2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年河北省张家口市尚义一中等校高二（上）段考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.在空间直角坐标系中，点P的坐标为(−6,3,2)，点P关于平面Oxz对称的点是(

)A.(6,−3,−2) B.(−6,−3,−2) C.(−6,−3,2) D.(6,3,0)2.已知a=(−3,7,−5),b=(−2,14k,−10k)，且a与b共线，则b的坐标是A.(2,−143,103) B.(−2,3.一组样本数据为6，11，12，16，17，19，31，则错误的选项为(

)A.该组数据的极差为25

B.该组数据的75%分位数为17

C.该组数据的平均数为16

D.若该组数据去掉一个数得到一组新数据，则这两组数据的平均数可能相等4.在三棱柱ABC−A1B1CA.A1C B.A1B C.5.若空间中有三点A(2,0,4)，B(2,4,0)，C(1,4,4)，则点P(0,0,0)到平面ABC的距离为(

)A.3 B.23 C.6.已知点A(13,−1,3)，B(2,3,1)，C(5,7,−5)，又点P(4,1,z)在平面ABC内，则z的值为(

)A.1 B.2 C.3 D.47.如图，二面角α−l−β等于135°，A、B是棱l上两点，BD、AC分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB=AC=2,BD=22，则CD的长等于(

)A.26 B.23 C.8.已知四棱锥A−EBCD，AE⊥平面BCDE，底面EBCD是∠E为直角，EB//DC的直角梯形，如图所示，且CD=2EB=2AE=4,DE=23，点F为AD的中点，则F到直线BC的距离为(

)A.312 B.232 C.二、多选题：本题共6小题，共18分。9.下列利用方向向量、法向量判断直线、平面位置关系的结论中，正确的是(

)A.若两个不重合的平面法向量平行，则这两个平面平行

B.若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行

C.两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是a=(2,3,−1),b=(−3,2,0)，则l1⊥l2

D.直线10.下列说法正确的是(

)A.向量c=(3,0,−2)与向量a=(1,−1,0),b=(2,1,−2)共面

B.若p与a,b共面，则∃x，y∈R，使得p=xa+yb

C.若{a,b,c}11.棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，点P在棱CD上运动，点Q在侧面ADDA.Q点在侧面对角线AD1上

B.Q点在侧面对角线A1D上

C.线段PQ的最小值为23三、填空题：本题共3小题，共15分。12.已知平面α的一个法向量为n=(2,3,5)，点A(−1,−3,0)是平面α上的一点，则点P(−3,−4,1)到平面α的距离为______．13.如图，JA，JB两个开关串联再与开关JC并联，在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.514.空间直角坐标系O−xyz中，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为m=(A,B,C)的平面方程为A(x−x0)+B(y−y0)+C(z−z0)=0，经过点P(x0,y0,z0三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.（13分）在第29个“世界读书日”到来之际，树人中学举办了读书知识竞赛，现从参加竞赛的同学中，选取100名同学并将其成绩(百分制，均为整数)分成六组：第1组[40,50)，第2组[50,60)，第3组[60,70)，第4组[70,80)，第5组[80,90)，第6组[90,100]，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求a的值，并估计这100名学生成绩的第85百分位数(保留一位小数)；

(2)若先用分层抽样方法从得分在[40,50)和[50,60)的学生中抽取5人，然后再从抽出的5人中任意选取2人，调查其读书情况，求此2人得分不在同一组的概率．16.（15分）如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AP的长为2，且AP与AB、AD的夹角都等于60°，M在棱PD上，PM=13PD，设AB=a，AD=b，AP=c．

(1)试用a，b，c17.（15分）如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=2AD=4，AA1=6,AE=14AB．18.（17分）如图1，等腰△ABC中，底BC=4，S△ABC=8，D、E分别为AB、AC的中点，O为DE的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE⊥平面BCED，如图2．

(1)求证：A1O⊥平面BCED；

(2)F为线段A19.（17分）如图，已知四棱台ABCD−A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，AA1=3，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别是棱BB1、DD1的中点．

(1)在底面ABCD内是否存在点M，满足C1M⊥平面CPQ？若存在，请说明点M

参考答案1.C

2.B

3.B

4.C

5.D

6.C

7.A

8.A

9.ABC

10.ABC

11.D

12.3813.0.625

14.x−z−14=0

15.解：(1)由频率分布直方图可得：(0.0280+2×0.0232+a+0.0060+0.0040)×10=1，

解得a=0.0156，

因为成绩在[40,90)的频率为(0.0040+0.0060+0.0232+0.0280+0.0232)×10=0.844，

所以第85百分位数位于[90,100]，设其为x，

则0.844+(x−90)×0.0156=0.85，

解得x≈90.4，

所以第85百分位数约为90.4；

(2)由频率分布直方图可知：得分在[40,50)和[50,60)内的频率分别为0.04和0.06，

采用分层抽样知，抽取的5人，在[40.50)内的人数为2人，在[50,60)内的人数为3人，

设分数在[40,50)内的2人为a1，a2，分数在[50,60)内的3人为b1，b2，b3，

则在这5人中抽取2人的情况有：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，16.解：(1)BM=BP+PM=AP−AB+13(AD−AP)

=−AB+13AD+23AP=−a+13b+23c；

17.解：(1)证明：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，

以D为坐标原点，向量DA,DC,DD1的方向，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,4,0)，C(0,4,0)，E(2,1,0)，D1(0,0,6)，C1(0,4,6)，

所以AC=(−2,4,0)，DE=(2,1,0)，DD1=(0,0,6)，

AC⋅DE=(−2,4,0)⋅(2,1,0)=−4+4=0，

AC⋅DD1=(−2,4,0)⋅(0,0,6)=0，

所以AC⊥DE，AC⊥DD1，

又因为DE∩DD1=D，DE⊂平面DD1E，DD1⊂平面18.解：(1)证明：因为A1D=A1E，O为DE的中点，所以A1O⊥DE，

因为平面A1DE⊥平面BCED，平面A1DE∩平面BCED=DE，

A1O⊂平面A1DE，所以A1O⊥平面BCED；

(2)如图：

由(1)知A1O⊥平面BCED，取BC的中点M，连接OM，则OM⊥DE，

以O为坐标原点，OM、OE、OA1所在的直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

因为BC=4，SΔABC=8，所以OA1=OM=2，

可得A1(0,0,2)，B(2,−2,0)，D(0,−1,0)，C(2,2,0)，A1C=(2,2,−2)，

由A1F=13A1C=13(2,2,−2)得F(23,23,419.解：(1)因为AA1⊥底面ABCD，且ABCD是正方形，

故以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

如图所示：

则C(4,4,0)，B(4,0,0)，B1(2,0,3)，D(0,4,0)，D1(0,2,3)，C1(2,2,3)，

因为点P、Q分别是棱BB1，DD1的中点，

则P(3,0,32),Q(0,3,32)，

CP=(−1,−4,32)，CQ=(−4,−1,32)，

假设在底面ABCD内存在点M(a,b,