第09讲 圆周角（3种题型）（原卷版）

第09讲圆周角（3种题型）1.理解并掌握圆周角相关概念2.探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征；1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．顶点在圆上,它们的两边在圆内的部分分别是圆的弦.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。3、圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径,高考物理。圆周角的特点:(1)角的顶点在圆上;(2)角的两边在圆内的部分是圆的弦.4、圆周角和圆心角相对于圆心与直径的位置关系有三种:解题规律:5、解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理3.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．【微点拨】(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）一．圆周角定理（共12小题）1．（2023•亭湖区校级三模）如图，AB是⊙O的直径，∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60° B．50° C．45° D．40°2．（2023•溧阳市一模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，若∠ABD＝54°，则∠BCD的度数是（）A．36° B．40° C．46° D．65°3．（2023•金坛区一模）如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P，若∠A＝40°，∠APD＝70°，则∠B的度数是（）A．25° B．30° C．35° D．40°4．（2023•天宁区模拟）如图，在⊙O中，AB∥OC，若∠OBA＝40°，则∠BAC的度数是（）A．50° B．30° C．25° D．20°5．（2023•盐都区一模）用破损量角器按如图方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为．6．（2023•苏州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交⊙O于点C，D，连接BD．若∠A＝34°，∠AED＝87°，则∠B＝°．​7．（2022秋•南京期末）在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．（1）如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，AB＝24，则CD的长为．（2）如图②，大圆的另一条弦EF交小圆于G，H两点，若AB＝EF，求证CD＝GH．8．（2023•南京模拟）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AC、BD，∠B＝75°，∠A＝45°，，则弦CD＝．​9．（2023•苏州模拟）如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，直径CD平分∠ACE，∠ACE的一边CE与⊙O和直径AB分别交于点E，F，连接BE，且AC＝AF．​（1）证明：BE∥CD；（2）若CF＝2，求BF的长．10．（2022秋•太仓市期末）如图，⊙O的直径AB＝5，弦AC＝4，连接BC，以C为圆心，BC长为半径画弧与⊙O交于点D，连接AD，BD，BD与AC交于点E．（1）请直接写出图中与∠CAB相等的所有角；（2）求AD的长．11．（2022秋•鼓楼区期末）如图，AB为⊙O的直径，D是弦AC延长线上一点，AC＝CD，DB的延长线交⊙O于点E，连接CE．（1）求证∠A＝∠D；（2）若的度数为108°，求∠E的度数．12．（2022秋•建邺区期末）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，AC是⊙O的直径，，∠CAB＝32°．求∠ACD的度数．二．圆内接四边形的性质（共14小题）13．（2023•高新区校级模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD＝2∠BAD，则∠DAE的度数是（）A．20° B．30° C．40° D．45°14．（2023•兴化市二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ABD＝20°，则∠BCD的度数为°．15．（2023•建邺区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上．若∠O＝∠C＝130°，则∠BAO＝°．16．（2023•沭阳县模拟）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AO、CO，若∠AOC＝112°，则∠B的度数是．17．（2022秋•江阴市校级月考）如图，正方形ABCD四个顶点都在⊙O上，点P是在弧BC上的一点（P点与C点不重合），则∠CPD的度数是．18．（2022秋•靖江市期末）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝180°．19．（2022秋•宿城区期末）如图，四边形ABCD内接于一圆，CE是边BC的延长线．（1）求证∠DAB＝∠DCE；（2）若∠DAB＝60°，∠ACB＝70°，求∠ABD的度数．20．（2022秋•宿豫区期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB，若，AD＝1，求CD的长度．21．（2022秋•镇江期中）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠EAD＝∠BAC，BA、CD延长线交于点E．求证：BD＝BC．22．（2022秋•建邺区期中）求证：圆内接四边形的对角互补．已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O．求证：∠A+∠C＝∠B+∠D＝180°．证明：作直径AE，连接BE、DE．所以∠ABE＝∠ADE＝90°．因为∠CBE＝∠CDE，（①）所以∠ABC+∠CDA＝∠ABE+∠EDA＝180°．同理∠DAB+∠BCD＝180°．（1）证明过程中依据①是；（2）请给出另一种证明方法．23．（2023•苏州一模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BCD＝2∠BOD，则∠A的度数是（）A．30° B．36° C．45° D．60°24．（2023•鼓楼区校级三模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠A＝120°，则∠BOD的度数为（）A．60° B．70° C．120° D．150°25．（2022秋•栖霞区校级期末）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，BD⊥AC，垂足为E．（1）求证：∠BAC＝2∠DAC；（2）若AB＝10，CD＝5，求BC的值．26．（2022秋•高新区期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BC的延长线与AD的延长线交于点E，且DC＝DE．（1）求证：∠A＝∠AEB；（2）连接OE，交CD于点F，若OE⊥CD，求∠A的度数．三．相交弦定理（共5小题）27．（2021•盐都区二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE＝1，DE＝3，则AB＝．28．（2022秋•滨湖区校级期中）如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，且PD＜PC．（1）求证：△PAD∽△PCB；（2）若PA＝3，PB＝8，CD＝10，求PD．29．（2021秋•锡山区校级月考）如图，⊙O的直径AB与弦CD交于点E，AE＝5，BE＝1，CD＝4，求EC的长．30．（2021秋•江阴市校级月考）如图，在⊙O中，弦AD，BC相交于点E，连接OE，已知AD＝BC，AD⊥CB．（1）求证：AB＝CD；（2）如果⊙O的直径为10，DE＝1，求AE的长．31．（2021秋•滨湖区校级期中）如图，已知圆O，弦AB、CD相交于点M．（1）求证：AM•MB＝CM•MD；（2）若M为CD中点，且圆O的半径为3，OM＝2，求AM•MB的值．一．选择题（共10小题）1．（2023•锡山区模拟）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（）A．90° B．80° C．70° D．60°2．（2023•涟水县一模）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOB＝108°，则∠ACB的度数是（）A．54° B．27° C．36° D．108°3．（2023•南京二模）如图，AB是半圆O的直径，C，D在半圆O上．若∠CAB＝28°，则∠ADC的度数为（）A．152° B．142° C．118° D．108°4．（2023•如皋市一模）如图，A，B，C为⊙O上三点，∠AOC＝100°，则∠ABC的度数为（）A．130° B．125° C．100° D．80°5．（2023•铜山区一模）下列说法中，正确的是（）①对角线垂直且互相平分的四边形是菱形；②对角线相等的四边形是矩形；③同弧或等弧所对的圆周角相等；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④6．（2023•徐州模拟）如图，点A、B、C在⊙O上，若∠ACB＝39°，则∠AOB的度数为（）A．78° B．61° C．76° D．51°7．（2023•如东县一模）如图，AB，BC为⊙O的两条弦，连接OA，OC，点D为AB的延长线上一点，若∠CBD＝62°，则∠AOC的度数为（）A．100° B．118° C．124° D．130°8．（2023•新华区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝135°，AC＝1，则⊙O的半径为（）A．4 B． C． D．9．（2023•连云港二模）小明用一个破损的量角器按照如图所示的方式测量∠ABC的度数，让∠ABC的顶点恰好在量角器的圆弧上，两边分别经过圆弧上的A、C两点．若点A、C对应的刻度分别为55°，135°，则∠ABC的度数为（）A．135° B．140° C．145° D．150°10．（2023•鼓楼区校级二模）如图，点A，B，C都在⊙O上，∠C＝40°，则∠AOB的度数为（）A．20° B．40° C．60° D．80°二．填空题（共8小题）11．（2023•姑苏区校级二模）如图，O、B两点是线段AC的三等分点，以AB为直径作⊙O，点E为⊙O上一点，连接CE，交⊙O于点D，连接BD、AE，若点D恰为线段CE中点且BD＝2，则△AEC周长为．12．（2023•盐都区一模）如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝130°，则∠ABC＝°．13．（2023•赣榆区一模）如图，AB为⊙O的直径，C，D是圆周上的两点，若∠ABC＝38°，则∠BDC的度数为．14．（2023•南京一模）如图，在⊙O中，C为上的点，．若∠ACB＝120°，则∠OBC＝．15．（2023•工业园区校级二模）如图，在矩形ABCD中，AD＝4，，以AD为直径作⊙O，E为BC的中点，AE交⊙O于F，连CF，则CF的长为．16．（2023•姑苏区校级一模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠OCD＝25°，连接AD，则∠BAD＝°．17．（2023•溧阳市一模）如图，正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，与以CD为直径的半圆交于点F，连接AF并延长交BC于点P，则的值．18．（2023•武进区一模）如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边上一点，以AB为直径在正方形内作半圆O，将△DCE沿DE翻折，点C刚好落在半圆O的点F处，则CF的长为．三．解答题（共7小题）19．（2022秋•淮安区校级期末）如图，四边形ABCD的顶点都在同一个圆上，且∠A：∠B：∠C＝2：3：4．（1）求∠A、∠B的度数；（2）若D为的中点，AB＝4，BC＝3，求四边形ABCD的面积．20．（2022秋•苏州期末）如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交BC于点F，交⊙O于点D，连接BD．（1）求证：∠CBD＝∠BAD；（2）求证：BD＝DE；（3）若，，求BC的长．21．（2022秋•高新区校级月考）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，以腰AB为直径作半圆O，分别交BC，AC于点D，E．（1）求证：BD＝DC．（2）若∠BAC＝40°，求所对的圆心角的度数．22．（2022秋•海陵区校级期末）如图，点A在y轴正半轴上，点B是第一象限内的一点，以AB为直径的圆交x轴于D，C两点．（1）OA与OD满足什么条件时，AC＝BC，写出满足的条件，并证明AC＝BC；（2）在（1）的条件下，若OA＝1，，求CD长．23．（2023•沭阳县模拟）如图，已知AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O中的两条弦，且AB∥CD，连结AD，BC．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）若∠BAC＝30°，⊙O的直径为10，求矩形ABCD的面积．24．（2022秋•姑苏区校级期中）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，K为弧AC上一动点，AK，DC的延长线相交于点F，连接CK，KD．（1）求证：∠AKD＝∠CKF；（2）已知AB＝8，CD＝4，求∠CKF的大小．25．（2023•姑苏区校级一模）我们给出定义：如果三角形存在两个内角α与β满足2a+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．已知△ABC为“准互余三角形”，并且∠A＞∠B＞∠C．（1）如图①，若∠B＝60°且，求边BC的长；（2）如图②，∠B＞45°，以边AC为直径作⊙O，交BC于点D，若BD＝2，BC＝7，试求⊙O的面积．

一．选择题1．如图，△ABC的顶点均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝84°，则∠AOC的度数是（）A．45° B．28° C．56° D．60°2．如图，已知⊙O的弦AB、DC的延长线相交于点E，∠AOD＝128°，∠E＝40°，则∠BDC的度数是（）A．16° B．20° C．24° D．32°3．如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连接AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE=32，AC＝5，BE＝3，则A．74 B．194 C．5 4．如图，点A，B在以CD为直径的半圆上，B是AC的中点，连结BD，AC交于点E，若∠C＝38°，则∠CED的度数是（）A．115° B．116° C．118° D．120°5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠A＝50°，则∠BCD的度数为（）A．50° B．80° C．100° D．130°6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，D是AC的中点，若∠B＝70°，则∠CAD的度数为（）A．70° B．55° C．35° D．20°二．填空题7．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于点P，若AP＝5，BP＝4，CP＝3，则DP为．8．如图，点A，B，C都在⊙O上，∠AOC：∠BOC＝2：5，OA∥BC，则∠ABC＝°．9．如图已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是．10．如图，点A，B，C，D在⊙O上，OA⊥BC，垂足为E．若∠ADC＝30°，BC＝43，则AE＝．11．如图，AB是⊙O的弦，AB＝42，