2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高二年级上学期期中考试数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年湖北省恩施州高中教育联盟高二年级上学期期中考试数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.一组数据2，5，3，7，1，6，4的第70百分位数是(

)A.1 B.4.9 C.4 D.52.若圆锥的表面积为4π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为(

)A.233π B.233.在平行六面体ABCD−A1B1C1D1中，M为DB上靠近点D的三等分点，N为CC1的中点，设A.23a+13b−124.从{1,2,3}和{4,5}两个集合中各取一个数组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是(

)A.16 B.13 C.125.已知sinα+3cosα=A.−1625 B.−79 C.6.已知实数x，y满足x2+y2=|x|+|y|，则A.4 B.5 C.6 D.77.已知直线a，b，c和平面α，β，γ，则下列命题中正确的是(

)A.平面α内不一定存在和直线a垂直的直线

B.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β

C.若a，b异面且a⊂α，b⊂β，a//β，b//α，则α//β

D.若α∩β=a，α∩γ=b，β∩γ=c，则直线a，b，c可能两两相交且不过同一点8.设函数f(x)=sin2nx+cos2nxA.当n=2时，f(x)的最小正周期为π B.当n=3时，f(x)的最大值为14

C.f(x)的最小值与n的取值无关 D.f(x)的最大值与n二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知函数f(x)=cosx+12A.2π是f(x)的一个周期 B.f(x)在[0,2π]上有2个零点

C.f(x)的最大值为32 D.f(x)在[0,10.下列命题正确的是(

)A.若事件A，B，C两两互斥，则P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)成立

B.若事件A，B，C两两独立，则P(ABC)=P(A)P(B)P(C)成立

C.若事件A，B相互独立，则A与B不一定相互独立

D.若P(A)>0，P(B)>0，则事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立11.记C为圆C:x2+y2−6x−4y+9=0的圆心，H为y轴上的动点，过点H作圆C的两条切线，切点分别是MA.|MN|的最大值为4 B.直线MN过定点(53,2)

C.存在点H，使得MH⊥NH D.四边形三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知单位向量a，b满足(a+b)⋅(a−213.已知有3名男生和2名女生，其中3名男生的平均身高为170cm，方差为30，2名女生的平均身高为165cm，方差为41，则这5名学生身高的方差为

．14.在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=6，E为棱BC的中点，F为棱A1D1的三等分点(靠近点D四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知(1+2i)z(1)求z(2)若复数z满足|z−z1|=2，z在复平面内对应的点为Z，且点A(−1,0)，B(1,0)，求16.(本小题15分)

记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosC+3asinC−b−c=0．

(1)求A;(2)若17.(本小题15分)甲、乙两所学校之间进行羽毛球比赛，采用五局三胜制(先赢三局的学校获胜，比赛结束).约定比赛规则如下：先进行两局男生羽毛球比赛，后进行女生羽毛球比赛.按照以往比赛经验，在男生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为35，乙校获胜的概率为25;在女生羽毛球比赛中，每局甲校获胜的概率为1(1)求恰好比赛三局，比赛结束的概率;(2)求甲校以3:1获胜的概率．18.(本小题17分)如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD，PD=DC=2AD=2，E是PC的中点．(1)求证：PA//平面EDB．(2)求平面EDB与平面PAD夹角的余弦值．(3)在棱PB上是否存在一点F，使直线EF⊥平面EDB?若存在，求出线段BF的长;若不存在，说明理由，19.(本小题17分)已知点M与定点A(6,0)和点M与原点O的距离的比为2，记点M的轨迹为C．(1)求C的方程．(2)已知直线l:x=4与x轴交于点B． ①过点B的直线m与曲线C交于D，E两点，求线段DE的中点F的轨迹方程; ②求证BD⋅BE为定值，并求出这个定值．参考答案1.D

2.C

3.A

4.B

5.B

6.C

7.C

8.D

9.ABC

10.AD

11.BD

12.1213.40.4

14.5215.解：

(1)设z1=a+bi，则z1即a+2b=11,2a−b=2,所以a=3，b=4，即z设z=m+ni，Z(m,n)，由|z−z1|=2知，Z(m,n)在以(3,4)即m=3+2cosθ,16sin即ZA⋅ZB的取值范围是

16.解：

(1)因为acos所以由正弦定理可知，sinA即−sin又sinC≠0所以2sin(A−π6)=1即A=π3或π(舍去(2)由(1)得A=π3，则由正弦定理可知b=83所以b+c=因为△ABC为锐角三角，所以0<B<π2，0<2π3−B<即8sin(B+π6)∈(4

17.解：

(1)恰好比赛三局，比赛结束的情况如下：甲校获胜，概率为P乙校获胜，概率为P2故恰好比赛三局，比赛结束的概率P=P(2)甲校以3:1获胜的情况如下： ①前两局男生羽毛球比赛中甲校全胜，第三局比赛甲校负，第四局比赛甲校胜，概率为P ②前两局男生羽毛球比赛中甲校1胜1负，第三局比赛甲校胜，第四局比赛甲校胜，概率为P4故甲校以3:1获胜的概率P′=P

18.解：

(1)证明：连接AC，交BD于点O，连接OE．因为E是PC的中点，O是AC的中点，所以PA//OE，又OE⊂平面EDB，PA⊄平面EDB，所以PA//平面EDB．(2)解：如图，以DA，DC，DP的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，即D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，则DB=(1,2,0)，DE设平面EDB的法向量为m=(x,y,z)，则令y=−1，得x=2，z=1，所以可取m=(2,−1,1)易知平面PAD的一个法向量为n=(0,1,0)设平面EDB和平面PAD的夹角为θ，则cosθ=|cos<所以平面EDB和平面PAD夹角的余弦值为6(3)解：由(2)知D(0,0,0)，B(1,2,0)，E(0,1,1)，P(0,0,2)，则EB=(1,1,−1)，BP=(−1,−2,2)，BF=λ由(2)知平面EDB的一个法向量可为m=(2,−1,1)则直线EF//m，即1−λ−1+2λ=故当λ=35时，BF=95，则

19.解：

(1)设M(x,y)，则|