；对于D选项，设点P到平面的距离为，由B知，得，要使最小，则最大，又，当最小时，最大，当点P在线段的中点时，最小为，所以的最大值为，所以的最小值为，所以D选项正确．故选：ACD．4.已知正方体，则与平面所成角的正切值为______【答案】【分析】利用平面，可得为直线与平面所成角，利用正切函数可得结论.【详解】解：如图，连接在正方体中，平面，平面，则所以直线与平面所成角为角，设正方体的棱长为，所以，则所以与平面所成角的正切值为.故答案为：.5．如图，在三棱锥中，平面ABC，D是PB上一点，且平面PBC.(1)求证：；(2)若，M是PC的中点，求直线BM与平面ABC所成角的大小.【答案】(1)证明详见解析(2)【分析】（1）通过证明平面来证得.（2）作出直线与平面所成角，并求得角的大小.【详解】（1）由于平面ABC，平面，所以.由于平面PBC，平面，所以，由于平面，所以平面，由于平面，所以.（2）设是的中点，连接，由于是的中点，所以，所以平面，所以是直线与平面所成角，由于，直角三角形中，，所以，所以.6．如图1，在平面四边形ABCD中，已知ABDC，，，E是AB的中点．将△BCE沿CE翻折至△PCE，使得，如图2所示．(1)证明：；(2)求直线DE与平面PAD所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取CE的中点F，连接PF，DF，通过证明线面垂直继而证明线线垂直；（2）找到垂直关系，建立空间直角坐标系，找打直线DE的方向向量与平面PAD的法向量，根据向量公式即可求出正弦值.【详解】（1）如图取CE的中点F，连接PF，DF，由题易知△PCE，△DCE都是等边三角形，⸫DF⊥CE，PF⊥CE，⸪，平面DPF，平面DPF⸫CE⊥平面DPF．⸪平面DPF⸫DP⊥CE．（2）由题易知四边形AECD是平行四边形，所以AD∥CE，又平面PAD，所以平面PAD，所以点E与点F到平面PAD的距离相等．由（1）知CE⊥平面DPF，所以AD⊥平面DPF．又平面PAD，所以平面PAD⊥平面DPF．过F作FH⊥PD交PD于H，则FH⊥平面PAD．，，故点F到平面PAD的距离．设直线DE与平面PAD所成的角为，则，所以直线DE与平面PAD所成角的正弦值为．7．如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面.(1)证明：；(2)若，且与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的体积.【答案】(1)证明见解析；(2).【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.（2）取BD中点O，利用线面角求出四棱锥的高PO，再计算体积作答.【详解】（1）因，则为等边三角形，即，又，有，在中，，于是得，即，而平面平面ABCD，平面平面，平面，因此平面，又平面，所以.（2）取BD中点O，连PO，如图，，则，平面平面ABCD，平面平面，平面，则平面，连接AO，则AO为PA在平面ABCD内的射影，即PAO为PA与平面ABCD所成角，有，则，而，于是得，梯形的面积为，所以四棱锥的体积.8．在三棱锥中，平面，，，F为棱P