123复数的几何意义

12.3复数的几何意义一、复数的几何意义1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．3、复数的模（1）定义：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．二、复数加法与减法的几何意义1、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，其对应的向量OZ1=(x如图1，且OZ1和以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2，根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量OZ=O而OZ1+OZ2所对应的坐标是(x1＋x2，y这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对．2、复数的减法是加法的逆运算，如图2，复数z1-z2与向量这就是复数减法的几何意义．【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差．（2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则．（3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行．拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.题型一复数对应的点所在象限【例1】（2023春·北京·高三北京市八一中学校考开学考试）在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】A【解析】，故在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限.故选：A【变式11】（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）若复数满足，则在复平面内复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由题意，对应点坐标为，在第四象限．故选：D．【变式12】（2023·全国·校联考一模）已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另外一个根为，则，所以，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.【变式13】（2023春·山西晋城·高三校考阶段练习）若复数满足，则在复平面内对应的点所在的象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为，故由，可得，故在复平面内对应的点，在第二象限内，故选：B【变式14】（辽宁省名校联盟2023届高三下学期3月份联合考试数学试题）已知复数，（且），则对应的点在平面直角坐标系内的（）A．轴上B．轴上C．一、二象限D．三、四象限【答案】A【解析】，，，又，则对应的点在平面直角坐标系内的轴上故选：A题型二复数的坐标表示【例2】（2023春·浙江·高一校联考阶段练习）已知复平面内的平行四边形ABCD，三个顶点A，B，C对应的复数分别是1＋2i，－2＋i，0，那么点D对应的复数为（）A．1－3iB．3－iC．3＋iD．－1＋3i【答案】C【解析】根据复数的几何意义可知,设，则由，所以,因此对应的复数为：3＋i，故选：C【变式21】（2023·高一课时练习）复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为______．【答案】【解析】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．【变式22】（2023·高一单元测试）在复平面内，复数对应点，复数对应点，把向量绕点顺时针旋转得到向量，则点P对应的复数是______．【答案】【解析】由题意知向量对应的复数是，再由复数乘法的几何意义得，向量对应的复数是，最后由复数加法的几何意义得，向量，其对应的复数是，所以点P对应的复数是.【变式23】（2022·高一课前预习）已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点.（1）求对应的复数；（2）求对应的复数；（3）求△APB的面积.【答案】（1）－2＋2i；（2）5；（3）.【解析】由题意，画出平行四边形如下图示（1）在平行四边形ABCD中，有∴有=(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i即对应的复数是－2＋2i（2）∵=(3＋2i)－(－2＋2i)＝5即对应的复数是5（3）∵，∴，而，即∴cos∠APB＝，故sin∠APB＝故即的面积为题型三求复数的模【例3】（2022春·河南信阳·高一信阳高中校考阶段练习）若复数满足（i是虚数单位），则的模长等于（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】因为所以，所以所以故的模长为，故选：D【变式31】（2022春·河南濮阳·高一校考阶段练习）设复数满足，则__________．【答案】【解析】复数z满足，则，所以.【变式32】（2023·高一课时练习）已知复数（i为虚数单位），求复数的模．【答案】【解析】因为复数，则，所以，则.【变式33】（2021·高一课前预习）（多选）表示A．点与点之间的距离B．点与点之间的距离C．点到原点的距离D．坐标为的向量的模【答案】ACD【解析】由复数的几何意义,知复数,分别对应复平面内的点与点,所以表示点与点之间的距离,故A说法正确,B说法错误；,可表示点到原点的距离,故C说法正确；,可表示表示点到原点的距离,即坐标为的向量的模,故D说法正确,故选:ACD【变式34】（2023·高一单元测试）复数.若，则（）的值与a、b的值无关.A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，又，所以，，所以，因为，所以，所以，所以，所以，即的值与a、b的值无关.故选：A.题型四复数模有关的最值问题【例4】（2023·全国·高一专题练习）已知复数z满足，则的最小值为（）A．1B．2C．D．【答案】B【解析】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为轴，又表示点到点的距离，所以问题转化为轴上的动点到定点距离的最小值，所以的最小值为2，故选：B.【变式41】（2022春·福建厦门·高一厦门外国语学校校考期中）已知z1､z2为复数，且|z1|=2，若z1+z2=2i，则|z1﹣z2|的最大值是（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】z1+z2=2i，∴z2=2i﹣z1，则|z1﹣z2|=|2z1﹣2i|=2|z1﹣i|，|z1|=2，∴z1在复平面内所对应的点P的轨迹是以原点为圆心，以2为半径的圆，所对应的点坐标为A(0,1),|z1﹣i|表示P,A的距离，∴|z1﹣i|≤3,2|z1﹣i|≤2×3=6,z1=﹣2i时取等号，|z1﹣z2|的最大值为6，故选：B.【变式42】（2023·全国·高一专题练习）若且，则最大值是_______________.