2024-2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步8.5.1直线与直线平行教学用书教案新人教A版必修第二册

PAGE8.5空间中直线、平面的平行8.素养目标·定方向素养目标学法指导1．驾驭基本领实4及等角定理.(逻辑推理)2．会用基本领实4证明线线平行.(逻辑推理)借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线平行的关系.必备学问·探新知学问点1基本领实4平行于同一条直线的两条直线__平行__.学问点2定理文字语言假如空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角__相等__或__互补__图形语言作用推断或证明两个角相等或互补[学问解读]1．对基本领实4的相识(1)基本领实4，它表述的性质通常叫做平行线的传递性.(2)基本领实4是论证平行问题的主要依据.2．对等角定理的两点相识(1)等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是基本领实4的干脆应用.(2)当这两个角的两边方向分别相同或相反时，它们相等，否则它们互补.因此等角定理用来证明两个角相等或互补.关键实力·攻重难题型探究题型一证明直线与直线平行典例1如图所示，在空间四边形ABCD(不共面的四边形称为空间四边形)中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点.(1)求证：四边形EFGH是平行四边形；(2)假如AC＝BD，求证：四边形EFGH是菱形.[证明](1)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EF∥AC，HG∥AC，EF＝HG＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥HG，EF＝HG，所以四边形EFGH是平行四边形.(2)因为空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，所以EH∥BD，EH＝eq\f(1,2)BD.因为EF＝eq\f(1,2)AC，AC＝BD，所以EH＝EF.又因为EFGH是平行四边形，所以四边形EFGH是菱形.[归纳提升]证明空间两条直线平行的方法(1)平面几何法三角形中位线、平行四边形的性质等.(2)定义法用定义证明两条直线平行，要证明两个方面：一是两条直线在同一平面内；二是两条直线没有公共点.(3)基本领实4用基本领实4证明两条直线平行，只需找到直线b，使得a∥b，同时b∥c，由基本领实4即可得到a∥c.【对点练习】❶如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，若E，F分别为AA′，CC′的中点，求证：四边形BFD′E是平行四边形.[证明]如图所示，取BB′的中点G，连接GC′，GE.因为F为CC′的中点，所以BG∥FC′，且BG＝FC′.所以四边形BFC′G是平行四边形.所以BF∥GC′，BF＝GC′，又因为EG∥A′B′，EG＝A′B′，A′B′∥C′D′，A′B′＝C′D′，所以EG∥C′D′，EG＝C′D′.所以四边形EGC′D′是平行四边形.所以ED′∥GC′，ED′＝GC′，所以BF∥ED′，BF＝ED′，所以四边形BFD′E是平行四边形.题型二等角定理的应用典例2如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中点.求证(1)EFE1F1；(2)∠EA1F＝∠E1CF1[分析](1)eq\x(EF\f(1,2)BD，E1F1\f(1,2)B1D1)→eq\x(BDB1D1)→eq\x(EFE1F1)(2)eq\x(CF1∥A1E，A1F∥CE1)→eq\x(∠EA1F＝∠E1CF1)[解析](1)如图，连接BD、B1D1，在△ABD中，因为E、F分别为AB、AD的中点，所以EFeq\f(1,2)BD.同理，E1F1eq\f(1,2)B1D1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1DD1，所以四边形BB1D1D为平行四边形，所以BDB1D1，又EFeq\f(1,2)BD，E1F1eq\f(1,2)B1D1，所以EFE1F1．(2)取A1B1的中点M，连接F1M、BM，则MF1B1C1又B1C1BC，所以MF1BC，所以四边形BMF1C所以BM∥CF1．因为A1M＝eq\f(1,2)A1B1，BE＝eq\f(1,2)AB，且A1B1AB，所以A1MBE，所以四边形BMA1E为平行四边形，所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.同理可证A1F∥CE1因为∠EA1F与∠E1CF1的两边分别对应平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF[归纳提升]求证角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相像.【对点练习】❷在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E[证明]因为F为BB1的中点，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1．又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1所以四边形D1GBF为平行四边形.所以D1F∥GB，同理D1E∥GC所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，所以∠BGC＝∠FD1E.易错警示等角定理理解不精确典例3设已知空间两个角α，β且α，β的两边分别平行，α＝60°，则β＝__60°或120°__.[错解]60°[错因分析]在应用等角定理解题时肯定要留意“两组边对应平行且方向相同”这一条件，在求解本题时简单忽视此条件而出错误答案60°.[正解]因为角α，β的两边分别平行，所以α，β相等或互补，又α＝60°，所以β＝60°或120°.【对点练习】❸下列结论中，正确的结论有(B)①假如一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②假如两条相交直线和另两条相交直线分别平行